廣州市嶺南中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題含解析

廣州市嶺南中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.502．若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.或0 B.0C. D.或3．某公司門前有一排9個(gè)車位的停車場(chǎng)，從左往右數(shù)第三個(gè)，第七個(gè)車位分別停著A車和B車，同時(shí)進(jìn)來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.4．二次方程的兩根為2，，那么關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.5．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.6．2021年小林大學(xué)畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲(chǔ)蓄銀行卡，每月的10號(hào)存錢至該銀行卡（假設(shè)當(dāng)天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數(shù)比上個(gè)月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達(dá)到1萬元的時(shí)間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日7．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.8．若1，m，9三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率是（）A.或 B.或2C.或 D.或29．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.10．設(shè)，，則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件11．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.8012．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，，則的解集為___________.14．從編號(hào)為01，02，…，60的60個(gè)產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)樣本，已知樣本中的前兩個(gè)編號(hào)分別為02，08（編號(hào)按從小到大的順序排列），則樣本中最大的編號(hào)是_________15．若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列進(jìn)行構(gòu)造，第次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列；記，則(1)___________，(2)___________16．已知直線，圓，若直線與圓相交于兩點(diǎn),則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求的值；（2）是否存在常數(shù)，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意，恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由18．（12分）已知函數(shù)（1）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍19．（12分）（1）已知等軸雙曲線的上頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為，求此雙曲線的方程；（2）已知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求線段的長20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比為.動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么圖形；（2）已知曲線與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)是曲線上異于的一點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.21．（12分）如圖，菱形的邊長為4，，矩形的面積為8，且平面平面（1）證明：；（2）求C到平面的距離.22．（10分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B2、D【解析】根據(jù)給定條件求出兩圓圓心距，再借助兩圓相切的充要條件列式計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即點(diǎn)不可能在圓內(nèi)，則兩圓必外切，于是得，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為或.故選：D3、B【解析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對(duì)立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個(gè)車位的停車場(chǎng)，從左往右數(shù)第三個(gè)，第七個(gè)車位分別停著車和車，同時(shí)進(jìn)來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對(duì)立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B4、B【解析】根據(jù)，確定二次函數(shù)的圖象開口方向，再由二次方程的兩根為2，，寫出不等式的解集.【詳解】因?yàn)槎畏匠痰膬筛鶠?，，又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以不等式的解集為或，故選：B5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.6、C【解析】分析可得每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，分析首次達(dá)到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個(gè)月開始，每月所存錢數(shù)依次成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以第14個(gè)月的10號(hào)存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達(dá)到1萬元.故選：C7、B【解析】這是中點(diǎn)弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.8、D【解析】運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再討論，，求出曲線的，，由離心率公式計(jì)算即可得到【詳解】三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則，解得，，當(dāng)時(shí)，曲線為橢圓，則；當(dāng)時(shí)，曲線為為雙曲線，則離心率故選：9、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問題轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)線距離關(guān)系：向量的終點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點(diǎn)時(shí)，使最小，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，最小為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到射線的距離最短問題.10、C【解析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.11、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時(shí)必過N點(diǎn)，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故選：C12、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，，所以是減函數(shù)，又，即，，所以，所以，則的解集為故答案為：14、56【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義得到編號(hào)之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論.【詳解】由已知樣本中的前兩個(gè)編號(hào)分別為02，08，則樣本數(shù)據(jù)間距為，則樣本容量為，則對(duì)應(yīng)的號(hào)碼數(shù)，則當(dāng)時(shí)，x取得最大值為56故答案為:5615、①.②.【解析】根據(jù)題意得到，再利用疊加法求解即可.【詳解】由題知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案為：；16、【解析】求出直線過的定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線垂直于直線時(shí)，取得最小值，結(jié)合即可求解.【詳解】由題意知，圓，圓心，半徑，直線，，，解得，故直線過定點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，可知當(dāng)距離最大時(shí)，有最小值，由圖可知，時(shí)，最大，此時(shí)，此時(shí).故的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）存在，.【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用得的值；（2）討論和分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)求解最值即可求解【詳解】解：（1），又由題意有（2）由（1）知，此時(shí)，由或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和要恒成立，即①當(dāng)時(shí)，，則要恒成立，令，再令，所以在內(nèi)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以在內(nèi)遞增，；②當(dāng)時(shí)，lnx>0，則要恒成立，由①可知，當(dāng)時(shí)，，所以內(nèi)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，故，所以在內(nèi)遞增，綜合①②可得，即存在常數(shù)滿足題意18、（1）個(gè)；（2）.【解析】（1）求，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理即可求解；（2）由題意可得對(duì)任意恒成立，令，則，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可求解.【小問1詳解】的定義域?yàn)?，由可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在上無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，，且在上單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上存在個(gè)零點(diǎn)，綜上所述有個(gè)零點(diǎn).【小問2詳解】由題意可得：對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，由可得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍.19、（1）；（2）8.【解析】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，再由點(diǎn)到直線距離公式求解即可；（2）求得直線方程代入拋物線，結(jié)合焦點(diǎn)弦長求解即可.【詳解】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為，可得，解得，故雙曲線方程（2）拋物線的焦點(diǎn)為直線的方程為，即與拋物線方程聯(lián)立，得，消，整理得，設(shè)其兩根為，，且由拋物線的定義可知，所以，線段的長是【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式20、（1），曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，即求；（2）利用斜率公式及橢圓方程計(jì)算即得.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得，左右同時(shí)平方，得，整理得，，即，所以曲線的方程是，曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.【小問2詳解】由題意得，設(shè)的坐標(biāo)是，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，因?yàn)?，所以，所以為定?21、（1）證明見解析.（2）【解析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明出；（2）利用等體積轉(zhuǎn)換法，先求出O到平面AEF的距離，再求C到平面的距離.【小問1詳解】在矩形中，.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?所以平面，所以.【小問2詳解】設(shè)