新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第27講探索性問題(原卷版+解析)

第27講探索性問題一、解答題1．已知分別為橢圓：（）的左、右焦點(diǎn),且離心率為，點(diǎn)橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使直線與的傾斜角互補(bǔ)，且直線是否恒過定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2．橢圓上頂點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且焦距為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，判斷是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．3．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.4．已知為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由.5．（本小題共13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2?12x+32=0的圓心為Q，過點(diǎn)P(0，2)且斜率為k的直線l（Ⅰ）求圓Q的面積；（Ⅱ）求k的取值范圍；（Ⅲ）是否存在常數(shù)k，使得向量OA+OB與PQ共線？如果存在，求明理由．6．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，離心率為，經(jīng)過其左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（I）求橢圓的方程；（II）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說明理由.7．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（），且點(diǎn)F（，0）為其右焦點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l與橢圓C交于B，D兩點(diǎn)，滿足，且原點(diǎn)到直線l的距離為？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.8．（本小題12分）已知如圖，圓和拋物線，圓的切線與拋物線交于不同的點(diǎn)，.（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求線段的長；（2）設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，問是否存在圓的切線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.9．已知曲線，，動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，曲線在處的切線相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與相切于點(diǎn)，試問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，兩直線的斜率之積恒為定值？若存在求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．10．已知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，下頂點(diǎn)為D(0，－1)，且離心率e=63．經(jīng)過點(diǎn)(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求|AM|的取值范圍.（Ⅲ）在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使∠MPA=∠MPB。若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．11．已知直線，圓，橢圓的離心率，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等．求橢圓的方程；已知?jiǎng)又本€（斜率存在）與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，且△的面積為，若為線段的中點(diǎn)，問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)使得直線與的斜率之積為定值？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．12．已知橢圓:經(jīng)過點(diǎn)且離心率為.（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.13．已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）若直線的斜率存在，在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由．14．已知橢圓：（）過點(diǎn)，離心率，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；若不存在，請說明理由.15．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，并且直線平分圓.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，是否存在直線，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.16．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，是的一個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），對任意的動(dòng)直線（斜率存在）都有，若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.17．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M，N在C上，且，D為垂足，問是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值，若存在，求出Q點(diǎn)，若不存在，請說明理由．18．已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．第27講探索性問題一、解答題1．已知分別為橢圓：（）的左、右焦點(diǎn),且離心率為，點(diǎn)橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）是否存在斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，使直線與的傾斜角互補(bǔ)，且直線是否恒過定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.試題解析：（1）由題意得，，，聯(lián)立得橢圓方程為6分（2）由題意,知直線存在斜率,其方程為由消去△=（4km）2—4（2k2+1）（2m2—2）>0設(shè)則8分又由已知直線與的傾斜角互補(bǔ),得化簡,得整理得10分直線的方程為,因此直線過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）12分考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的綜合應(yīng)用.2．橢圓上頂點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且焦距為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，判斷是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為，離心率為，解得：，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為，代入到得，設(shè)，，，，由韋達(dá)定理得：，，因?yàn)?，，，，可得：代入整理可得，解得：，即可求出直線方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，焦距為2，故又，，，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，，為的垂心，．，，，，，設(shè)直線的方程為，代入到得，，解得且，，，，，，，即由根與系數(shù)的關(guān)系，得．解得或（舍去）．故存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心，且直線的方程為【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和橢圓的關(guān)系，常用方法為：設(shè)而不求利用韋達(dá)定理求出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合條件即可得解.要求較高的計(jì)算能力，屬于難題.3．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）由已知條件可推得，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）存在直線使得成立，直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件，得出，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為（），半焦距為．依題意，由右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，得．解得，．所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）解：存在直線，使得成立．理由如下：由得．，化簡得．設(shè)，，則，．若成立，即，等價(jià)于．所以．，，,化簡得，．將代入中，，解得，．又由，，從而，或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置的應(yīng)用．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中涉及到橢圓的幾何性質(zhì)、不等式求范圍問題，此類問題的解答中，把直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系，以及韋達(dá)定理結(jié)合題目的條件進(jìn)行合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生推理與運(yùn)算能力，同時(shí)注意試題中的隱含條件，做到合理加以運(yùn)用，屬于中檔試題．4．已知為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程；（2）過的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程為，由，利用已知條件能求出，由此能求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線，由，得，利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出．當(dāng)不存在時(shí)圓面積最大，此時(shí)直線方程為．試題解析：（1）由已知，可設(shè)橢圓的方程為.因?yàn)?，所?所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得.設(shè)，則，所以.設(shè)內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)榈闹荛L為（定值），，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，內(nèi)切圓面積最大.又，令，則，所以，又當(dāng)k不存在時(shí)，，此時(shí)，故當(dāng)k不存在時(shí)內(nèi)切圓面積最大，，此時(shí)直線方程為.考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓的綜合.【方法點(diǎn)晴】本題考查橢圓方程的求法，根據(jù)橢圓的定義設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得解；考查三角形內(nèi)切圓面積是否存在最大值的判斷，用到不太常用的三角形內(nèi)切圓半徑公式：，故可得當(dāng)三角形周長固定時(shí)，三角形面積越大內(nèi)切圓面積越大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和分類討論思想的合理運(yùn)用，計(jì)算難度較大，屬于難題.5．（本小題共13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2?12x+32=0的圓心為Q，過點(diǎn)P(0，2)且斜率為k的直線l（Ⅰ）求圓Q的面積；（Ⅱ）求k的取值范圍；（Ⅲ）是否存在常數(shù)k，使得向量OA+OB與PQ共線？如果存在，求明理由．【答案】(1)4π.(2)(?34【解析】解：（Ⅰ）圓的方程可化為(x?6)2+y故圓的面積為4π．---------------------3分（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2．法一：將直線方程代入圓方程得x2整理得(1+k2)直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于Δ=[4(k?3)]解得?34<k<0，即k法二：直線l與圓(x?6)2+y|kx?y+2|k化簡得(?8k解得?34<k<0，即k（Ⅲ）設(shè)A(x1，y1x1又y1+y2=k(所以O(shè)A+OB與PQ共線等價(jià)于將②③代入上式，解得k=?36．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，離心率為，經(jīng)過其左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（I）求橢圓的方程；（II）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說明理由.【答案】（I）；（II）見詳解.【分析】（I）根據(jù)，和已知即可求解；（II）聯(lián)立直線與橢圓方程，消去根據(jù)韋達(dá)定理代入數(shù)量積即可求解.【詳解】（I）設(shè)橢圓的方程為，由題意，得，解得，所以所求的橢圓方程為.（II）由（I）知.假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，、.由得，所以，.因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，從而有，即此時(shí)②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時(shí)，亦有綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使得恒為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程及橢圓與直線的應(yīng)用.此題的難點(diǎn)是計(jì)算.7．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（），且點(diǎn)F（，0）為其右焦點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l與橢圓C交于B，D兩點(diǎn)，滿足，且原點(diǎn)到直線l的距離為？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）不存在【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)及橢圓定義，即可求得參數(shù)c與a，從而求得橢圓的方程．（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離，可得m與k的等量關(guān)系式；聯(lián)立方程，由判別式可得k的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合向量的數(shù)量積求得斜率，判斷是否存在．【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為，則左焦點(diǎn)為，在直角三角形中，可求，∴，故橢圓C的方程為．（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為，由原點(diǎn)到l的距離為得：．聯(lián)立方程，得．則，，．設(shè)，，則，解得．當(dāng)斜率不存在時(shí)，l的方程為，易求得．綜上，不存在符合條件的直線．…【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的綜合應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系，是高考的?？键c(diǎn)，屬于難題．8．（本小題12分）已知如圖，圓和拋物線，圓的切線與拋物線交于不同的點(diǎn)，.（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求線段的長；（2）設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，問是否存在圓的切線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】試題分析：（1）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，設(shè)，，設(shè)的方程，利用直線是圓的切線，求得的值，從而可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，即可計(jì)算弦長；（2）利用直線是圓的切線，可得，滿足的一個(gè)方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用，可得，滿足的另一個(gè)方程，聯(lián)立方程組可求得，的值，從而得到滿足題設(shè)的直線.試題解析：∵圓：，∴圓心坐標(biāo)為，半徑，（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，設(shè)的方程為，即，∵直線是圓的切線，∴，解得或（舍），此時(shí)直線的方程為，由，消去得，∴，設(shè)，，則，，得，∴弦長；（2）∵直線是圓的切線，∴，得①，由，消去得，∴，即，且，，∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴點(diǎn)為，∴，，∵，∴，即，即②，①+②，得，解得或，當(dāng)時(shí)，代入①解得，，滿足條件，當(dāng)時(shí)，代入①得，無解，綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為.考點(diǎn)：1.直線與拋物線的位置關(guān)系；2.弦長的計(jì)算；3.韋達(dá)定理的運(yùn)用.9．已知曲線，，動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，曲線在處的切線相交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與相切于點(diǎn)，試問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，兩直線的斜率之積恒為定值？若存在求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在兩個(gè)定點(diǎn)恒滿足.【解析】試題分析：（1）設(shè)出直線方程，聯(lián)立其與拋物線方程得到兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的斜率就是它們分別在兩點(diǎn)處切線的斜率，且，可求得；（2）利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線，的方程，觀察可得直線的方程，利用與圓相切整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，問題得解.試題解析：（1）依題意，直線的斜率存在，設(shè)，由得則，又由得，∴，∴∴的方程為，恒過定點(diǎn)．（2）設(shè)，直線，即又經(jīng)過，∴，即∴，同理，∴由此可得切線的方程為∴．由直線與圓相切得，化簡得，從而動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．取，則為定值故存在兩個(gè)定點(diǎn)滿足恒為定值．考點(diǎn)：直線與圓、直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用,綜合性較強(qiáng)，屬于難題.解答本題的技巧在于，通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到兩條切線斜率之間的關(guān)系，由直線與拋物線方程構(gòu)成的方程組得到兩切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，二者本質(zhì)上是統(tǒng)一的，從而得到直線經(jīng)過的定點(diǎn)；第二問的難點(diǎn)是從第一問出發(fā)，寫出直線，的方程，觀察得到點(diǎn)的軌跡，通過雙曲線知識得到答案.10．已知橢圓焦點(diǎn)在x軸上，下頂點(diǎn)為D(0，－1)，且離心率e=63．經(jīng)過點(diǎn)(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）求|AM|的取值范圍.（Ⅲ）在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使∠MPA=∠MPB。若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】(Ⅰ)x23+y2【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得方程組b=1,ca=63，解得a2=3,b2=1，（Ⅱ）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列|AM|，利用點(diǎn)A在橢圓上，消未知數(shù)得一元二次函數(shù)，最后根據(jù)對稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系求最值，（Ⅲ）由∠MPA=∠MPB得kPA+k試題解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為x2a2又a2=b2+c(Ⅱ)設(shè)A(x1,y又?3≤x≤∴所以當(dāng)x1=32時(shí)，|AM|的最小值為（Ⅲ）假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P(m,0)滿足條件，A(x1,當(dāng)直線L的斜率存在時(shí)，設(shè)直線L方程為：y=k(x?1)由{x2x1由∠MPA=∠MPB得kPA+k又y1=k(x2×3k2當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，也滿足條件.∴定點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,011．已知直線，圓，橢圓的離心率，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等．求橢圓的方程；已知?jiǎng)又本€（斜率存在）與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，且△的面積為，若為線段的中點(diǎn)，問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)使得直線與的斜率之積為定值？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】A（，0），B（－，0）【解析】試題分析：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般利用待定系數(shù)法求解，即列出兩個(gè)獨(dú)立條件，組成方程組：一是由離心率得，二是由直線與圓位置關(guān)系中垂徑定理得，而圓心O到的距離，從而存在性問題，一般從假設(shè)存在出發(fā)，探求滿足題意的充要條件：假設(shè)x軸上存在兩定點(diǎn)A（s，0），B（t，0）（s≠t），則直線NA的斜率k1＝，直線NB的斜率k2＝，∴k1k2＝，因此原問題轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡：由弦中點(diǎn)及面積可得出，代入得，從而得出s＋t＝0，st＝－2試題解析：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，圓心O到的距離d＝，則被圓O截得的弦長為2，所以b＝1，由題意得e＝，∵b＝1，∴a2＝4，b2＝1．∴橢圓E的方程為．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線的方程為：y＝kx＋m．則消去y得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．x1＋x2＝－，x1·x2＝．|PQ|＝·|x1－x2|＝．原點(diǎn)O到直線的距離d＝，則，∴2|m|·＝1＋4k2，令1＋4k2＝n，∴2|m|·＝n，∴n＝2m2，1＋4k2＝2m2．∵N為PQ中點(diǎn)，∴xN，yN，∵1＋4k2＝2m2，∴xN＝－，yN＝．∴．假設(shè)x軸上存在兩定點(diǎn)A（s，0），B（t，0）（s≠t），則直線NA的斜率k1＝，直線NB的斜率k2＝，∴k1k2＝當(dāng)且僅當(dāng)s＋t＝0，st＝－2時(shí)，k1k2＝－，則s＝，t＝－．綜上所述，存在兩定點(diǎn)A（，0），B（－，0），使得直線NA與NB的斜率之積為定值．考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓位置關(guān)系【方法點(diǎn)睛】1．求定值問題常見的方法有兩種（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．2．定點(diǎn)的探索與證明問題（1）探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為y＝kx＋b，然后利用條件建立b、k等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．（2）從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)．12．已知橢圓:經(jīng)過點(diǎn)且離心率為.（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線，使橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）由題意知橢圓的離心率為，可得，故橢圓方程為，代入點(diǎn)，即可求解（2）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法可得的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)M在橢圓內(nèi)，建立不等式，即可求得的取值范圍．【詳解】（1）由橢圓離心率，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以橢圓方程為，由橢圓過點(diǎn)，可得，解得，所以橢圓方程為（2）假設(shè)存在，設(shè)，、，，的中點(diǎn)，，則兩式相減可得，，在橢圓內(nèi)，或的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的對稱性，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．13．已知橢圓，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若，求直線的方程；（2）若直線的斜率存在，在線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線的方程為，①又橢圓的方程為，②由①②可得，（*）∴，，∴，∴，解得，∴，即直線的方程為或．（2）由（1）可知，設(shè)的中點(diǎn)為，即，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，解得，當(dāng)時(shí)，，為橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則點(diǎn)與原點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，存在點(diǎn)且．點(diǎn)睛：本題旨在考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識以及學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力等思維能力。解答第一問題時(shí)，充分借助直線與橢圓的位置關(guān)系，借用坐標(biāo)之間的關(guān)系待定直線的斜率，從而求出直線的方程；第二問則假設(shè)符合題設(shè)條件的點(diǎn)存在，然后借助題設(shè)條件進(jìn)行推理論證，從而探究出點(diǎn)的存在。14．已知橢圓：（）過點(diǎn)，離心率，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，使得為定值.【分析】（1）由離心率得，再根據(jù)橢圓過點(diǎn)待定系數(shù)即可求得；（2）分別設(shè)，，，再直線與橢圓方程聯(lián)立得，故有，，再計(jì)算并化簡得，根據(jù)題意若為定值，則，代入可求得，.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以有，解得，所以，故橢圓方程為：.（2）設(shè)，，，則聯(lián)立方程得.顯然，，，所以為定值.故.即，則，解得，.即存在點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求橢圓的方程，橢圓中的定值定點(diǎn)問題，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，并且直線平分圓.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，是否存在直線，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1);(2)不存在直線.【解析】試題分析:(1)由弦的中垂線必過圓心,所以求出線段的中垂線,與3x-2y=0的交點(diǎn)即為圓心,由兩點(diǎn)間距離公式求圓的半徑.(2)設(shè)，由向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示可知,直線與圓組方程組,利用韋達(dá)代入上式,可求得k,同時(shí)檢驗(yàn)判別式.試題解析:（1）線段的中點(diǎn)，，故線段的中垂線方程為，即.因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，故圓心在線段的中垂線上.又因?yàn)橹本€：平分圓，所以直線經(jīng)過圓心.由解得，即圓心的坐標(biāo)為，而圓的半徑，所以圓的方程為：（2）設(shè)，將代入方程，得，即，由，得，所以，.又因?yàn)樗?，解得或此時(shí)式中，沒有實(shí)根，與直線與交于兩點(diǎn)相矛盾，所以不存在直線，使得.16．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，是的一個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），對任意的動(dòng)直線（斜率存在）都有，若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在這樣的定點(diǎn)，坐標(biāo)為，詳見解析【分析】（1）根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程，解出即可；（2）設(shè)出點(diǎn)，聯(lián)立直線和橢圓，將用韋達(dá)定理和斜率公式變形整理，利用恒成立的意義，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解（1）由題意得，所以，即橢圓的