復(fù)數(shù)計(jì)數(shù)原理與概率隨機(jī)變量及其分布含答案

第九章復(fù)數(shù)、計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布

夕

第一節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

通前。帆昌程至?住I儆基慨J

必過(guò)教材關(guān)

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念：

形如a+歷(a,6￡R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a,力分別是它的實(shí)部和虛巡_若6=0,則&+

沅為實(shí)數(shù)；若6K0,則a+bi為虛數(shù)；若a=0且b#0,則a+bi為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di<=>a=c且4=d(a,b,c,dGR).

(3)共枕復(fù)數(shù)：a+歷與c+di共-oa=c,b=—d(a,b,c,d￡R).

(4)復(fù)數(shù)的模：

向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+歷(a,〃￡R)的模，記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+"|

=yfa+Z>2.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

——X*fEjt

(1)復(fù)數(shù)z=a+歷^------a復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,6)(a,A￡R).

(2)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6￡R).——上平面向量OZ.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

(1)友數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)z1=a+bi,Z2=c+$(a,b,c,d￡R),則

①加法：zi十Z2—(a十Ai)十(c+di)—(a十c)+(。+d)i；

②減法：zi—Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(。一一i；

③乘法：Z\?Z2=(a+bi)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+加)i；

z\a+歷a+6ic-diac-\-bd,be—ad.,,?,八、

④除法：一=^777=--------^~=2,2+,(。+diWO).

Z2。十<71c-rdic—dic-rdc2-rd

(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何ZI,Z2,Z3WC,有Zl+Z2=Z2+Zl,(Z1+Z2)

+Z3=0+(a+金).

［小題體驗(yàn)］

1.復(fù)數(shù)z=+(其中i為虛數(shù)單位)的虛部為_(kāi)_______.

乙I1

小田1

答案：一5

2+i2

2.若復(fù)數(shù)Z滿足=i,則2=_______.

Z

解析：由題意得，Z=2：=^l=4-3i.

答案：4-3i

3.(教材習(xí)題改編)四邊形40是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分

別是l+3i,—i,2+i,則點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

答案:3+5i

??卜必過(guò)易錯(cuò)關(guān)

1.判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義.

2.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.

3.注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來(lái).例如，若

ZzWC,z：+z：=0,就不能推出?=Z2=0；22<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.

［小題糾偏］

1.設(shè)復(fù)數(shù)z】=2—i,Z2=a+2i(i是虛數(shù)單位，a￡R),若ZI?Z2￡R,則a=______.

解析：依題意，復(fù)數(shù)?22=(2—i)(a+2i)=(2a+2)+(4—a)i是實(shí)數(shù)，因此4—a=0,

答案：4

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(2+ai)i的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為

解析：因?yàn)?2+ai)i=-a+2i,

又其實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，

所以-a+2=0,即a=2.

答案：2

國(guó)?0色停紗

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透

［題組練透］

1.復(fù)數(shù)戶的實(shí)部與虛部之和為(

C.11D.2

解析：選A產(chǎn)'IE、i，所以實(shí)部與虛部之和為L(zhǎng)

2.已知i為虛數(shù)單位，a￡R,若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=2a+*i的模等于()

A.^2

C.A/3D.乖

解析：選C由題意得，空=行"大0),

a十1

：.2—i——，+tai?

^=-2,

-f=2,解得（1

ta=—1,a=5，

.??z=2a+^i=l+^i,z|=/,故選C.

3.(2018?杭州高級(jí)中學(xué)月考)已知方程三十(4十i)x十4+ai=0(aER)有實(shí)根仇且z

=a+歷，則復(fù)數(shù)z的共挽復(fù)數(shù)為1)

A.2-2iB.2+2i

C.-2+2iD.-2—2i

解析：選B方程f+(4+i)x+4+ai=0(a￡R)可化為f+4x+4+i(x+a)=0,

V+4x+4=0,

由復(fù)數(shù)相等的意義得,,解得x=-2,a=2,

方程x2+(4+i)x+4+ai=0［a￡R)有實(shí)根b,故b=-2,

所以復(fù)數(shù)z=2-2i,所以復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)為2+2i.

4.已知復(fù)數(shù)由滿足(?—2)(l+i)=l—i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)zB的虛部為2,且z1?Z2

是實(shí)數(shù)，則Z2=_______.

解析：(?—2)(1+i)=1—i=?=2—i.

設(shè)Z2=a+2i,a￡R,

則Zi?Z2=(2—i)(a+2i)=(2a+2)+(4—a)i.

Z\?&WR,a=4.

???&=4+2i.

答案：4+2i

［謹(jǐn)記通法］

求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問(wèn)題的技巧

復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共規(guī)復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所

以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a+歷(a,b￡R)的形

式，再根據(jù)題意求解.

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透

［題組練透］

1.(2018?金華模擬)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(l—2i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選Ai(l-2i)=-2i2+i=2+i其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1),位于第一象限.

2i

2.(2018?河北“五校聯(lián)盟”質(zhì)檢)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱

的點(diǎn)為4則力對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.1+iB.1-i

C.-1-iD.-1+i

解析：選R因?yàn)椋?2-=?=i(i——所以4點(diǎn)坐標(biāo)為(1,

1十11十11—1

一1),其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為l—i.

3.已知復(fù)數(shù)?=—l+2i,%=l—i,然=3—4「它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4B,

C,關(guān)OC=\OA+uOB3,〃￡R),則的值是

解析：由條件得3=(3,-4),OA=(-1,2),

歷=(1,-1),

根據(jù)OC=A期+〃仍得

(3,—4)=4(一1,2)+〃(1,—1)=(—4+〃，24—〃)，

—4+〃=3,

24—〃=一%

^=—1,

解得???4+〃=L

［〃=2.

答案：1

［謹(jǐn)記通法］

對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用

(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量”相互聯(lián)系，即z=a+bi(a,OZ.

(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)

系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.

考點(diǎn)三亞數(shù)的代數(shù)運(yùn)算基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透

［題組練透］

1.（2017?山東高考）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,則z?=（）

A.-2iB.2i

C.-2D.2

IIiI

解析：選A?「zi=l+i,z=一—~=7+l=l—i.

ii

A/=（l-i）2=l+i2-2i=-2i.

2

2.（2018?嘉興模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z=l—i（i是虛數(shù)單位），貝與+z等于（）

A.2B.-2

C.2iD.-2i

2221+i

解析：選A--Fz=--r+1—i=—:—:-----TH-：-----Fl—i=l+i+l-i=2.

zl—il-il+i

1—

3.已知i是虛數(shù)單位，系數(shù)z=",則z?z=()

A.25B.5

312-i21.

解析：選D???z=3pY=2+j2-i=5~5lf

4.(2018?海寧模擬)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)3+4i=

硝斤3~4i25~25i

7+i-7+i

解析：3+4i3+4i3—4i一冊(cè)F

答案：l-i

［謹(jǐn)記通法］

復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類

同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.

(2)生數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共加復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的暴

寫成最簡(jiǎn)形式.

［提醒］在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度.

(1)(l±i)2=±2i；盧4=i；TT=-I;

1—il+i^

(2)—b+ai=i(a+bi)；

⑶產(chǎn)=1,i4ff+,=i,i4ff+2=-l,i,,ff+3=-i,

廣+產(chǎn)/嚴(yán)2+產(chǎn)3=0,〃￡N*.

■局?？h

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.(2017?全國(guó)卷II)(l+i)[2+i)=()

A.1-iB.l+3i

C.3+iD.3+3i

解析：選B(1+i)(2+i)=2+i*2+3i=l+3i.

o-LOi

2.（2018?湖州模擬）已知復(fù)數(shù)不訂（i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=（）

A.-2B.-1

C.0D.2

a+2ia+2i1-ia+2+2~ai

解析：選A是純虛數(shù)，所以a+2

1+i1+i1-i2

=0,解得a=-2.

3.（2018?杭州質(zhì)檢）設(shè)復(fù)數(shù)出i（其中i是虛數(shù)單位），則1+幻=（）

A.—3B.3

D?3

c.3

解析：選C由題意可得，1+出

，一招，故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

1一亞i,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

1

.故c項(xiàng)正確;

3

i,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

22

zj-Li

4.（2018?金麗衢十二校聯(lián)考）設(shè)a￡R,若復(fù)數(shù)2=東。為虛數(shù)單位）的實(shí)部和虛部相

等，則a

a+i_a+i1-ia+1+\—ai

A=

解析：T+714-i-2

所以a+1=1—a,解得a=0.

所以Z—J+Ji,所以|2|-J—Ji-9.

答案:0平

5.設(shè)復(fù)數(shù)a+6i（a,AWR）的模為《，則（a+bi）（a—?dú)v）=

解析：:Ia+bi|=y/才+爐=?。?/p>

；?（a+bi）（a—?dú)v）=a2+Z?2=3.

答案：3

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

1.（2018?杭州質(zhì)檢）設(shè)名=卷6為虛數(shù)單位），則士=（）

乎:

A.C

1

.B.2

2D.

2.（2018?諸暨質(zhì)檢）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2i,則z的共挽復(fù)數(shù)z=（）

A.1+iB.1-i

C.—1+iD.-1-i

解析：選B由z(l+i)=2i,

舛2i2i1—i

則z的共規(guī)復(fù)數(shù)z=1—i.

bz14-i

3.定義運(yùn)算,=ad—be,則符合條件=0的復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)1在復(fù)平

d-i2i

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

—i1+i11—

解析：選B由題意得，2zi-[—i(l+i)]=0,則z=----初-----：.z—

乙1乙乙

其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選B.

2i

4.已知復(fù)數(shù)z=l+]_j,則1+z+z2H----Fz=()

A.1+iB.1-i

C.iD.0

解析：選C???z=l+4=l+2iA,r.i+z+zZ+Tz—X:一^

i-iZ\~z

?1-1.20191.—1.4X504?1-3.

=^T=~r^i-j

5.(2017?全國(guó)卷I)設(shè)有下面四個(gè)命題：

A：若復(fù)數(shù)z滿足!WR,則z￡R；

A：若復(fù)數(shù)z滿足/￡R,則zWR；

R：若復(fù)數(shù)Zi,Z2滿足ZIZ2《R,則Z】=Z2；

PI：若復(fù)數(shù)z￡R,則z￡R.

其中的真命題為()

A.p\9pxB.p\9a

C?。D.pi9pi

bi

解析：選B設(shè)復(fù)數(shù)z=a+￡i(a,b￡R),對(duì)于R,***7=7+7i=/T^GR，，b=0,

z￡R,；./?)是真命題；

對(duì)于小,.,1/=(a+bi)2=)-1+2abi€R,.,?ab=0,.??a=0或。=0,.?.p?不是真命題;

對(duì)于Q,設(shè)zi=x+yi(x,y￡R),Z2=c+di(c,d￡R),則(x+yi)(c+由)=cx

—dy+(dx-\rcy)ieR,

，d￥+cy=0,取zi=l+2i,Z2=—l+2i,?WZ2,

不是真命題；

對(duì)于R,?；z=a+6i￡R,/.z>=0,:.z=a-bi=a￡R,

**.pi是真命題.

6.若復(fù)數(shù)z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z+=-7=.

解析：?：z=l+2i,:.z=1—2i.

(n_—

:.,z=z.z+1=5+1=6.

答案：6

z+2

7.已知復(fù)數(shù)z滿足=7=i（其中i是虛數(shù)單位），貝lj|z|=

7+2—9—2i—2—2i|2J2

解析：由心=i知，z+2=zi—2i,即2=『^,所以|z|==2.

l-il—巾

答案：2

1-Loi1+cii

8.已知在R,E為實(shí)數(shù),則"

2-i

用1+ai1+ai2+i2+i+2ai—a2—al+2a

解析：2-i=一=12+75=『k】'

,.1+ai-.l+2a._1

?可7為實(shí)數(shù)'??飛一=A0,.?&=-5.

1+ai1

所以

2-i2,

we11

答案：一萬(wàn)

2

9.已知復(fù)數(shù)z=x+yi,且|z—2|=，5,則鋼最大值為

Ji

解析：:Iz—21=d~~x—2~"+7=^/3,

A(x-2)2+y=3.

由圖可知

答案：小

、?由/\-1+i2+i

10.計(jì)算：(1)-----------------------

小l+2i2+31-i

⑵-----------2+i-----------

/\1一i1+i

⑶F3?

1一小

(4)

小+i2,

-l+i2+i—3+i

解:l-3i.

i3—i

l+2iz+31-i

⑵

2+i

—3+4i+3—3i

2+i

i_i2-i

2+r=r-

..1—i?1+i1-ij+il+i1-1+i

(3)]+i2+]T尸-2-=—L

(、1-_____m+1-i

⑷4+i2=#+i2

-i-iyfi-i

=布=4

=」_鷗

441?

三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校

1.若復(fù)數(shù)2=手詈(i是虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)/片()

A.1B.2

13

C.-D-

乙乙

般而'*A1+M1+而1—i

解析：選Az—"I—]+ii-i

m+1+m—1i

2

m+1?m~1.

???復(fù)數(shù)2=署"6是虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù),

m—1八QI,

o=0,即0=1.

2.已知復(fù)數(shù)Zi=cos150+sin15°i和復(fù)數(shù)22=cos45°+sin45°i,則z\?為=

解析：z\?Z2=(cos15°+sin15°i)(cos450+sin45°i)=DS15°cos450—

sin150sin45°)+(sin150cos4504-cos15°sin450)i=cos60°+sin60°i=)+

回

2

答案:3+乎i

32—

3.友數(shù)z尸不+（1°-Z2==+（2&-5）i,若zdz2是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.

一32

解：21+22=市+5—10)i+E+(2a—5)i

二島+言+[(，-10)+(2a-5)]i

a—13

{a4-2a—15)i.

a+5a—\

Vz1+Z2是實(shí)數(shù),

+2a-15=0,

解得a=—5或a=3.

???a+5N0,

.?.aH—5,故a=3.

第二節(jié)/分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

通前。帆昌程

?>>必過(guò)教材關(guān)

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

完成一件事的策略完成這件事共有的方法

分類加法計(jì)有兩類不同方案，在第1類方案中有/〃種不同的

八三加+〃種不同的方法

數(shù)原理方法，在第2類方案中有〃種不同的方法

分步乘法計(jì)需要兩個(gè)步驟，做第1步有R種不同的方法，做

A』mX〃種不同的方法

數(shù)原理第2步有〃種不同的方法

［小題體驗(yàn)］

1.（教材習(xí)題改編）書架的第1層放有4本不同的語(yǔ)文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，

第3層放有6本不同的體育書.從第1,2,3層分別各取1本書，則不同的取法種數(shù)為（）

A.3B.15

C.21D.120

解析:選D由分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3層分別各取1本書不同的取法總數(shù)為4X5X6

=120（種）.故選D.

2.（教材習(xí)題改編）從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)

的不同取法的種數(shù)是

解析：從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是

偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共

有A-3+3=6種.

答案：6

??卜必過(guò)易錯(cuò)關(guān)

1.分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類

之間是獨(dú)立的.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未

完成這件事，步與步之間是相關(guān)聯(lián)的.

［小題糾偏］

1.用0,1,2,…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.243B.252

C.261D.279

解析：選B0,1,2,…，9共能組成9X10X10=900（個(gè)）三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的

三位數(shù)有9X9X8=648（個(gè)），，有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900—648=252（個(gè)）.

2.如圖，從力城到8城有3條路；從8城到〃城有4條路；從力城到。城有4條路，從

。城到〃城有5條路，則某旅客從A城到〃城共有條不同的路線.

考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透

［題組練透］

1.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位

朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有（）

A.4種B.10種

C.18種D.20種

解析：選B分兩種情況：①4位朋友中有2個(gè)人得到畫冊(cè)，有C；=6（種）贈(zèng)送方法；②

4位朋友中只有1個(gè)人得到畫冊(cè)，有C：=4（種）贈(zèng)送方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有6+4=

10（種），故選B.

2.橢圓工+匕=1的焦點(diǎn)在x軸上,且旌{1,2,3,4,5},〃￡{1,2,3,4,5,6,7},則這樣

mn

的橢圓的個(gè)數(shù)為.

解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在X軸上，所以心〃.以勿的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，由分類加法計(jì)數(shù)原理，可分

為四類：第一類：/〃=5時(shí)，使/〃）〃，〃有4種選擇；第二類：%=4時(shí)，使力小〃有3種選擇;

第三類：m=3時(shí)，使勿＞〃，〃有2種選擇；第四類：m=2時(shí)，使加〃，〃有1種選擇.故符合

條件的橢圓共有10個(gè).

答案：10

3.（2018?諸暨模擬）小王同學(xué)在書店發(fā)現(xiàn)三本有價(jià)值的書，若決定買一本，則購(gòu)買的方

式有________種；決定至少買一本，則購(gòu)買的方式有________種.

解析：根據(jù)題意，若只買一本，則有3種選擇：若只買2本，則有3種選擇；若買3本,

則有1種選擇.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知：A-3+3+l=7種.

答案：37

［謹(jǐn)記通法］

利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)2個(gè)注意點(diǎn)

（D根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏；

（2）分類時(shí)，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).

考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)一一自主練透

［題組練透］

1.將3張不同的奧運(yùn)會(huì)門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是

（）

A.2160B.720

C.240D.120

解析：選B分步來(lái)完成此事.第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種

分法，則共有10X9X8=720（種）分法.

2.（2018?臺(tái)州模擬）有4個(gè)不同書寫形式的“迎”字和3個(gè)不同書寫形式的“新”字,

如果一個(gè)“迎”字和一個(gè)“新”字能配成一套，則不同的配套方式共有（）

A.7種B.12種C.64種D.81種

解析：選B分兩步進(jìn)行，第一步，選“迎”字，有4種不同的選法；第二步，選“新”

字，有3種不同的選法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：八-4X3=12種.

3.從一這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)F（x）=aO+-+c的系數(shù)，則可

組成個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有個(gè)（用數(shù)字作答）.

解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著品b,c（aWO）的一組取值，々的取法有3種，6的取法有3

種，。的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3X3X2=18（個(gè)）二次函數(shù).若二次函數(shù)為

偶函數(shù)，則力=0,同上可知共有3X2=6(個(gè))偶函數(shù).

答案：186

［謹(jǐn)記通法］

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)3個(gè)注意點(diǎn)

(1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的.

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.

(3)對(duì)完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定.

考點(diǎn)三兩個(gè)原理的應(yīng)用重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研

［典例引領(lǐng)］

1.如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相

鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()

A.24D.96

解析：選C分兩種情況：

(DAC不同色，先涂/有4種，。有3種，￡有2種，B,。有1種，有4X3X2=24(種)

涂法.

(2)4。同色，先涂力有4種，￡有3種，C有1種，B,〃各有2種，有4X3X2X2=

48(種)涂法.

故共有24+48=72種涂色方法.

2.已知集合，仁{1,2,3,4},集合兒8為集合必的非空子集，若對(duì)任意HEKy

恒成立，則稱(力，而為集合V的一個(gè)“子集對(duì)"，則集合"的“子集對(duì)”共有個(gè).

解析：當(dāng)4={1}時(shí)，8有2,—1種情況；當(dāng)力={2}時(shí)，4有力一1種情況；當(dāng)力={3}時(shí)，

8有1種情況；當(dāng)4={1,2}時(shí)，A有于一1種情況；當(dāng)力={1,3},{2,3},{1,2,3}時(shí)，8均

有1種情況.所以滿足題意的“子集對(duì)”共有7+3+1+3+3=17(個(gè)).

答案：17

［由題悟法］

兩個(gè)原理應(yīng)用的關(guān)鍵

(1)應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類還是分步.

(2)分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵.

(3)分步要做到“步驟完整”，步步相連才能將事件完成.

(4)較復(fù)雜的問(wèn)題可借助圖表完成.

［即時(shí)應(yīng)用］

1.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一

個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“上交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是

（）

A.48B.18

C.24D.36

解析：選D分類討論:

第一類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”

有2X12=24（個(gè)）；

第二類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正

交線面對(duì)”有12個(gè).

所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24+12=36（個(gè)）.

2.如圖，用6種不同的顏色把圖中力，B,C,〃4塊區(qū)域分開(kāi)，若相

鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有種（用數(shù)字作答）.

解析：從力開(kāi)始涂色，力有6種涂色方法，夕有5種涂色方法，C有4

種涂色方法，〃有4種涂色方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6X5X4X4=480（種）涂色

方法.

答案：480

通局。目盛管

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

1.a,b,c,d,e共5個(gè)人，從中選1名組長(zhǎng)1名副組長(zhǎng)，但a不能當(dāng)副組長(zhǎng)，不同選

法的種數(shù)是（）

A.20B.16

C.10D.6

解析：選B當(dāng)a當(dāng)組長(zhǎng)時(shí)，朋共有1X4=4（種）選法；當(dāng)a不當(dāng)組長(zhǎng)時(shí)，因?yàn)閍不能當(dāng)

副組長(zhǎng)，則共有4X3=12（種）選法.因此共有4+12=16種選法.

2.（2018?江山模擬）某班班干部有5名男生，4名女生，從中各選一名干部參加學(xué)生黨

校培訓(xùn)，則不同的選法種數(shù)有（）

A.9B.20

C.16D.24

解析：選B先選男生，有5種不同的選法，再選女生，有4種不同的選法.由分步乘

法計(jì)數(shù)原理可知：3-5X4=20.

3.某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B,C,D

中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從。?9這十個(gè)數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），有車主第一個(gè)號(hào)碼（從

左到右）只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號(hào)碼

可選的所有可能情況有（）

A.180種B.360種

C.720種D.960種

解析：選D按照車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二個(gè)號(hào)碼有3種選

法，其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法.因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有5X3X4X4X4=

960（種）.

4.從0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是______；3的

倍數(shù)的個(gè)數(shù)有.

解析：從1,3中取一個(gè)排個(gè)位，故排個(gè)位有2種方法；排百位不能是0,可以從另外3

個(gè)數(shù)中取一個(gè)，有3種方法；排十位有3種方法.故所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3X3X2=18.若有0,

則另兩個(gè)數(shù)分別為1,2或2,4,則不同的三位數(shù)有2X2X2=8種，若有3,則另兩個(gè)數(shù)分別

為1,2或2,4,則不同的三位數(shù)有3X2X2=12種，所以滿足條件的3的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為8+12

=20個(gè).

答案：1820

5.在2016年里約奧運(yùn)會(huì)百米決賽上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽.其中甲、乙、丙

三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共

有種.

解析：分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員.

第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排.???安排方式有4X3X2

=24（種）.

第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道上安排，所以安排方式

有5X4X3X2X1=120（種）.

???安排這8人的方式有24X120=2880（種）.

答案：2880

二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)

1.設(shè)集合力={-1,0,1},集合Q{0,1,2,3},定義/!*i?={（x,。|入￡力08,H/fU打，

則力*8中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.7B.10

C.25D.52

解析：選B因?yàn)榧螦={-1,0,1）,集合B={0,1,2,3）,所以AOB={0,1},NUQ{一

1,0,1,2,3"所以x有2種取法,y有5種取法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得有2X5=10（個(gè)）.

2.從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù),

則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）

A.56B.54

C.53D.52

解析：選D在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8X7=56（個(gè)）對(duì)數(shù)值，但在這56個(gè)對(duì)數(shù)

值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,即滿足條件的對(duì)數(shù)值共有

56—4=52（個(gè)）.

3.從集合{1,2,3,…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的

等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4

C.6D.8

解析：選D當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可

為1,3,9；當(dāng)公比用時(shí)，等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為今最時(shí)，也有4個(gè).故共有

8個(gè)等比數(shù)列.

4.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）

A.144個(gè)B.120個(gè)

C.96個(gè)D.72個(gè)

解析：選B當(dāng)萬(wàn)位數(shù)字為4對(duì)，個(gè)位數(shù)字從0,2中任選一個(gè)，共有.2A；個(gè)偶數(shù)；當(dāng)萬(wàn)位

數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位數(shù)字從0,2,4中任選一個(gè)，共有C氏個(gè)偶數(shù).故符合條件的偶數(shù)共有2A；十

C1A：=120（個(gè)）.

5.如圖是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方

形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種

顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有（）匕二

A.24種B.72種

C.84種D.120種

解析：選C如圖，設(shè)四個(gè)直角三角形順次為力，B,C,D,按月一/1

。一〃順序涂色，

下面分兩種情況：

（1）力，C不同色（注意：B,〃可同色、也可不同色，〃只要不與4C同色，所以〃可以

從剩余的2種顏色中任意取一色）：有4X3X2X2=48（種）不同的涂法.

（2）A。同色（注意：B,〃可同色、也可不同色，〃只要不與4C同色，所以。可以從

剩余的3種顏色中任意取一色）：有4X3X1X3=36（種）不同的涂法.故共有48+36=84（種）

不同的涂色方法.故選C.

6.集合那={a,b,c]Q{-5,—4,—2,1,4）,若關(guān)于x的不等式恒有

實(shí)數(shù)解，則滿足條件的集合'的個(gè)數(shù)是.

解析：依題意知，集合N最多有點(diǎn)=10（個(gè)），其中對(duì)于不等式3六+"+*0沒(méi)有實(shí)數(shù)解

的情況可轉(zhuǎn)化為需要滿足於0,且/=62—4acW0,因此只有當(dāng)必。同號(hào)時(shí)才有可能，共有

2種情況，因此滿足條件的集合N的個(gè)數(shù)是10-2=8.

答案：8

7.在一個(gè)三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個(gè)位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如

“102”，“546”為“駝峰數(shù)”.由數(shù)字1,2,3,4可構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有—

個(gè).其中偶數(shù)有個(gè).

解析：十位上的數(shù)為1時(shí)，有213,214,312,314,412,413,共6個(gè)，十位上的數(shù)為2時(shí)，

有324,423,共2個(gè)，所以共有6+2=8（個(gè)）.偶數(shù)為214,312,314,412,324,共5個(gè).

答案：85

8.如圖所示，用五種不同的顏色分別給4,B,C,〃四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰,、

區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有（A|八

種，

解析：按區(qū)域分四步：第一步，力區(qū)域有5種顏色可選；第二步，8區(qū)域

有4種顏色可選；第三步，C區(qū)域有3種顏色可選；第四步，〃區(qū)域也有3種顏色可選.由分

步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5X4X3X3=180（種）不同的涂色方法.

答案：180

9.已知△四C三邊ab,。的長(zhǎng)都是整數(shù)，且aWbWc,如果425,則符合條件的三

角形共有個(gè).

解析：根據(jù)三邊構(gòu)成三角形的條件可知，*25+a

第一類：當(dāng)a=l,6=25時(shí)，?？扇?5,共1個(gè)值：

第二類，當(dāng)a=2,6=25時(shí)，?？扇?5,26,共2個(gè)值；

當(dāng)a=25,6=25時(shí)，c可取25,26,…，49,共25個(gè)值：

所以三角形的個(gè)數(shù)為1+2+???+25=325.

答案：325

10.已知集合.1/={-3,—2,—1,0,1,2）,若a,b,cRM貝!）：

（1）尸af+bx+c可以表示多少個(gè)不同的二次函數(shù)；

（2）尸&/+必+?？梢员硎径嗌賯€(gè)圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)

解：（Da的取值有5種情況，6的取值有6種情況，c,的取值有5種情況，因此

+"+c可以表示5X6X6=180（個(gè)）不同的二次函數(shù).

（2）尸&爐+以+。的圖象開(kāi)口向上時(shí)，&的取值有2種情況，b,。的取值均有6種情況,

因此尸可以表示