山東省青州二中2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考模擬試題含解析

山東省青州二中2025屆高二上數(shù)學期末聯(lián)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.132．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.3．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列滿足，若.則的值是（）A. B.C. D.5．從編號為1~120的商品中利用系統(tǒng)抽樣的方法抽8件進行質檢，若所抽樣本中含有編號66的商品，則下列編號一定被抽到的是（）A.111 B.52C.37 D.86．已知直線過點，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.7．年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正負抵消，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個碳原子和兩個氧原子構成的，其結構式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有（）A.種 B.種C.種 D.種8．命題“若，則”的否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．用3，4，5，6，7，9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，下列結論正確的有（）A.在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有480個B.在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰的共有120個C.在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有504個D.在這樣六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有60個10．已知向量，滿足條件，則的值為（）A.1 B.C.2 D.11．方程與的曲線在同一坐標系中的示意圖應是（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點為F，點P為該拋物線上的動點，若，則當最大時，（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，且夾角的余弦值為________14．若函數(shù)在（0，+∞）內有且只有一個零點,則a的值為_____15．已知直線和直線垂直，則實數(shù)___________.16．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設點P是曲線上的任意一點，k是該曲線在點P處的切線的斜率（1）求k的取值范圍；（2）求當k取最大值時，該曲線在點P處的切線方程18．（12分）在中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，滿足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.19．（12分）近年來，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢，一方面，化肥的施用對糧食增產增收起到了關鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染，空氣污染，土壤污染的重要來源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進糧食增產，減少對周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問題.研究糧食產量與化肥施用量的關系，成為解決上述問題的前提.某研究團隊收集了10組化肥施用量和糧食畝產量的數(shù)據(jù)并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產量為y（單位：百公斤）.參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根據(jù)散點圖判斷與，哪一個適宜作為糧食畝產量y關于化肥施用量x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；并預測化肥施用量為27公斤時，糧食畝產量y的值；（3）經(jīng)生產技術提高后，該化肥的有效率Z大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得Z大致服從正態(tài)分布N），那這種化肥的有效率超過58%的概率約為多少？附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；②若隨機變量，則有，；③取.20．（12分）已知拋物線經(jīng)過點.（Ⅰ）求拋物線C的方程及其焦點坐標；（Ⅱ）過拋物線C上一動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積的最小值.21．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓過點.（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線交橢圓于M、N兩點，已知直線MA，NA分別交直線于點P，Q，求的值.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線．設直線交軸于，交軸于，且點，求的軌跡方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標的性質，，進而根據(jù)條件求出，然后結合等差數(shù)列的求和公式和下標性質求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.2、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A3、D【解析】由空間向量的坐標運算和空間向量平行的坐標表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.4、D【解析】由，轉化為，再由求解.【詳解】因為數(shù)列滿足，所以，即，因為，所以，所以，故選：D5、A【解析】先求出等距抽樣的組距，從而得到被抽到的是，從而求出答案.【詳解】120件商品中抽8件，故，因為含有編號66的商品被抽到，故其他能被抽到的是，當時，，其他三個選項均不合要求，故選：A6、D【解析】根據(jù)題意和直線的點方向式方程即可得出結果.【詳解】因為直線過點，且方向向量為，由直線的點方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D7、C【解析】分兩種情況討論：兩個氧原子相同、兩個氧原子不同，分別計算出兩種情況下二氧化碳分子的個數(shù)，利用分類加法計數(shù)原理可得結果.【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個氧原子相同，此時二氧化碳分子共有種；若兩個氧原子不同，此時二氧化碳分子共有種.由分類加法計數(shù)原理可知，由上述同位素可構成的不同二氧化碳分子共有種.故選：C.8、B【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結論都要否定【詳解】解：因為原命題的否命題是條件結論都要否定所以命題“若，則”的否命題是若，則；故選：B9、A【解析】A選項，特殊位置優(yōu)先考慮求出這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)個數(shù)；B選項，相鄰問題捆綁法求解；C選項，不相鄰問題插空法求解；D選項，定序問題使用倍縮法求解.【詳解】用3，4，5，6，7，9這6個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，個位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個數(shù)位上的數(shù)字進行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有個，A正確；在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進行全排列，故共有個，B錯誤；在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進行全排列，再從五個位置中任選兩個將4,6排列，綜上共有個，C錯誤；在這樣的六位數(shù)中，4個奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有個，D錯誤.故選：A10、A【解析】先求出坐標，進而根據(jù)空間向量垂直的坐標運算求得答案.【詳解】因為，所以，解得.故選：A.11、A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當和同號時，拋物線開口向左，方程表示焦點在軸的橢圓，無符合條件的選項；當和異號時，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項.12、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，結合換元法、配方法進行求解即可.【詳解】因為點P為該拋物線上的動點，所以點P的坐標設為，拋物線的焦點為F，所以，拋物線的準線方程為：，因此，令，，當時，即當時，有最大值，最大值為1，此時.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】，故答案為：【點睛】本題主要考查了求空間中兩個向量的夾角，屬于基礎題.14、a＝3【解析】對函數(shù)進行求導,分類討論函數(shù)單調性,根據(jù)單調性結合已知可以求出a的值.【詳解】∵函數(shù)在（0，+∞）內有且只有一個零點,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當a≤0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上沒有零點,舍去；②當a＞0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解為x，∴f（x）在（0,）上遞減,在（,+∞）遞增，又f（x）只有一個零點,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案為：a＝3【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究已知函數(shù)的零點求參數(shù)取值問題,考查了分類討論和數(shù)學運算能力.15、【解析】根據(jù)兩條直線相互垂直的條件列方程，解方程求得m的值.【詳解】由于兩條直線垂直，故，解得.故答案為：.16、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進而可求得答案【詳解】因為平面的法向量為，平面的法向量為，，所以∥，所以存實數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求導數(shù)再求最值即可求解答案；（2）由（1）確定切點，從而也確定的斜率就可以求切線.【小問1詳解】設，因為，所以，所以k的取值范圍為【小問2詳解】由（1）知，此時，即，所以此時曲線在點P處的切線方程為18、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問2詳解】由余弦定理得，即，所以，當且僅當，取“=”，所以面積的最大值為19、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根據(jù)散點圖的變化趨勢，結合給定模型的性質直接判斷適合的模型即可.（2）將（1）中模型取對得，結合題設及表格數(shù)據(jù)求及參數(shù)，進而可得參數(shù)c，即可確定回歸方程，進而估計時糧食畝產量y的值.（3）由題設知，結合特殊區(qū)間的概率值及正態(tài)分布的對稱性求即可.【小問1詳解】根據(jù)散點圖，呈現(xiàn)非線性的變化趨勢，故更適合作為關于的回歸方程類型.【小問2詳解】對兩邊取對數(shù)，得，即，由表中數(shù)據(jù)得：，，，則，∴關于的回歸方程為，當時，，∴當化肥施用量為27公斤時，糧食畝產量約為810公斤.小問3詳解】依題意，，則有，∴，則，∴這種化肥的有效率超過58%的概率約為.20、（1），；（2）.【解析】（1）將點代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點坐標可知；（2）設出點坐標，根據(jù)切線長相等以及切線垂直于半徑將四邊形的面積表示為，然后根據(jù)三角形面積公式將其表示為，根據(jù)點到點的距離公式表示出，然后結合二次函數(shù)的性質求解出四邊形面積的最小值.【詳解】（1）因為拋物線過點，所以，所以，所以拋物線的方程為：，焦點坐標為，即；（2）設，因為為圓的切線，所以，且，所以，又因為，所以，當時，四邊形的面積有最小值且最小值為.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于根據(jù)圓的切線的性質將四邊形面積轉化為三角形的面積，再通過三角形的面積公式將其轉化為二次函數(shù)求最值的問題模型，對于轉化的技巧要求較高.21、（1）（2）1【解析】（1）由題意得到關于a，b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；（2）首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA，NA的方程確定點P，Q的縱坐標，將線段長度的比值轉化為縱坐標比值的問題，進一步結合韋達定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【小問1詳解】由題意，點橢圓上，有，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，顯然不符；當直線l的斜率存在時，設直線l為：聯(lián)立方程得：由，設，有又由直線AM：，令x=-4得，將代入得：，同理得：.很明顯，且，注意到，，而，故所以.【點睛】本題考查求橢圓的方程，解題關鍵是利用離心率與橢圓上的點，找到關于a，b，c的等量關系求解a與b．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應用韋達定理求出，．表示出，，然后轉化為相應的比值關系．考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題22、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關