淺談高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)

摘要：隨著新課改的深入，高考對導(dǎo)數(shù)的考查逐漸加強，而三次函數(shù)問題是中學(xué)教材研究導(dǎo)數(shù)的重要載體，所以三次函數(shù)成為命題中的新亮點。由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，因此，以三次函數(shù)為載體，背景新穎獨特，利用導(dǎo)數(shù)解決的問題在考試中屢見不鮮。下面通過對考題進(jìn)行分析，以提高學(xué)生對三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的認(rèn)識。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；三次函數(shù)；導(dǎo)數(shù)一、三次函數(shù)的單調(diào)性問題例1.已知函數(shù)f（x）=4x3+3tx2-6tx+t-1，其中t∈R。（1）當(dāng)t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）當(dāng)t≠0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間。解析：第一問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解決關(guān)鍵是求出切線的斜率；第二問通過三次函數(shù)求導(dǎo)后得到二次函數(shù)，由于二次函數(shù)對應(yīng)的方程根含字母，需要對兩個根進(jìn)行討論。（1）當(dāng)t=1時，f（x）=4x3+3x2-6x，f（0）=0，f′（x）=12x2+6x-6，f′（0）=-6。所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-6x。（2）f′（x）=12x2+6tx-6t2，令f′（x）=0，解得x=-t或x=■，因為t≠0，以下分兩種情況討論：①若t<0，f′（x）<0的解集是■-t；所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是-∞，■，（-t，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是■，-t。②若t>0，f′（x）>0的解集為（-∞，-t）∪■，+∞；所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-t），■，+∞；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是-t，■。點評：本題是直接考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，需要對根進(jìn)行討論，增加了問題的難度，此外利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)區(qū)間應(yīng)注意：在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。二、三次函數(shù)的最值問題例2.設(shè)f（x）=-■x3+■x2+2ax（1）若f（x）在■，+∞上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；（2）當(dāng)0<a<2時，f（x）在[1，4]上的最小值為-■，求f（x）在該區(qū)間上的最大值。<=""p="">解析：若對于三次函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]存在單調(diào)遞增區(qū)間，則只需f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最大值大于0即可。第二問顯然考查導(dǎo)數(shù)的逆向應(yīng)用，根據(jù)最小值利用待定系數(shù)法求得參數(shù)a，再求最大值。（1）由f′（x）=-x2+x+2a=-x-■2+■+2a當(dāng)x∈■，+∞時，f′（x）的最大值為f′■=■+2a；令■+2a>0，得a>-■，所以，當(dāng)a>-■時，f（x）在■，+∞上存在單調(diào)遞增區(qū)間。（2）令f′（x）=0，得兩根x1=■，x2=■。所以f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞減，在（x1，x2）上單調(diào)遞增。當(dāng)0<a<2時，有x1<1<x2<4，所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（x2）。<=""p="">又f（4）-f（1）=-■+6a<0，即f（4）<f（1）<=""p="">所以f（x）在[1，4]上的最小值f（4）=8a-■=-■得a=1，x2=2，從而f（x）在[1，4]上的最大值為f（2）=■。點評：通過已知函數(shù)的最值確定參數(shù)的值或取值范圍，是導(dǎo)數(shù)的逆向應(yīng)用，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一大亮點，充分展現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的活力。最值一般在極值點或端點處取，利用這一特征可以快速解決最值問題。三、三次函數(shù)的極值問題例3已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+（3-6a）x-12a-4{a∈R}（Ⅰ）證明：曲線y=f（x）在x=0處的切線過點（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0處取得極小值，x0∈（1，3），求a的取值范圍。解析：利用可導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)極值的基本方法：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)不斷且f′（x）=0，若在點x0附近左側(cè)f′（x）>0，右側(cè)f′（x）<0，則f（x0）為函數(shù)的極大值；若在點x0附近左側(cè)f′（x）<0，右側(cè)f′（x）>0，則f（x0）為函數(shù)的極小值?！窘馕觥浚á瘢ゝ′（x）=3x2+6ax+（3-6a），f′（0）=3-6a，又f（0）=12a-4曲線y=f（x）在x=0的切線方程是：y-（12a-4）=（3-6a）x，在上式中令x=2，得y=2，所以曲線y=f（x）在x=0的切線過點（2，2）；（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1-2a=0。（i）當(dāng)-■-1≤a≤■-1時，f（x）沒有極小值；（ii）當(dāng)a>■-1或a<-■-1時，由f′（x）=0得x1=-a-■，x2=-a+■，故x0=x2。由題設(shè)知1<-a+■<3。當(dāng)a>■-1時，不等式1<-a+■<3無解。當(dāng)a<-■-1時，解不等式1<-a+■<3得-■<a<