第08講正方形的性質(zhì)和判定（原卷版）

第08講正方形的性質(zhì)和判定知識點1：正方形的概念與性質(zhì)正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）知識點2：正方形的判定※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：考點剖析考點1：正方形的概念和性質(zhì)【典例1】（2021秋?蕭縣期末）矩形，菱形，正方形不同時具有的性質(zhì)是（）A．對邊平行且相等 B．對角相等 C．對角線互相平分 D．每條對角線平分一組對角【變式11】（2022春?雙臺子區(qū)期末）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分且相等【變式12】（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．矩形的對角線相等垂直 B．菱形的對角線相等 C．正方形的對角線相等 D．菱形的四個角都是直角【典例2】（2022春?溆浦縣期中）一個正方形的面積為8m2，則它的對角線長為（）A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm【變式21】（2022秋?臨淄區(qū)期末）如圖，小明用四根長度相同的木條制作能夠活動的菱形學具，他先把活動學具做成圖1所示的菱形，并測得∠B＝60°，對角線AC＝1cm，接著把活動學具做成圖2所示的正方形，則圖2中對角線AC的長為（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【變式22】（2022春?涿州市期末）如圖，以正方形ABCD的中心為原點建立平面直角坐標系，點A的坐標為（2，2），則點D的坐標為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）【變式23】（2022春?烏拉特前旗期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為10的正方形，點E在正方形內(nèi)，且AE⊥BE，又BE＝8，則陰影部分的面積是（）A．76 B．24 C．48 D．88考點2：正方形的判定【典例3】（2022秋?萊西市期末）下列說法錯誤的是（）A．對角線相等的菱形是正方形 B．對角線垂互相平分且垂直的四邊形是菱形 C．對角線相等的平行四邊形是矩形 D．對角線垂直且相等的四邊形是正方形【變式31】（2022秋?金水區(qū)校級期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的有（）①當AB＝DC時，它是菱形；②當AC⊥BD時，它是菱形；③當∠ABC＝90°時，它是矩形；④當AC＝BD時，它是正方形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式32】（2022秋?濟陽區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，添加下列一個條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AC B．DC＝AD C．∠AOB＝60° D．OD＝CD【變式33】（2022春?衛(wèi)輝市期末）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列結(jié)論：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是正方形，你認為正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【典例4】（2021秋?平遠縣期末）如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點．（1）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；（2）當AD，AB滿足什么條件時，四邊形MENF是正方形．【變式41】（2022秋?鄆城縣期中）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF與DE相交于點G．求證：矩形ABCD為正方形．【變式42】（2022春?寬城區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．（1）求證：△ABF≌△DAE．（2）求證：四邊形ABCD是正方形．【變式43】（2022秋?二七區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當∠BAC＝°時，四邊形ADCE是一個正方形，并說明理由．考點3：正方形的性質(zhì)與判定綜合【典例5】（2022春?臨沭縣期末）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E是對角線AC上的一點，連接DE．過點E作EF⊥ED，交AB于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB中點，請直接寫出正方形DEFG的面積．【變式51】（2022春?贛縣區(qū)校級期末）如圖，E、F、M、N分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE＝BF＝CM＝DN（1）求證：四邊形EFMN是正方形；（2）若AB＝7，AE＝3，求四邊形EFMN的周長．【變式52】（2022春?覃塘區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四邊形ABCD的面積．【變式53】（2022春?交口縣期末）如圖，已知四邊形ABCD和CEFG均是正方形，點K在BC上，延長CD到點H，使DH＝BK＝CE，連接AK，KF，HF，AH．（1）求證：AK＝AH；（2）求證：四邊形AKFH是正方形；（3）若四邊形AKFH的面積為10，CE＝1，求點A，E之間的距離．過關(guān)檢測一．．選擇題（共10小題）1．（2022秋?浦北縣期末）一個矩形的長是寬的3倍，若寬增加3cm，它就變成正方形，則矩形面積是（）A． B．9cm2 C． D．27cm22．（2023秋?福田區(qū)校級期中）如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，則陰影部分的面積是（）A．119 B．129 C．139 D．1493．（2023秋?六盤水期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，AD平行于x軸，A、C兩點坐標分別為（﹣2，2）、（1，﹣1），則點B的坐標是（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣3，﹣1）4．（2023春?和縣校級期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，添加下列一個條件，仍不能使矩形ABCD成為正方形的是（）A．AC⊥BD B．AC平分∠BAD C．AB＝BC D．△OCD是等邊三角形5．（2023秋?三元區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，則∠BAE為（）A．145° B．150° C．155° D．160°6．（2023?攀枝花）如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，點P是對角線BD上的一點，PF⊥AD于點F，PE⊥AB于點E，連接PC，當PE：PF＝1：2時，則PC＝（）A． B．2 C． D．7．（2023秋?錦江區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當∠ABC＝90°，?ABCD是矩形 B．當AB＝BC，?ABCD是菱形 C．當AC⊥BD，?ABCD是菱形 D．當AC＝BD，?ABCD是正方形8．（2023秋?錦江區(qū)校級期中）如圖，邊長為的正方形ABCD中，M為對角線BD上的一點，連接AM并延長交CD于點P，若PM＝PC，則AM的長為（）A． B． C． D．9．（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，在正方形ABCD中，點P在對角線BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F(xiàn)分別為垂足，連接AP，EF，若AP＝5，則EF＝（）A．5 B．5 C．2.5 D．10．（2023秋?深圳期中）如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點A，O，E在同一直線l上，且EF＝，AB＝3，給出下列結(jié)論：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面積是．其中正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④二．填空題（共6小題）11．（2023秋?山亭區(qū)期中）如圖，將一個邊長為10cm的正方形活動據(jù)架（邊框粗細忽略不計）拉動成四邊形ABCD，若∠BAD＝60°，則AC＝cm．12．（2023秋?法庫縣期中）如圖，以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是．13．（2023春?秦淮區(qū)期末）正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，那么CH的長是．14．（2023春?嵊州市期末）小明在學習完四邊形后，整理成如圖所示的知識結(jié)構(gòu)圖，發(fā)現(xiàn)通過添加邊、角或?qū)蔷€等元素的特殊條件，就能得到特殊的四邊形．寫出條件①中你認為合適的邊、角或?qū)蔷€的條件是．（寫出一個即可）15．（2023?西湖區(qū)校級開學）將四塊直角三角形按圖示方式圍成面積為10的?ABCD，其中△ABF≌△CDH，其內(nèi)部四個頂點構(gòu)成正方形EFGH，若∠ABF＝45°，則CD的長為．16．（2023春?仙桃月考）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，，E為對角線AC上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．下列結(jié)論：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正確的是（填序號）．三．解答題（共4小題）17．（2023秋?薛城區(qū)期中）已知，如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，連接DE交AC于F．（1）試判斷四邊形ADCE的形狀，并證明你的結(jié)論．（2）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請寫出并證明你的結(jié)論．（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？簡述你的理由．18．（2023秋?法庫縣期中）如圖，已知菱形ABCD，點E、F是對角線BD所在直線上的兩點，且∠AED＝45°，DF＝BE，連接CE、AF、CF，得四邊形AECF．（1）求證：四邊形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面積．19．（2022秋?鄄城縣期末）（1）將矩形紙片ABCD沿過點D的直線折疊，使點A落在CD上的點A'處，得到折痕DE，如圖1．求證：四邊形AEA'D是正方形；（2）將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點E的直線折疊