2025屆山東青島膠州市數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆山東青島膠州市數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在長(zhǎng)方體，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是A. B.C D.4．下列數(shù)列中成等差數(shù)列的是（）A. B.C. D.5．《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書(shū)中有這樣一道題目：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B.C. D.6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下敘述：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍．下列結(jié)論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍7．下圖稱為弦圖，是我國(guó)古代三國(guó)時(shí)期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)為證明勾股定理所繪制，我們新教材中利用該圖作為“（）”的幾何解釋A.如果，，那么B.如果，那么C.對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立D.如果，那么8．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.10．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.11．阿基米德曾說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬動(dòng)地球”.他在做數(shù)學(xué)研究時(shí)，有一個(gè)有趣的問(wèn)題：一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部挖了一個(gè)內(nèi)切圓，現(xiàn)在以該內(nèi)切圓的圓心且平行于正方形的一邊的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B.C. D.12．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________；14．已知向量，，若與垂直，則___________.15．已知莖葉圖記錄了甲、乙兩組各名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為_(kāi)_________．甲組乙組16．若圓平分圓的周長(zhǎng),則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，證明：18．（12分）已知橢圓的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)為橢圓的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，證明為定值.19．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）已知圓：與直線：.（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出其坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)度.21．（12分）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值.22．（10分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：,且是,的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若,,求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得向量，的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式即可求得答案.詳解】如圖，由題意可知DA，DC，兩兩垂直，則以D為原點(diǎn)，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，從而，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：A.2、A【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，可解得公差d得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.3、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，并得出，然后分別在和解不等式，由此可得出不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，由于函?shù)為上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞增，由，可得，解得.綜上所述，使得成立的的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.4、C【解析】利用等差數(shù)列定義，逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，A不是等差數(shù)列；對(duì)于B，，B不是等差數(shù)列；對(duì)于C，，C是等差數(shù)列；對(duì)于D，，D不是等差數(shù)列.故選：C5、A【解析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.6、C【解析】由題設(shè)易知是公比為2的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，結(jié)合各選項(xiàng)的描述及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224，C不正確，D正確故選：C.7、C【解析】設(shè)圖中直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊為，則可表示出陰影面積和正方形面積，根據(jù)圖象關(guān)系，可得即可得答案.【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a，b，則斜邊為，如圖所示：則四個(gè)直角三角形的面積為，正方形的面積為，由圖象可得，四個(gè)直角三角形面積之和小于等于正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C8、C【解析】∵“”?“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.9、A【解析】將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，，可知平面將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬中檔題.10、D【解析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍遥?，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值，?dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立.故選：D11、B【解析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱和球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：該旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面半徑為，高為的圓柱的體積減去半徑為的球的體積，即，故選：B12、D【解析】由拋物線準(zhǔn)線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準(zhǔn)線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時(shí)，有或，所以或，得或6故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減∴在區(qū)間上恒成立即，解得:，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意故答案為【點(diǎn)睛】f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解14、【解析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.15、【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的定義，結(jié)合莖葉圖進(jìn)行計(jì)算求解即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知：甲組名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)分別；乙組名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)分別，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以有，又因?yàn)橐医M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以有，所以，故答案為：16、6【解析】根據(jù)兩圓的公共弦過(guò)圓的圓心即可獲解【詳解】?jī)蓤A相減得公共弦所在的直線方程為由題知兩圓的公共弦過(guò)圓的圓心,所以即,又,所以到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為故答案為:6三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)值為0的方程有兩個(gè)正根，再構(gòu)造函數(shù)求解作答.(2)將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性作答.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，依題意，函數(shù)在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，于是得有兩個(gè)不等的正根，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因，恒成立，即當(dāng)時(shí)，的值從遞減到0(不能取0)，又，有兩個(gè)不等的正根等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，如圖，因此有，所以a取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由(1)知分別是方程的兩個(gè)不等的正根，，即，作差得，則有，原不等式，令，則，于是得，設(shè)，則，因此，在單調(diào)遞增，則有，即成立，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.18、(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解；(2)依據(jù)題設(shè)運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系探求.試題解析：（1）由，可得橢圓方程.（2）設(shè)的方程為，代入并整理得：.設(shè)，，則，同理則.所以，是定值.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)及直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)的綜合性問(wèn)題.解答本題的第一問(wèn)時(shí),直接依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)和橢圓的有關(guān)概念建立方程組,進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；第二問(wèn)的求解過(guò)程中,先設(shè)直線的方程為,再借助二次方程中根與系數(shù)之間的關(guān)系，依據(jù)坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算探求，從而使得問(wèn)題獲解.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明問(wèn)題；（2）結(jié)合（1），進(jìn)而利用等體積法求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，，為等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)M到平面的距離為d，，∴.易得，取BD的中點(diǎn)N，連接，則，所以，，所以，，.即M到平面的距離為1.20、（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】（1）將直線方程化為，解方程得出定點(diǎn)；（2）求出圓心到直線的距離，再由幾何法得出弦長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)橹本€，所以．令，解得，所以不論取何值，直線必過(guò)定點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，直線為，圓心圓心到直線的距離，則21、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）化簡(jiǎn)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和；（3）利用分組法求得，結(jié)合，即可求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，；兩式相減可得，整理得（常數(shù)），故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；所以.【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，所以，