2025屆遼寧省盤錦市興隆臺區(qū)遼河油田二中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2025屆遼寧省盤錦市興隆臺區(qū)遼河油田二中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.2．若且，則下列選項中正確的是（）A B.C. D.3．已知橢圓與橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等4．已知橢圓的兩個焦點分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點，那么的值為（）A. B.C. D.5．直線被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.6．已知，則條件“”是條件“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.7．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為的面積，則（）A. B.C. D.8．過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于PQ兩點，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（）A.8 B.7C.6 D.59．“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m10．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結(jié)果是（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.912．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________14．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______15．某高中高二年級學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)學(xué)選擇性必修一后進行了一次測試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機抽樣方法從學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的兩組學(xué)生成績樣本數(shù)據(jù)中，隨機抽取兩個進調(diào)查，求調(diào)查對象來自不同分組的概率.16．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓與直線相切，點G為橢圓上任意一點，，，且的最大值為3（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點E，F(xiàn)，點O為坐標原點，且，當?shù)拿娣e取最大值時，求的取值范圍18．（12分）某小學(xué)調(diào)查學(xué)生跳繩的情況，在五年級隨機抽取了100名學(xué)生進行測試，得到頻率分布直方圖如下，且規(guī)定積分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個數(shù)得分17181920（1）求頻率分布直方圖中，跳繩個數(shù)在區(qū)間的小矩形的高；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，把第40百分位數(shù)劃為合格線，低于合格分數(shù)線的學(xué)生需補考，試確定本次測試的合格分數(shù)線；（3）依據(jù)積分規(guī)則，求100名學(xué)生的平均得分.19．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值20．（12分）已知橢圓的短軸長是2，且離心率為（1）求橢圓E的方程；（2）已知，若直線與橢圓E相交于A，B兩點，線段AB的中點為M，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說明理由21．（12分）已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)斜率為k的直線與橢圓C交于兩點，O為坐標原點，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.22．（10分）已知：（常數(shù)）；：代數(shù)式有意義（1）若，求使“”為真命題的實數(shù)的取值范圍；（2）若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】過點且與原點O距離最遠的直線垂直于直線，再由點斜式求解即可【詳解】過點且與原點O距離最遠的直垂直于直線，，∴過點且與原點O距離最遠的直線的斜率為，∴過點且與原點O距離最遠的直線方程為：，即.故選：A2、C【解析】對于A，作商比較，對于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對于C，利用在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積判斷，對于D，利用放縮法判斷【詳解】，故錯誤；，故錯誤；在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術(shù)），則，故正確；，故錯誤故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式的綜合應(yīng)用，考查基本不等式的推廣式的應(yīng)用，考查放縮法的應(yīng)用，對于C項解題的關(guān)鍵是利用了在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題3、C【解析】利用，可得且，即可得出結(jié)論【詳解】∵，且，橢圓與橢圓的關(guān)系是有相等的焦距故選：C4、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求出，再由橢圓的對稱性及定義求解即可.【詳解】由橢圓的對稱性可知，,所以，又橢圓方程為，所以，解得，所以，故選：A5、A【解析】求得圓心坐標和半徑，結(jié)合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：A.6、A【解析】若命題，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【詳解】因為，所以，所以.故選：A7、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)及余弦定理化簡求即可.【詳解】由，∴，在中，，∴，解得.故選：A.8、C【解析】依據(jù)拋物線定義可以證明：以過拋物線焦點F的弦PQ為直徑的圓與其準線相切，則可以順利求得線段的長.【詳解】拋物線的焦點F，準線取PQ中點H，分別過P、Q、H作拋物線準線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點H到拋物線準線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C9、B【解析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設(shè)半徑為R，,解得,化簡得.故選：B.10、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項相消法可求得輸出結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.11、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B12、A【解析】結(jié)合不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項，若且，則，所以A選項正確.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，如，但，所以C選項錯誤.D選項，如，但，所以D選項錯誤.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：應(yīng)用換元法，令，，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在恒成立，確定關(guān)系式，即可求得答案.詳解：函數(shù)對稱軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調(diào)遞增，，解得，即實數(shù)的取值范圍是故答案為.點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題、不等式恒成立問題以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，考查了復(fù)合函數(shù)問題求解的換元法14、【解析】先求出，求出導(dǎo)函數(shù)及，進而求出切線方程.【詳解】∵，∴，又，∴在處的切線方程為，即故答案為：15、（1）眾數(shù)；平均數(shù)，中位數(shù).（2）.【解析】（1）按“眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對應(yīng)區(qū)間的中點75；平均數(shù)；因為，所以中位數(shù)在區(qū)間上，且中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結(jié)果，記事件A=“調(diào)查對象來自不同分組”，結(jié)果有所以.16、【解析】利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，即可得到答案.【詳解】由題意各項均為正數(shù)的等比數(shù)列得：，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，由弦長公式，以及點到直線距離公式，求出的面積的最值，得到；得出點的軌跡為橢圓，且點為橢圓的左、右焦點，記，則，得到，根據(jù)對勾函數(shù)求出最值.【小問1詳解】設(shè)點，由題意知，所以：，則，當時，取得最大值，即，故橢圓C的標準方程是【小問2詳解】設(shè)，，，則由得，，點O到直線l的距離，對用均值不等式，則：當且僅當即，①，S取得最大值．此時，，，即，代入①式整理得，即點M的軌跡為橢圓且點，為橢圓的左、右焦點，即記，則于是：，由對勾函數(shù)的性質(zhì)：當時，，且，故的取值范圍為18、（1）（2）（3）分【解析】（1）根據(jù)頻率之和為列方程來求得跳繩個數(shù)在區(qū)間的小矩形的高.（2）根據(jù)百分位數(shù)的計算方法計算出合格分數(shù)線.（3）根據(jù)平均數(shù)的求法求得名學(xué)生的平均得分.【小問1詳解】設(shè)跳繩個數(shù)在區(qū)間的小矩形的高為，則，解得.【小問2詳解】第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，第四組的頻率為，第五組的頻率為，第六組的頻率為，所以第百分位數(shù)為.也即合格分數(shù)線為.【小問3詳解】名學(xué)生的平均得分為分.19、（1）（2）【解析】（1）由三角恒等變換公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解（2）由余弦定理與面積公式，結(jié)合基本不等式求解【小問1詳解】由己知可得，由，解得：，故的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問2詳解】，，故，得，由余弦定理得：，得，當且僅當時等號成立，故，面積最大值為20、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】(1)利用離心率，短軸長求出a，b，即可求得橢圓方程.(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理計算判定，由M為線段AB中點即可確定存在常數(shù)推理作答.【小問1詳解】因橢圓的短軸長是2，則，而離心率，解得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】存在常數(shù)，使恒成立，

由消去y并整理得：，設(shè)，，則，，又，，，則有，而線段AB的中點為M，于是得，并且有所以存在常數(shù)，使恒成立.21、（1）（2）是定值，定值為6【解析】（1）根據(jù)題意條件，可直接求出的值，然后再利用條件中、的關(guān)系，借助即可求解出、的值，從而得到橢圓方程；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出、所在直線方程，然后與橢圓聯(lián)立方程，分別表示出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出弦長關(guān)系，再計算點到直線的距離，把面積用和的式子表示出來，通過給出的面積的值，找到和的等量關(guān)系，將等量關(guān)系帶入到利用跟與系數(shù)關(guān)系組合成的中即可得到答案.【小問1詳解】由題意：，由知：，故橢