2024中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專練規(guī)律探究問題含解析

選擇題1.下面擺放的圖案，從其次個(gè)起，每個(gè)都是前一個(gè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，第2024個(gè)圖案中箭頭的指向是（）A．上方 B．右方 C．下方 D．左方【答案】C【解析】如圖所示：每旋轉(zhuǎn)4次一周，2024÷4＝504…3，則第2024個(gè)圖案中箭頭的指向與第3個(gè)圖案方向一樣，箭頭的指向是下方．故選：C．2.對(duì)于題目：“如圖1，平面上，正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為12、寬為6的矩形，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)n．”甲、乙、丙作了自認(rèn)為邊長(zhǎng)最小的正方形，先求出該邊長(zhǎng)x，再取最小整數(shù)n．甲：如圖2，思路是當(dāng)x為矩形對(duì)角線長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n＝13．乙：如圖3，思路是當(dāng)x為矩形外接圓直徑長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n＝14．丙：如圖4，思路是當(dāng)x為矩形的長(zhǎng)與寬之和的倍時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n＝13．下列正確的是（）A．甲的思路錯(cuò)，他的n值對(duì) B．乙的思路和他的n值都對(duì) C．甲和丙的n值都對(duì) D．甲、乙的思路都錯(cuò)，而丙的思路對(duì)【答案】B【解析】甲的思路正確，長(zhǎng)方形對(duì)角線最長(zhǎng)，只要對(duì)角線能通過就可以，但是計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為n＝14；乙的思路與計(jì)算都正確；乙的思路與計(jì)算都錯(cuò)誤，圖示狀況不是最長(zhǎng)；故選：B．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1、A2、A3…An在x軸上，B1、B2、B3…Bn在直線y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等邊三角形，從左到右的小三角形（陰影部分）的面積分別記為S1、S2、S3…Sn．則Sn可表示為（）A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3【答案】D【解析】∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等邊三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等邊三角形，∵直線y＝x與x軸的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，BnBn+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，Sn＝×2n﹣1×2n＝；故選：D．4.如圖，在單位長(zhǎng)度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的多次復(fù)制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點(diǎn)從為坐標(biāo)原點(diǎn)）動(dòng)身，以每秒米的速度沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2024秒時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一個(gè)用時(shí)為秒．如圖，作于，與交于點(diǎn)．在中，，，，，，第1秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為1；第2秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為0；第3秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為；第4秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為0；第5秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為1；，點(diǎn)的縱坐標(biāo)以1，0，，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)，，第2024秒時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為是．故選：B．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么點(diǎn)A2024的坐標(biāo)是（）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）【答案】A【解析】∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，發(fā)覺是8次一循環(huán)，所以2024÷8＝252…余3，∴點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為（，﹣）故選：A．6.在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是：從原點(diǎn)O動(dòng)身，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，其移動(dòng)路途如圖所示，第一次移動(dòng)到點(diǎn)A1，其次次移動(dòng)到點(diǎn)A2……第n次移動(dòng)到點(diǎn)An，則點(diǎn)A2024的坐標(biāo)是（）A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2024÷4＝504…3，所以A2024的坐標(biāo)為（504×2+1，0），則A2024的坐標(biāo)是（1009，0）．故選：C．7.按肯定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1 C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1【答案】A【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n個(gè)單項(xiàng)式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故選：A．8.如圖，過點(diǎn)A0（0，1）作y軸的垂線交直線l：y＝x于點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作直線l的垂線，交y軸于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)A3，…，這樣依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面積分別記為S1，S2，S3，…，則S100為（）A．（）100 B．（3）100 C．3×4199 D．3×2395【答案】D【解析】∵點(diǎn)A0的坐標(biāo)是（0，1），∴OA0＝1，∵點(diǎn)A1在直線y＝x上，∴OA1＝2，A0A1＝，∴OA2＝4，∴OA3＝8，∴OA4＝16，得出OAn＝2n，∴AnAn+1＝2n?，∴OA198＝2198，A198A199＝2198?，∵S1＝（4﹣1）?＝，∵A2A1∥A200A199，∴△A0A1A2∽△A198A199A200，∴＝（）2，∴S＝2396?＝3×2395故選：D．9.如圖，在△OAB中，頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）【答案】D【解析】∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一個(gè)循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，﹣10）．故選：D．10.如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：①將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個(gè)頂點(diǎn)重合，綻開后沿折痕剪開，把四個(gè)等腰直角三角形扔掉；②在余下紙片上依次重復(fù)以上操作，當(dāng)完成第2024次操作時(shí)，余下紙片的面積為（）A．22024 B． C． D．【答案】C【解析】正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個(gè)頂點(diǎn)重合，綻開后沿折痕剪開，第一次：余下面積，其次次：余下面積，第三次：余下面積，當(dāng)完成第2024次操作時(shí)，余下紙片的面積為，故選：C．二、填空題11.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+1與y軸交于點(diǎn)A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，……在直線l上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4，……在x軸正半軸上，則前n個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是．【答案】（2n﹣1）【解析】由題意可得，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)A4的坐標(biāo)為（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），設(shè)S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，則2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，則2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是：×（2n﹣1），故答案為：（2n﹣1），12.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一組同心圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，它們的半徑分別為1，2，3，…，依據(jù)“加1”依次遞增；一組平行線，l0，l1，l2，l3，…都與x軸垂直，相鄰兩直線的間距為l，其中l(wèi)0與y軸重合若半徑為2的圓與l1在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P1，半徑為3的圓與l2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P2，…，半徑為n+1的圓與ln在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)Pn，則點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為．（n為正整數(shù)）【答案】（n,eq\r(2n+1)）【解析】連接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3與x軸分別交于A1、A2、A3，如圖所示：在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝＝＝，同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……，∴P1的坐標(biāo)為（1，），P2的坐標(biāo)為（2，），P3的坐標(biāo)為（3，），……，…依據(jù)此規(guī)律可得點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是（n，），即（n，eq\r(2n+1)）故答案為：（n，eq\r(2n+1)）．13.如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的長(zhǎng)方形組成“7”字圖形。（1）將一個(gè)“7”字圖形按如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，記為“7”字圖形ABCDEF，其中頂點(diǎn)A位于x軸上，頂點(diǎn)B，D位于y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，接著擺放其次個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)F1，擺放第三個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)F2，依此類推，…，擺放第a個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)Fn-1，…，則頂點(diǎn)F2024的坐標(biāo)為．【答案】（1)（2）（,）【解析】(1)依題意可得，CD=1，CB=2∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°∴∠BDC=∠OBA又∠DCB=∠BOA=90°∴△DCB∽△BOA∴eq\f(DC,CB)=\F(OB,OA)=\F(1,2)依據(jù)題意標(biāo)好字母，如圖所示依題意可得CD=1，CB=2，BA=1∴BD=EQ\R(5)由（1）知eq\f(DC,CB)=\F(OB,OA)=\F(1,2)，∴OB=EQ\F(\R(5),5),OA=EQ\F(2\R(5),5)易得△OAB∽△GFA∽△HCB∴BH=EQ\F(4\R(5),5)，CH=EQ\F(2\R(5),5)，AG=EQ\F(3\R(5),5)，F(xiàn)G=EQ\F(6\R(5),5)∴OH=EQ\F(4\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)=EQ\R(5)，OG=EQ\F(3\R(5),5)+EQ\F(2\R(5),5)=EQ\R(5)∴C（EQ\F(2\R(5),5)，EQ\R(5)）．F（EQ\R(5)，EQ\F(6\R(5),5)）∴由點(diǎn)C到點(diǎn)F橫坐標(biāo)增加了EQ\F(3\R(5),5)，縱坐標(biāo)增加了EQ\F(\R(5),5)，……∴，F(xiàn)n(EQ\R(5)+EQ\F(3\R(5),5)n,EQ\F(6\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)n)∴F2024（EQ\R(5)+EQ\F(3\R(5),5)×2024,EQ\F(6\R(5),5)+EQ\F(\R(5),5)×2024)即F2024（eq\f(6062\r(5),5),405eq\r(5))14.如圖，在矩形中，，，一發(fā)光電子起先置于邊的點(diǎn)處，并設(shè)定此時(shí)為發(fā)光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發(fā)光電子沿著方向放射，碰撞到矩形的邊時(shí)均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，若發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過2024次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是．【答案】672【解析】如圖，依據(jù)圖形可以得到：每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，經(jīng)過6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到動(dòng)身點(diǎn)，且每次循環(huán)它與邊的碰撞有2次，，當(dāng)點(diǎn)第2024次遇到矩形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的第3次反彈，點(diǎn)的坐標(biāo)為它與邊的碰撞次數(shù)是次，故答案為67215.正方形，，，按如圖所示的方式放置，點(diǎn)，，，和點(diǎn)，，，分別在直線和軸上．已知點(diǎn)，點(diǎn)，則的坐標(biāo)是．【答案】(47,16)【解析】由題意可知縱坐標(biāo)為1，的縱坐標(biāo)為2，的縱坐標(biāo)為4，的縱坐標(biāo)為8，，和，和，和，和的縱坐標(biāo)相同，，，，，的縱坐標(biāo)分別為1，2，4，8，16，依據(jù)圖象得出，，，直線的解析式為，的縱坐標(biāo)為16，的縱坐標(biāo)為16，把代入，解得，的坐標(biāo)是，故答案為．三、解答題16.（1）閱讀理解如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，連接AB，取線段AB的中點(diǎn)C．分別過點(diǎn)A，C，B作x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，G，CF交反比例函數(shù)y＝的圖象于點(diǎn)D．點(diǎn)E，F(xiàn)，G的橫坐標(biāo)分別為n﹣1，n，n+1（n＞1）．小紅通過視察反比例函數(shù)y＝的圖象，并運(yùn)用幾何學(xué)問得出結(jié)論：AE+BG＝2CF，CF＞DF由此得出一個(gè)關(guān)于，，，之間數(shù)量關(guān)系的命題：若n＞1，則．（2）證明命題小東認(rèn)為：可以通過“若a﹣b≥0，則a≥b”的思路證明上述命題．小晴認(rèn)為：可以通過“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，則a≥b”的思路證明上述命題．請(qǐng)你選擇一種方法證明（1）中的命題．【解析】（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，∴+＞．故答案為：+＞．（2）方法一：∵+﹣＝＝，∵n＞1，∴n（n﹣1）（n+1）＞0，∴+﹣＞0，∴+＞．方法二：∵＝＞1，∴+＞．17.（1）方法選擇如圖①，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，AB＝BC＝AC．求證：BD＝AD+CD．小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明：在DB上截取DM＝AD，連接AM…小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)N，使得DN＝AD…請(qǐng)你選擇一種方法證明．（2）類比探究探究1如圖②，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，BC是⊙O的直徑，AB＝AC．試用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，井證明你的結(jié)論．探究2如圖③，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30°，則線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式是．（3）拓展猜想如圖④，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD．若BC是⊙O的直徑，BC：AC：AB＝a：b：c，則線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式是．【解析】（1）方法選擇：∵AB＝BC＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，如圖①，在BD上截取DEMAD，連接AM，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等邊三角形，∴AM＝AD，∵∠ABM＝∠ACD，∵∠AMB＝∠ADC＝120°，∴△ABM≌△ACD（AAS），∴BM＝CD，∴BD＝BM+DM＝CD+AD；（2）類比探究：如圖②，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，過A作AM⊥AD交BD于M，∵∠ADB＝∠ACB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝AD，∠AMD＝45°，∴DM＝AD，∴∠AMB＝∠ADC＝135°，∵∠