2024屆海南省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)全真模擬卷數(shù)學(xué)試題（八）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1海南省2024屆高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)全真模擬卷數(shù)學(xué)試題（八）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為（）A6 B.7 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，共6個數(shù)，則，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為從小到大排列的第四個數(shù)9.故選：C.2.下列方程中表示圓心在直線上，半徑為2，且過原點的圓的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為圓心在上，所以設(shè)圓心為,因為圓的半徑為2，所以設(shè)圓的標準方程為,因為該圓過原點，所以，解得,所以圓心為或,當(dāng)圓心為時，圓的標準方程為，D對;當(dāng)圓心為時，圓的標準方程為.故選：D.3.已知首項為1的等比數(shù)列的前項和為Sn，若，則（）A.24 B.12 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗設(shè)等比數(shù)列an的公比為，顯然，否則，此等式不成立，則，由，整理得，即，因此，所以.故選：D.4.如圖所示的沙漏由兩個完全相同的圓錐組成，且圓錐的底面半徑和高均為2.若沙漏的起始狀態(tài)為上方圓錐中充滿了沙子，下方圓錐中沒有沙子，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，需要54分鐘全部漏完，則經(jīng)過52分鐘后，沙漏上方圓錐中沙子的高度為（）A. B.23 C. D.43〖答案〗B〖解析〗因為沙子漏下來的速度是恒定的，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，則經(jīng)過52分鐘后，漏下來的沙子是全部沙子的，剩余的是全部沙子的，下方圓錐的空白部分就是上方圓錐中的沙子部分，所以可以單獨研究下方圓錐，設(shè)為下方空白的圓錐的高，為沙漏的高，為下方空白部分的圓錐的體積，為下方沙漏的體積，，可得.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：A.6.若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗因為為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C.7.已知正方體的棱長為2，點為側(cè)面四邊形的中心，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖：四面體的面是直角三角形，為面與的中心，所以面，因為斜邊的中點是三角形外心，所以球心在的直線上，面也為直角三角形，分別為與的中點，所以，面，所以面，因為斜邊的中點是三角形外心，所以球心在的直線上，故球心為直線與直線的交點，正方體的棱長為2，所以球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為：.故選：D.8.在平面直角坐標系中，橢圓的左、右頂點分別為，點是橢圓上異于的點，為平面內(nèi)一點，且滿足，過點作直線的垂線與直線交于點，則（）A.12 B.16 C.24 D.32〖答案〗C〖解析〗設(shè)坐標，則，根據(jù)題意知，，所以坐標為，直線斜率為，所以直線方程為，直線斜率為，因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，所以直線方程為，聯(lián)立直線方程與方程，求得點坐標為，則，，所以.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為，且點均在以坐標原點為圓心.2為半徑的圓上，點在第四象限，則（）A.點在第一象限 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，由題意可得，解得或，所以點或，因為點在第四象限，所以，從而可得，所以點在第一象限，故A正確；所以，故B正確；，，所以，所以與不垂直，故C錯誤；所以，故D錯誤.故選：AB.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象為中心對稱圖形C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.關(guān)于的方程在上至多有3個解〖答案〗AC〖解析〗當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到1；在上遞減，函數(shù)值從1減小到；當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到；在上遞減，函數(shù)值從減小到，函數(shù)在的圖象，如圖：對于A，，結(jié)合函數(shù)在的圖象，得是的最小正周期，A正確；對于B，觀察函數(shù)在的圖象，函數(shù)在沒有對稱中心，又的最小正周期是，則函數(shù)的圖象不是中心對稱圖形，B錯誤；對于C，由函數(shù)在上遞增，的最小正周期是，得函數(shù)在上遞增，C正確；對于D，觀察函數(shù)在的圖象，得當(dāng)時，有4個解，D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)定義域為R，其圖象關(guān)于中心對稱，若，則（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗A選項，的定義域為R，其圖象關(guān)于中心對稱，故，故，A正確；B選項，由題意得，又，故，令得，即，B錯誤；C選項，由題意得，即，令，則，所以為奇函數(shù)，C正確；D選項，因為，所以，即，故，令，則，故為偶函數(shù)，D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由題可得，當(dāng)時，，則，不滿足條件；當(dāng)時，，要使，則，當(dāng)時，，要使，則，綜上，實數(shù)的取值范圍為.13.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率為______.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點，設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，消去y得，，設(shè)，則，因為，所以，即，得.14.在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且，，若，則實數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由得，得，得，得，得,故或,又為銳角三角形，故，即,，由及正弦定理可得，故，，因，故恒成立，又,又為銳角三角形，故，，故當(dāng)時取得最大值，故，即實數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本題共5小題、共77分.解題應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟）15.已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.解：（1）因為雙曲線的實軸長為，所以，解得：；又因為點在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標準方程為：.（2）設(shè)，Qx2由題可得過點且斜率為的直線方程為：，即，聯(lián)立，消去可得：，所以，，所以.16.如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.（1）證明：;（2）若直線AB與平面所成角的正弦值為，點為線段BD上一點，求點到平面的距離.（1）證明：因為，，所以，所以,因為為直四棱柱，所以,因為，平面，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由（1）及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系因為，.設(shè)，所以，所以,設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線AB與平面所成的角為，則，解得，所以，所以點到平面的距離為，因為，所以，因為不在平面，所以平面，因為M在線段上，所以點M到平面的距離等價于點到平面的距離，為，故點M到平面的距離.17.某自助餐廳為了鼓勵消費，設(shè)置了一個抽獎箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的獎券各3張，每張獎券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取3張獎券，最終餐廳將在結(jié)賬時按照3張獎券中最優(yōu)惠的折扣進行結(jié)算.（1）求一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原價為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時的價格為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）從12張中任選3張有種方法，取到的折扣均不相同的取法有，所以一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；（2）的所有取值為，，，，，所以的分布列為.18.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)極值；（2）若曲線y=f(x)與曲線有唯一的交點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）時，，令解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無極大值.（2）由分離得，令，令，所以hx在R上單調(diào)遞減，，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，在區(qū)間0,+∞上，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，gx=3x+2-要使曲線y=f(x)與曲線有唯一的交點，則的取值范圍是.19.定義：已知數(shù)列為有窮數(shù)列，①對任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“乘法封閉數(shù)列”；②對任意（），總存在，使得，則稱數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，（1）若，判斷數(shù)列是否為“乘法封閉數(shù)列”.（2）已知遞增數(shù)列，為“除法封閉數(shù)列"，求和.（3）已知數(shù)列是以1為首項的遞增數(shù)列，共有項，，且為“除法封閉數(shù)列”，探究：數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請給出說明過程；若不是，請寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式.解：（1）由題意知，數(shù)列為：.由，不是數(shù)列中的項，故數(shù)列不是“乘法封閉數(shù)列”；（2）由題意數(shù)列遞增可知，則，且，又數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，則都是數(shù)列中的項，所以，即①；且，即②，聯(lián)立①②解得，；（3）數(shù)列是等比數(shù)列.證明：當(dāng)時，設(shè)數(shù)列為，由題意數(shù)列遞增可知，則有，由數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，則這個數(shù)都是數(shù)列中的項，所以有，則有，③；同理由，可得，則有，即④；由③④可得，，故是等比數(shù)列.當(dāng)時，由題意數(shù)列遞增可知，則有，由數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，則這個數(shù)都是數(shù)列中的項.所以有.所以有，即⑤；同理由，可得，所以.則，即⑥，聯(lián)立⑤⑥得，，則，所以有，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列.綜上所述，數(shù)列是等比數(shù)列.海南省2024屆高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)全真模擬卷數(shù)學(xué)試題（八）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為（）A6 B.7 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，共6個數(shù)，則，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為從小到大排列的第四個數(shù)9.故選：C.2.下列方程中表示圓心在直線上，半徑為2，且過原點的圓的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為圓心在上，所以設(shè)圓心為,因為圓的半徑為2，所以設(shè)圓的標準方程為,因為該圓過原點，所以，解得,所以圓心為或,當(dāng)圓心為時，圓的標準方程為，D對;當(dāng)圓心為時，圓的標準方程為.故選：D.3.已知首項為1的等比數(shù)列的前項和為Sn，若，則（）A.24 B.12 C.20 D.15〖答案〗D〖解析〗設(shè)等比數(shù)列an的公比為，顯然，否則，此等式不成立，則，由，整理得，即，因此，所以.故選：D.4.如圖所示的沙漏由兩個完全相同的圓錐組成，且圓錐的底面半徑和高均為2.若沙漏的起始狀態(tài)為上方圓錐中充滿了沙子，下方圓錐中沒有沙子，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，需要54分鐘全部漏完，則經(jīng)過52分鐘后，沙漏上方圓錐中沙子的高度為（）A. B.23 C. D.43〖答案〗B〖解析〗因為沙子漏下來的速度是恒定的，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，則經(jīng)過52分鐘后，漏下來的沙子是全部沙子的，剩余的是全部沙子的，下方圓錐的空白部分就是上方圓錐中的沙子部分，所以可以單獨研究下方圓錐，設(shè)為下方空白的圓錐的高，為沙漏的高，為下方空白部分的圓錐的體積，為下方沙漏的體積，，可得.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：A.6.若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.3 B.6 C.9 D.12〖答案〗C〖解析〗因為為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C.7.已知正方體的棱長為2，點為側(cè)面四邊形的中心，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖：四面體的面是直角三角形，為面與的中心，所以面，因為斜邊的中點是三角形外心，所以球心在的直線上，面也為直角三角形，分別為與的中點，所以，面，所以面，因為斜邊的中點是三角形外心，所以球心在的直線上，故球心為直線與直線的交點，正方體的棱長為2，所以球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為：.故選：D.8.在平面直角坐標系中，橢圓的左、右頂點分別為，點是橢圓上異于的點，為平面內(nèi)一點，且滿足，過點作直線的垂線與直線交于點，則（）A.12 B.16 C.24 D.32〖答案〗C〖解析〗設(shè)坐標，則，根據(jù)題意知，，所以坐標為，直線斜率為，所以直線方程為，直線斜率為，因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，所以直線方程為，聯(lián)立直線方程與方程，求得點坐標為，則，，所以.故選：C.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為，且點均在以坐標原點為圓心.2為半徑的圓上，點在第四象限，則（）A.點在第一象限 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，由題意可得，解得或，所以點或，因為點在第四象限，所以，從而可得，所以點在第一象限，故A正確；所以，故B正確；，，所以，所以與不垂直，故C錯誤；所以，故D錯誤.故選：AB.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象為中心對稱圖形C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.關(guān)于的方程在上至多有3個解〖答案〗AC〖解析〗當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到1；在上遞減，函數(shù)值從1減小到；當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到；在上遞減，函數(shù)值從減小到，函數(shù)在的圖象，如圖：對于A，，結(jié)合函數(shù)在的圖象，得是的最小正周期，A正確；對于B，觀察函數(shù)在的圖象，函數(shù)在沒有對稱中心，又的最小正周期是，則函數(shù)的圖象不是中心對稱圖形，B錯誤；對于C，由函數(shù)在上遞增，的最小正周期是，得函數(shù)在上遞增，C正確；對于D，觀察函數(shù)在的圖象，得當(dāng)時，有4個解，D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)定義域為R，其圖象關(guān)于中心對稱，若，則（）A. B.C.為奇函數(shù) D.為偶函數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗A選項，的定義域為R，其圖象關(guān)于中心對稱，故，故，A正確；B選項，由題意得，又，故，令得，即，B錯誤；C選項，由題意得，即，令，則，所以為奇函數(shù)，C正確；D選項，因為，所以，即，故，令，則，故為偶函數(shù)，D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由題可得，當(dāng)時，，則，不滿足條件；當(dāng)時，，要使，則，當(dāng)時，，要使，則，綜上，實數(shù)的取值范圍為.13.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率為______.〖答案〗〖解析〗拋物線的焦點，設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，消去y得，，設(shè)，則，因為，所以，即，得.14.在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且，，若，則實數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由得，得，得，得，得,故或,又為銳角三角形，故，即,，由及正弦定理可得，故，，因，故恒成立，又,又為銳角三角形，故，，故當(dāng)時取得最大值，故，即實數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本題共5小題、共77分.解題應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟）15.已知雙曲線的實軸長為，點在雙曲線上.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點且斜率為的直線與雙曲線的另一個交點為，求.解：（1）因為雙曲線的實軸長為，所以，解得：；又因為點在雙曲線上，所以，解得：，所以雙曲線的標準方程為：.（2）設(shè)，Qx2由題可得過點且斜率為的直線方程為：，即，聯(lián)立，消去可得：，所以，，所以.16.如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.（1）證明：;（2）若直線AB與平面所成角的正弦值為，點為線段BD上一點，求點到平面的距離.（1）證明：因為，，所以，所以,因為為直四棱柱，所以,因為，平面，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由（1）及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系因為，.設(shè)，所以，所以,設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線AB與平面所成的角為，則，解得，所以，所以點到平面的距離為，因為，所以，因為不在平面，所以平面，因為M在線段上，所以點M到平面的距離等價于點到平面的距離，為，故點M到平面的距離.17.某自助餐廳為了鼓勵消費，設(shè)置了一個抽獎箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的獎券各3張，每張獎券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取3張獎券，最終餐廳將在結(jié)賬時按照3張獎券中最優(yōu)惠的折扣進行結(jié)算.（1）求一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原價為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時的價格為，求的分