2024年貴州省高三下學(xué)期高考模擬信息卷數(shù)學(xué)試題（一）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省2024年高三下學(xué)期高考模擬信息卷數(shù)學(xué)試題（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，又，所以.故選：D.2.（）A. B. C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗因為，所以，故選：B.3.已知向量，，且，則的坐標(biāo)可以是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，因為，所以①，又，得到，又，所以②，聯(lián)立①②解得或，所以的坐標(biāo)可以是，故選：A.4.已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充要條件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，由，得到，所以“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的充要條件是，故選：B.5.為了美化廣場環(huán)境，縣政府計劃定購一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個圓臺和一個圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中，，則該石墩的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，過點作于，因為，，所以，，所以圓臺的體積為，又圓柱的體積為，所以該石墩的體積為，故選：D.6.若函數(shù)在上單調(diào)，則的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗，則，函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得：，所以的最大值為.故選：D.7.將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個盒子中至少放入1個球，則2個紅球分別放入不同盒子中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個盒子中至少放入1個球，則基本事件有：（紅1，白紅2），（白，紅1紅2），（紅2，白紅1），則2個紅球分別放入不同盒子中包含了（紅1，白紅2），（紅2，白紅1），所以由古典概型的公式得概率為：.故選：A.8.已知，，．若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，因為，，則，可得，即，則，令，則，整理得，解得或（舍去），即，解得．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A，根據(jù)在單調(diào)遞增，結(jié)合，知，A正確．對于B，根據(jù)在單調(diào)遞增，結(jié)合，知，B錯誤．對于C，根據(jù)在單調(diào)遞增，結(jié)合，知，C錯誤．對于D，根據(jù)，結(jié)合，知，則，即，D正確．故選：AD.10.在正方體中，分別為，，，，的中點，則（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面〖答案〗ABC〖解析〗對于A，連接，如圖，因為是，的中點，所以，易知四邊形是平行四形邊，又是，的中點，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接，如圖，在正方體中，易知，又平面，所以平面，因為平面，故，又易知，所以，同理：，則，因為，平面，所以平面，對于C，連接，因為是，的中點，所以，同理：，又在正方體中，易得，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證，進(jìn)而可證平面，因為平面，所以平面平面，故C正確；對于D，假設(shè)平面平面，因為平面，所以平面，顯然不成立，故D錯誤.故選：ABC.11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與交于兩點，點為點在上的射影，線段與軸的交點為，的延長線交于點，則（）A. B.C. D.直線與相切〖答案〗ABD〖解析〗由題知，，設(shè)，則，對于選項A，因為，所以，令，得到，所以，故，又，所以，所以選項A正確，對于選項B，由選項A知，所以，令，得到，所以，故，又，所以，故選項B正確，對于選項C，在中，，又由選項A知直線為的中垂線，所以，得到，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，由，消得到，因為，所以直線與相切，故選項D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗因為，所以二項式系數(shù)最大的項為第項，又的展開式的通項公式為，令，得到，所以二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.13.我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為__________．〖答案〗〖解析〗因為，即，解得，所以的虛軸長為.14.若直線與曲線相切，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，設(shè)切點為，則，由，得，，則，代入，得，則，令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以，故.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱臺中，平面ABC，，，．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）依題意，以點C為圓點，所在直線分別為建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系在三椄臺中.因為，，，所以所以設(shè)異面直線與所成角為則，所以，即直線與所成角的余弦值是（2）設(shè)直線與平面所成角為，則，平面的法向量為，，所以，令則,所以，所以，即直線與平面所成角的正弦值是.16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，的面積為3，求.解：（1）由余弦定理，得，由正弦定理，得，因為，所以，則，即，顯然，所以.（2）因為，所以，則由，得，因為，所以，所以，即，由，得，則，即，因為的面積為3，所以，則，解得（負(fù)值舍去），所以.17.某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)學(xué)科知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有，，，，五道題，規(guī)則為每位參賽者依次回答這五道題，每答對一題加20分，答錯一題減10分；若連續(xù)答錯兩道題或五道題全部答完，則第一輪選拔結(jié)束．假設(shè)參賽者甲同學(xué)答對，，，，的概率分別為，，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）記為甲同學(xué)本輪答題比賽結(jié)束時已答題的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）第一輪比賽結(jié)束后，若參賽者在第一輪出現(xiàn)過連續(xù)答對三道題或總分不低于70分，則可進(jìn)入下一輪選拔，求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率．解：（1）由題可得可能取值為：2，3，4，5，，，，，的分布列如下：2345所以.（2）設(shè)，，，，分別代表第1，2，3，4，5個問題，用表示甲同學(xué)第個問題回答正確；用表示甲同學(xué)第個問題回答錯誤；由題意得，，，，，記甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪為事件，則.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，，過點作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別交于不同的兩點．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線的斜率為定值，并求出該值．（1）解：設(shè)，且，因為，又，所以，解得，又點在上，所以①，又②，聯(lián)立①②，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由，消得到，所以，得到，所以，同理可得，，所以為定值，即直線的斜率為定值，定值為.19已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且，證明：，且．（1）解：的定義域為R，由題意，得，x∈R，當(dāng)時，恒成立，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）證明：由，得，是方程的兩個實數(shù)根，即是方程的兩個實數(shù)根．令，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以．因為當(dāng)時，；當(dāng)時，，，所以．不妨設(shè)，因為，是方程的兩個實數(shù)根，則．要證，只需證．因為，，所以只需證．因，所以只需證．令，，則在恒成立．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時，．所以，即成立．貴州省2024年高三下學(xué)期高考模擬信息卷數(shù)學(xué)試題（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，又，所以.故選：D.2.（）A. B. C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗因為，所以，故選：B.3.已知向量，，且，則的坐標(biāo)可以是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，因為，所以①，又，得到，又，所以②，聯(lián)立①②解得或，所以的坐標(biāo)可以是，故選：A.4.已知數(shù)列滿足，則“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充要條件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，由，得到，所以“數(shù)列an是遞增數(shù)列”的充要條件是，故選：B.5.為了美化廣場環(huán)境，縣政府計劃定購一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個圓臺和一個圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中，，則該石墩的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，過點作于，因為，，所以，，所以圓臺的體積為，又圓柱的體積為，所以該石墩的體積為，故選：D.6.若函數(shù)在上單調(diào)，則的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗，則，函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得：，所以的最大值為.故選：D.7.將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個盒子中至少放入1個球，則2個紅球分別放入不同盒子中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個盒子中至少放入1個球，則基本事件有：（紅1，白紅2），（白，紅1紅2），（紅2，白紅1），則2個紅球分別放入不同盒子中包含了（紅1，白紅2），（紅2，白紅1），所以由古典概型的公式得概率為：.故選：A.8.已知，，．若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，因為，，則，可得，即，則，令，則，整理得，解得或（舍去），即，解得．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A，根據(jù)在單調(diào)遞增，結(jié)合，知，A正確．對于B，根據(jù)在單調(diào)遞增，結(jié)合，知，B錯誤．對于C，根據(jù)在單調(diào)遞增，結(jié)合，知，C錯誤．對于D，根據(jù)，結(jié)合，知，則，即，D正確．故選：AD.10.在正方體中，分別為，，，，的中點，則（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面〖答案〗ABC〖解析〗對于A，連接，如圖，因為是，的中點，所以，易知四邊形是平行四形邊，又是，的中點，所以，故，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接，如圖，在正方體中，易知，又平面，所以平面，因為平面，故，又易知，所以，同理：，則，因為，平面，所以平面，對于C，連接，因為是，的中點，所以，同理：，又在正方體中，易得，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證，進(jìn)而可證平面，因為平面，所以平面平面，故C正確；對于D，假設(shè)平面平面，因為平面，所以平面，顯然不成立，故D錯誤.故選：ABC.11.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與交于兩點，點為點在上的射影，線段與軸的交點為，的延長線交于點，則（）A. B.C. D.直線與相切〖答案〗ABD〖解析〗由題知，，設(shè)，則，對于選項A，因為，所以，令，得到，所以，故，又，所以，所以選項A正確，對于選項B，由選項A知，所以，令，得到，所以，故，又，所以，故選項B正確，對于選項C，在中，，又由選項A知直線為的中垂線，所以，得到，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，由，消得到，因為，所以直線與相切，故選項D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗因為，所以二項式系數(shù)最大的項為第項，又的展開式的通項公式為，令，得到，所以二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.13.我們把離心率為的雙曲線稱為“黃金雙曲線”．已知“黃金雙曲線”，則的虛軸長為__________．〖答案〗〖解析〗因為，即，解得，所以的虛軸長為.14.若直線與曲線相切，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，設(shè)切點為，則，由，得，，則，代入，得，則，令，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，所以，故.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在三棱臺中，平面ABC，，，．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）依題意，以點C為圓點，所在直線分別為建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系在三椄臺中.因為，，，所以所以設(shè)異面直線與所成角為則，所以，即直線與所成角的余弦值是（2）設(shè)直線與平面所成角為，則，平面的法向量為，，所以，令則,所以，所以，即直線與平面所成角的正弦值是.16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，的面積為3，求.解：（1）由余弦定理，得，由正弦定理，得，因為，所以，則，即，顯然，所以.（2）因為，所以，則由，得，因為，所以，所以，即，由，得，則，即，因為的面積為3，所以，則，解得（負(fù)值舍去），所以.17.某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)學(xué)科知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有，，，，五道題，規(guī)則為每位參賽者依次回答這五道題，每答對一題加20分，答錯一題減10分；若連續(xù)答錯兩道題或五道題全部答完，則第一輪選拔結(jié)束．假設(shè)參賽者甲同學(xué)答對，，，，的概率分別為，，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）記為甲同學(xué)本輪答題比賽結(jié)束時已答題的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）第一輪比賽結(jié)束后，