河南省開封市、商丘市九校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

河南省開封市、商丘市九校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P、Q、R分別是棱AB、BC、的中點(diǎn)，以PQR為底面作一個(gè)直三棱柱，使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體的表面上，則這個(gè)直三棱柱的體積為（）A. B.C. D.2．如圖，樣本和分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）AB.C.D.3．設(shè)太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉(zhuǎn)動(dòng)棱長(zhǎng)為一個(gè)單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.4．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.6．一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為（）A. B.C. D.8．已知，是雙曲線C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.9．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.411．已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B.C. D.12．命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是________14．若，且，則的最小值是____________.15．若點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為________16．的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，在處有極值.（1）求、的值；（2）若，有個(gè)不同實(shí)根，求的范圍.18．（12分）已知的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)19．（12分）如圖1，在中，，，，分別是，邊上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2（1）求點(diǎn)到平面距離；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．若存在，求出長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由20．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）若數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第項(xiàng)，按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）如圖1是直角梯形，以為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且平面與平面垂直，如圖2（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在點(diǎn)P，使平面與平面的夾角為？若存在，則求三棱錐的體積，若不存在，則說明理由22．（10分）在如圖三角形數(shù)陣中第n行有n個(gè)數(shù)，表示第i行第j個(gè)數(shù)，例如，表示第4行第3個(gè)數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中).已知.（1）求m及；（2）記，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，利用棱柱的定義證明幾何體是三棱柱，再證明平面PQR，得到三棱柱是直三棱柱求解.【詳解】如圖所示：連接,分別取其中點(diǎn)，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C2、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.3、C【解析】確定正方體投影面積最大時(shí),是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設(shè)正方體投影最大時(shí)，是投影面與平面AB'C平行，三個(gè)面的投影為兩個(gè)全等的菱形，其對(duì)角線為，即投影面上三條對(duì)角線構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C4、B【解析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故兩直線平行時(shí)又之間的距離為，故選：B.5、C【解析】此方程表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.6、A【解析】依據(jù)定義法去求動(dòng)圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為9的橢圓.故選：A7、C【解析】當(dāng)成立，寫出左側(cè)的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，寫出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，觀察計(jì)算即可【詳解】從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為，因此增加的項(xiàng)數(shù)是，故選：C8、B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由，不妨設(shè)，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以有，或舍去，故選：B9、D【解析】設(shè)，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，折痕與直線AB垂直，進(jìn)而求出斜率，用點(diǎn)斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D10、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.11、D【解析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得到答案.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，且，所以，解得，設(shè)的傾斜角為，，所以.故選：D12、D【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得到答案.【詳解】因?yàn)槊}，，所以，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關(guān)系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，14、【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求a+4b的最小值即可.【詳解】由，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，∴最小值為.故答案為：15、7【解析】根據(jù)給定條件求出圓C的圓心C到直線l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線的距離，所以圓C上點(diǎn)P到直線l距離的最大值為.故答案為：716、##0.015625【解析】賦值法求解二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】令得：，即為展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得，由此可解得與的值（2）依題意可知直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍介于極小值與極大值之間.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在處有極值，所以，即，解得，.【小問2詳解】由（1）知，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以，，若有3個(gè)不同實(shí)根，則，所以的取值范圍為.18、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問1詳解】的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，所以.【小問2詳解】，因此時(shí)，有理項(xiàng)，有理項(xiàng)是第一項(xiàng)和第七項(xiàng).19、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)題意分別由已知條件計(jì)算出的面積和的面積，利用求解，（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，利用向量平夾角公式列方程可求得結(jié)果【小問1詳解】在中，，因?yàn)?，分別是，邊上的中點(diǎn)，所以∥，，所以，所以，因?yàn)?，所以平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以是等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，在中，，所以邊上的高為，所以，在梯形中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為【小問2詳解】由（1）可知平面，，所以以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面與平面夾角的余弦值為，兩邊平方得，，解得或（舍去），所以，所以20、（1），；（2）.【解析】(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列公差及通項(xiàng)公式，由求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，解得，公差，則，因此，，依題意，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，.【小問2詳解】由(1)知，，則，因此，，，所以.21、（1）（2）存在，靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn).【解析】（1）由題意建立空間直接坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，由求解；（2）假設(shè)棱上存在點(diǎn)P，設(shè)，求得點(diǎn)p坐標(biāo)，再求得平面PBE的一個(gè)法向量，由平面，得到為平面的一個(gè)法向量，然后由求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以四邊形ABCE是平行四邊形，又，所以四邊形ABCE是菱形，，又平面與平面垂直，又平面與平面=EB，所以平面，建立如圖所示空間直接坐標(biāo)系：則，所以，則，所以異面直線與所成角的余弦值是；【小問2詳解】假設(shè)棱上存在點(diǎn)P，使平面與平面的夾角為，設(shè)，則，又，設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量為，則，即，則，由平面，則為平面的一個(gè)法向量，所以，解得.22、（1），；（2）【解析】（1）根據(jù)題意以m表示出，由即