第十章第二節(jié)　用樣本估計總體

第二節(jié)用樣本估計總體【課程標準】1.能根據(jù)實際問題的特點,選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述,體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.2.結(jié)合實例,能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)),理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.3.結(jié)合實例,能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.4.結(jié)合實例,能用樣本估計總體的取值規(guī)律.5.結(jié)合實例,能用樣本估計百分位數(shù),理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.【考情分析】考點考法:高考命題常以頻率分布直方圖為載體,考查用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)字特征;數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、百分位數(shù)是高考熱點,常以選擇題或解答題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.總體取值規(guī)律的估計(1)常見的統(tǒng)計圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等.(2)作頻率分布直方圖的步驟①求極差;②決定組距與組數(shù);③將數(shù)據(jù)分組;④列頻率分布表;⑤畫頻率分布直方圖.2.第p百分位數(shù)一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.【微點撥】第25百分位數(shù),第50百分位數(shù),第75百分位數(shù),這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù),第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).3.總體集中趨勢的估計(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢多用平均數(shù)、中位數(shù)描述;分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢多用眾數(shù)描述.(2)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊中點的橫坐標中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列,處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))劃分頻率分布直方圖為左右兩個面積相等的分界線與x軸交點的橫坐標平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和4.總體離散程度的估計(1)方差、標準差的定義:假設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn,其平均數(shù)為x,則方差:s2=或;標準差:s=s2.(2)總體(樣本)方差①一般式:如果總體中所有個體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為Y,則總體方差S2=.②加權(quán)式:如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯題號12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的為 ()A.對一組數(shù)據(jù)來說,平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近B.方差與標準差具有相同的單位C.如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,方差不變D.在頻率分布直方圖中,最高的小矩形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)【解析】選CD.因為一組數(shù)據(jù)如果出現(xiàn)極端值,其平均數(shù)與中位數(shù)不會接近,例如:1000,0,0,0,0,所以選項A錯誤;因為標準差是方差的算術(shù)平方根,其單位不一樣,所以選項B錯誤;因為一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù),則這組數(shù)的平均數(shù)改變,每個數(shù)與平均數(shù)的差值不變,所以方差不變,所以選項C正確;因為在頻率分布直方圖中,最高的小矩形底邊中點的橫坐標為眾數(shù),所以選項D正確.2.(必修第二冊P215練習(xí)T2)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,x9的方差為2,則數(shù)據(jù)2x1,2x2,…,2x9的方差為 ()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選D.根據(jù)方差的性質(zhì)可知,數(shù)據(jù)x1,x2,…,x9的方差s2=2,那么數(shù)據(jù)2x1,2x2,…,2x9的方差為22s2=8.3.(必修第二冊P203例2)某射擊運動員7次的訓(xùn)練成績分別為86,88,90,89,88,87,85,則這7次成績的第80百分位數(shù)為 ()A.88.5 B.89 C.91 D.89.5【解析】選B.7次的訓(xùn)練成績從小到大排列為85,86,87,88,88,89,90,7×80%=5.6,所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個數(shù)據(jù),即89.4.(統(tǒng)計圖識別錯誤)某中學(xué)初中部共有120名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如圖所示,則該校女教師的人數(shù)為__________.

【解析】因為初中部女教師占70%,高中部女教師占40%,所以該校女教師的人數(shù)為120×0.7+150×0.4=84+60=144.答案:144【核心考點·分類突破】考點一統(tǒng)計圖表的識別[例1](多選題)新式茶飲是指以上等茶葉通過萃取濃縮液,再根據(jù)消費者偏好,添加牛奶、堅果、檸檬等小料調(diào)制而成的飲料.如圖為我國2022年消費者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費新式茶飲金額的條形圖.根據(jù)所給統(tǒng)計圖,下列結(jié)論中正確的是 ()A.每周都消費新式茶飲的消費者占比不到90%B.每天都消費新式茶飲的消費者占比超過20%C.月均消費新式茶飲50~200元的消費者占比超過50%D.月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比超過60%【解析】選BC.每周都消費新式茶飲的消費者占比19.1%>90%,A錯誤;每天都消費新式茶飲的消費者占比5.4%+16.4%>20%,B正確;月均消費新式茶飲50~200元的消費者占比30.5%+25.6%>50%,C正確;月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比114.5%30.5%<60%,D錯誤.【解題技法】統(tǒng)計圖表的主要應(yīng)用(1)扇形圖:直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例;(2)折線圖:描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢;(3)條形圖和直方圖:直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.【對點訓(xùn)練】1.已知某地區(qū)中小學(xué)生的人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示,為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因,用比例分配的分層隨機抽樣的方法隨機抽取1%的學(xué)生進行調(diào)查,其中被抽取的小學(xué)生有80人,則樣本量和該地區(qū)的高中生近視人數(shù)分別為 ()A.200,25 B.200,2500C.8000,25 D.8000,2500【解析】選B.由扇形分布圖并結(jié)合比例分配的分層隨機抽樣知識易知樣本量為8040%=200,則樣本中高中生的人數(shù)為200×25%=50,易知該地區(qū)高中生人數(shù)為5000,結(jié)合近視率條形圖得該地區(qū)高中生近視的人數(shù)為5000×50%=2500.2.走路是“最簡單、最優(yōu)良的鍛煉方式”,它不僅可以幫助減肥,還可以增強心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.如圖為甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計圖,則下列結(jié)論中不正確的是 ()A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的均值大于乙C.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是7030【解析】選D.對于A,這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)從小到大為2435,7965,9500,11600,12700,16000,16800,所以中位數(shù)為11600,選項A正確;對于B,計算甲的平均數(shù)為x甲=1716800)=11000,乙的平均數(shù)為x乙=17×(14200+12300+7030+12970+5340+11600+10060)=10500,所以甲的日步數(shù)的均值大于乙,選項B對于C,甲有極端值,對方差的影響大,所以甲的日步數(shù)的方差大于乙,選項C正確;對于D,因為7×30%=2.1,所以乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是從小到大的第3個數(shù),為10060,選項D錯誤.【加練備選】(2023·麗水模擬)某校高一年級1000名學(xué)生的血型統(tǒng)計情況如圖所示.某課外興趣小組為了研究血型與飲食之間的關(guān)系,決定采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為100的樣本,則從高一年級A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是 ()A.11 B.22 C.110 D.220【解析】選B.由題圖中數(shù)據(jù)可知高一年級A型血的學(xué)生人數(shù)占高一年級學(xué)生總?cè)藬?shù)的22%,所以抽取一個容量為100的樣本,從A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是100×22%=22.考點二離散型數(shù)據(jù)的數(shù)字特征[例2](多選題)為宣傳杭州亞運精神,紅星實驗學(xué)校組織了甲、乙兩個社團,利用一周的時間對外進行宣傳,將每天宣傳的次數(shù)繪制成如圖所示的頻數(shù)分布折線圖,則 ()A.甲社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)小于乙社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)B.甲社團宣傳次數(shù)的極差大于乙社團宣傳次數(shù)的極差C.甲社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)大于乙社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)D.甲社團宣傳次數(shù)的方差大于乙社團宣傳次數(shù)的方差【解析】選ABD.觀察甲、乙社團每天宣傳次數(shù)的頻數(shù)分布折線圖,甲社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)、乙社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)分別為2,3,A正確;甲社團宣傳次數(shù)的極差、乙社團宣傳次數(shù)的極差分別為3,2,B正確;甲社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)x1=2+2+3+2+5+4+37=3,乙社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)x2=2+2+3+4+3+3+4甲社團宣傳次數(shù)的方差s12=17×[3×(23)2+2×(33)2+(53)2+(43)2乙社團宣傳次數(shù)的方差s22=17×[2×(23)2+3×(33)2+2×(43)2]=4【解題技法】樣本數(shù)字特征的求法(1)眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).(2)將樣本數(shù)據(jù)按大小順序排列,處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的均值)即為中位數(shù).(3)平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).(4)極差是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.【對點訓(xùn)練】1.從某中學(xué)抽取10名同學(xué),他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦?82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位:分),則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、第25百分位數(shù)分別為()A.92,85 B.92,88 C.95,88 D.96,85【解析】選B.數(shù)據(jù)92出現(xiàn)了3次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以眾數(shù)是92;這組數(shù)據(jù)已經(jīng)按照由小到大的順序排列,10×25%=2.5,取第三個數(shù),所以第25百分位數(shù)是88.2.(多選題)(2023·哈爾濱模擬)下面是某城市某日在不同觀測點對細顆粒物(PM2.5)的觀測值:396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù),下列數(shù)字特征發(fā)生改變的是 ()A.極差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)【解析】選ABD.根據(jù)題意,若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù),即最大值變?yōu)?96+25=421,極差為最大值與最小值的差,發(fā)生改變;加入數(shù)據(jù)前,中位數(shù)為12×(173+176)=174.5,加入數(shù)據(jù)后,中位數(shù)為176,發(fā)生改變眾數(shù)為數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),不會改變;若加入數(shù)據(jù)前,平均數(shù)為x,加入數(shù)據(jù)后,平均數(shù)為12x+42113>x【加練備選】某中學(xué)高一年級8名學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(滿分150分)分別為85,90,93,99,101,103,116,130,則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第75百分位數(shù)為 ()A.102 B.103 C.109.5 D.116【解析】選C.這組數(shù)據(jù)已經(jīng)按照由小到大的順序排列,8×75%=6,則這8名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的第75百分位數(shù)為第6個數(shù)與第7個數(shù)的平均數(shù),即為103+1162=109.5考點三頻率分布直方圖的數(shù)字特征[例3](多選題)在某次單元測試中,4000名考生的考試成績統(tǒng)計如圖所示,60分以下視為不及格,若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表,則下列說法中正確的有 ()A.成績在[70,80)分的考生人數(shù)最多B.考生考試成績的第80百分位數(shù)為83.3C.考生考試成績的平均分約為70.5分D.考生考試成績的中位數(shù)為75分【解析】選ABC.根據(jù)題圖得,成績出現(xiàn)在[70,80)的頻率最大,故A正確;考生考試成績的第80百分位數(shù)為80+0.050.15×10≈83.根據(jù)頻率分布直方圖估計考試的平均分為45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正確;0.1+0.15+0.2=0.45<0.5,0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.5,所以考生考試成績的中位數(shù)為70+0.5-0.450【解題技法】頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù):最高矩形的底邊中點的橫坐標.(2)中位數(shù):中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.(3)平均數(shù):平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積的和.(4)第p百分位數(shù):①確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b],②確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比fa%,fb%,則第p百分位數(shù)為a+p%-fa%f【對點訓(xùn)練】治理沙漠化離不開優(yōu)質(zhì)的樹苗,現(xiàn)從苗圃中隨機地抽測了200株樹苗的高度(單位:cm),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值及眾數(shù)、中位數(shù);(2)若樹苗高度在185cm及以上是可以移栽的合格樹苗.從樣本中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取20株樹苗作進一步研究,不合格樹苗、合格樹苗分別應(yīng)抽取多少株?【解析】(1)因為(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300+a+0.0080+0.0020)×10=1,所以a=0.0250,眾數(shù)為185+1952=190,設(shè)中位數(shù)為x,因為(0.0015+0.0110+0.0.35<0.5,(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300)×10=0.65>0.5,則185<x<195,0.35+0.0300×(x185)=0.5,所以x=190.故a=0.0250,眾數(shù)為190,中位數(shù)為190.(2)由題意可知,合格樹苗所占頻率為(0.0300+0.0250+0.0080+0.0020)×10=0.65,不合格樹苗所占頻率為10.65=0.35,所以不合格樹苗抽取20×0.35=7(株),合格樹苗抽取20×0.65=13(株),故不合格樹苗、合格樹苗應(yīng)分別抽取7株和13株.【加練備選】某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,進行了一次摸底考試,從中選取60名學(xué)生的成績,分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組后,得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示,觀察圖形,回答下列問題:(1)求分數(shù)在區(qū)間[70,80)內(nèi)的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;(2)根據(jù)評獎規(guī)則,排名在前10%的學(xué)生可以獲獎,請你估計獲獎的學(xué)生至少需要多少分.【解析】(1)設(shè)分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x,根據(jù)頻率分布直方圖,可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x=1,解得x=0.25,所以分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為0.25,補全這個頻率分布直方圖,如圖所示.(2)因為分數(shù)在區(qū)間[80,90)內(nèi)的頻率為0.25,在區(qū)間[90,100]內(nèi)的頻率為0.05,而0.05<10%<0.25+0.05,所以設(shè)排名前10%的分界點為90a,則0.025a+0.005×10=10%,解得a=2,所以排名前10%的分界點為88分,即獲獎的學(xué)生至少需要88分.考點四總體離散趨勢的估計[例4](2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高,用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如表:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為x和y,樣本方差分別記為s12和(1)求x,y,s12,(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果yx≥2s12+s22【解析】(1)由題表中的數(shù)據(jù)可得,x=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.y=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.s12=110×[(9.710.0)2+2×(9.810.0)2+(9.910.0)2+2×(10.010.0)2+(10.110.2×(10.210.0)2+(10.310.0)2]=0.036,s22=110×[(10.010.3)2+3×(10.110.3)2+(10.310.3)2+2×(10.410.3)2+2×(10.510+(10.610.3)2]=0.04.(2)由(1)中數(shù)據(jù)得yx=0.3,2s12+顯然yx>2s12+【解題技法】計算方差、標準差的步驟(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x;(2)計算每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xix(i=1,2,…,n),并求對應(yīng)的平方值;(3)求出上述n個平方值的平均數(shù),即為樣本方差;求出上述n個平方值平均數(shù)的算術(shù)平方根,即為樣本標準差.【對點訓(xùn)練】1.(2023·成都模擬)一次數(shù)學(xué)考試后,某班級平均分為110分,方差為s12.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有兩名同學(xué)的成績計算有誤,甲同學(xué)成績被誤判為113分,實際得分為118分;乙同學(xué)成績誤判為120分,實際得分為115分.更正后重新計算,得到方差為s22,則s12A.s12=s22 B.s12>s22【解析】選B.設(shè)班級人數(shù)為n,因為113+120=118+115,所以更正前后平均分不變,且(113110)2+(120110)2>(118110)2+