2025屆廣東省部分名校高三上學(xué)期8月入學(xué)摸底聯(lián)合測(cè)評(píng)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分名校2025屆高三上學(xué)期8月入學(xué)摸底聯(lián)合測(cè)評(píng)考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.能正確表示圖中陰影部分的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圖中陰影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，對(duì)比選項(xiàng)可知，只有A符合題意.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由題意，，，故.故選：B.3.已知向量，且，則的值為（）A.1 B.2 C. D.-2〖答案〗D〖解析〗由，，由，得，所以，得故選：D.4.石墨烯是一種由單層碳原子構(gòu)成的具有平面網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的物質(zhì)，其結(jié)構(gòu)如圖所示，其中每個(gè)六邊形的頂點(diǎn)是一個(gè)碳原子的所處位置.現(xiàn)令六邊形為中心六邊形，其外圍緊鄰的每個(gè)六邊形構(gòu)成“第一圓環(huán)”，“第一圓環(huán)”外圍緊鄰的六邊形構(gòu)成“第二圓環(huán)”，以此類推.則“第七圓環(huán)”上的碳原子數(shù)為（）A.42 B.120 C.168 D.210〖答案〗C〖解析〗記“第n圓環(huán)”最外層的碳原子個(gè)數(shù)為，依題意,,，由此可以歸納出，“第二圓環(huán)”上的碳原子個(gè)數(shù)為,“第三圓環(huán)”上的碳原子個(gè)數(shù)為,由此可得“第n圓環(huán)”上的碳原子個(gè)數(shù)為,所以“第七圓環(huán)”的碳原子個(gè)數(shù)為，故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，設(shè)，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，若圓與圓外切，則，，可得；若圓與圓內(nèi)切，則，，可得；綜上所述：，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，則，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：B.6.現(xiàn)某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（）A.14種 B.18種 C.12種 D.7種〖答案〗A〖解析〗從3名男剅師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，共有20（種），沒有女廚師被選中的選法共有（種），故至少有1名女廚師被選中的不同選法有（種）.故選：A.7.設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，，因?yàn)橹本€與以為圓心、為半徑的圓切，所以，因此由勾股定理可知，又，所以，因此，由勾股定理可得，根據(jù)橢圓定義，.故選：B.8.在正四棱錐中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)直線與直線所成的角為，二面角為，直線與平面所成的角為，這三個(gè)角的關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取中心中點(diǎn)連接，使得，由題可知，，，且，，均為銳角，由于平面，平面，所以,又平面，所以平面，平面，故,因此，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法正確的有（）A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)C.所有項(xiàng)的系數(shù)和為D.有理項(xiàng)共有5項(xiàng)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；對(duì)于B，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)，故B正確；對(duì)于C，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，共有5項(xiàng)，即有理項(xiàng)共有5項(xiàng)，故D正確．故選：ABD．10.中，D為AB上一點(diǎn)且滿足．若P為線段CD上一點(diǎn)，且（為正實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的最大值為 D.的最小值為3〖答案〗AD〖解析〗，故A正確；由，所以，又三點(diǎn)共線，，即，故B錯(cuò)誤；由為正實(shí)數(shù)，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：AD．11.若的定義域?yàn)?，滿足對(duì)任意，都有，且，則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.為奇函數(shù)D.〖答案〗BCD〖解析〗A中：令，得，又，所以，故A不選；B中：令得，，所以，而的定義域是全體實(shí)數(shù)，所以為偶函數(shù)，故B選；C中：令，得，所以，又，而的定義域是全體實(shí)數(shù)，所以為奇函數(shù)，故C選；D中：,所以，所以，故4是的周期，又，所以，故D選.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行答題比賽，每隊(duì)3名選手，規(guī)定兩隊(duì)的每名選手都完成一次答題為一輪比賽，每名選手答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得0分.已知甲隊(duì)中每名選手答對(duì)題的概率都為，乙隊(duì)中3名選手答對(duì)題的概率分別為.在第一輪比賽中，甲隊(duì)得分，乙隊(duì)得分，則在這一輪中，滿足且的概率為__________.〖答案〗〖解析〗依題意甲隊(duì)在一輪比賽中得分的概率為，甲隊(duì)在一輪比賽中得分的概率為，乙隊(duì)在一輪比賽中得分的概率為：，乙隊(duì)在一輪比賽中得分的概率為：，設(shè)在這一輪中，滿足且為事件，則包含①甲隊(duì)得分，乙隊(duì)得分，②甲隊(duì)得分，乙隊(duì)得分，③甲隊(duì)得分，乙隊(duì)得分，所以，即在這一輪中，滿足且的概率為.13.若曲線的切線為，則一組滿足條件的的取值為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，由，得，則由題意得，所以，，所以，所以.14.省級(jí)保護(hù)文物石城永寧橋位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面時(shí)，水面寬，當(dāng)水面下降時(shí)，水面的寬度為______米.〖答案〗〖解析〗建利坐標(biāo)系如圖，設(shè)拋物線方程為且，則根據(jù)題意可知圖中坐標(biāo)為，所以，可得，所以拋物線方程為，令，代入方程，解得，可得到水面兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為所以水面的寬度為米．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，、為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形．（1）求的值；（2）若，且，求的值；（3）求關(guān)于的方程在上的最大根與最小根之和.解：（1）正三角形的高為，，函數(shù)的周期，．（2），由（1）有，即，而由，知，所以，．．（3），當(dāng)，，設(shè)與（）的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)最小為，最大為，令，則或，解得或，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大，即此方程在內(nèi)所有最小根為：1，最大根為．兩個(gè)之和為.16.某工廠去年12月試產(chǎn)了1000個(gè)電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為0.85.從今年1月開始，工廠在接下來的一年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.01.（1）求今年2月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量，并判斷哪個(gè)月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量最多；（2）求該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品的數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，.解：（1）記從今年1月起，第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為.由題可知，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，，所以今年2月份生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為；設(shè)第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為，則，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即5月或6月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)最多；（2）設(shè)今年前個(gè)月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，則，由于，，所以①，②，①－②得，所以，即該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)約為19604個(gè).17.如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面．（1）求證：；（2）若，．（i）求證：平面；（ii）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；?）（i）證明：取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以與全等，所以，即，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，、平面，所以平面；（ii）解：由（i）知平面，而平面，所以，因?yàn)?，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z,則令，則，于是，因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?設(shè)二面角為，由圖可得所以,所以二面角的余弦值為，則二面角的正弦值為．18.在一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)淺色球，其中一個(gè)球的標(biāo)號(hào)為1，另一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)深色球，其中兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)為2，3.（1）若在兩個(gè)箱子中各抽取兩個(gè)球，求抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)球中至少有兩個(gè)的概率;（2）若在兩個(gè)箱子中共隨機(jī)抽取四個(gè)球，記其中淺色球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.解：（1）由題意可得共有（種）不同的抽法，抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號(hào)為1，2，或1，3的種數(shù)有，標(biāo)號(hào)為2，3的種數(shù)有，抽到1,2,3的種數(shù)有，合計(jì)（種）不同的抽法，所以抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)球中至少有兩個(gè)的概率為.（2）由題意知，的可能取值為0，1，2，3，4.，，，，所以的分布列為X01234P19.在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）若拋物線不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，，兩點(diǎn)（），過作軸的垂線交線段于點(diǎn).①當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；②求點(diǎn)A到直線的距離的最大值.解：（1）若拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)拋物線的方程為，且拋物線過點(diǎn)，所以，解得；若拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)拋物線的方程為，且拋物線過點(diǎn)，所以，解得；綜上所述：拋物線的方程為或.（2）因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過第二象限，由（1）可知，拋物線的方程為，且F1,0,，①當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，令，得，在中，令，得，又因?yàn)?，則，可得直線，由，解得或，即，所以直線，即；②設(shè)，，，由，消去整理得，所以，，，且，即，則，令，得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以當(dāng)，即點(diǎn)A以直線的距離取得最大值，為.廣東省部分名校2025屆高三上學(xué)期8月入學(xué)摸底聯(lián)合測(cè)評(píng)考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.能正確表示圖中陰影部分的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圖中陰影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，對(duì)比選項(xiàng)可知，只有A符合題意.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗由題意，，，故.故選：B.3.已知向量，且，則的值為（）A.1 B.2 C. D.-2〖答案〗D〖解析〗由，，由，得，所以，得故選：D.4.石墨烯是一種由單層碳原子構(gòu)成的具有平面網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的物質(zhì)，其結(jié)構(gòu)如圖所示，其中每個(gè)六邊形的頂點(diǎn)是一個(gè)碳原子的所處位置.現(xiàn)令六邊形為中心六邊形，其外圍緊鄰的每個(gè)六邊形構(gòu)成“第一圓環(huán)”，“第一圓環(huán)”外圍緊鄰的六邊形構(gòu)成“第二圓環(huán)”，以此類推.則“第七圓環(huán)”上的碳原子數(shù)為（）A.42 B.120 C.168 D.210〖答案〗C〖解析〗記“第n圓環(huán)”最外層的碳原子個(gè)數(shù)為，依題意,,，由此可以歸納出，“第二圓環(huán)”上的碳原子個(gè)數(shù)為,“第三圓環(huán)”上的碳原子個(gè)數(shù)為,由此可得“第n圓環(huán)”上的碳原子個(gè)數(shù)為,所以“第七圓環(huán)”的碳原子個(gè)數(shù)為，故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，設(shè)，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，若圓與圓外切，則，，可得；若圓與圓內(nèi)切，則，，可得；綜上所述：，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，則，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.故選：B.6.現(xiàn)某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（）A.14種 B.18種 C.12種 D.7種〖答案〗A〖解析〗從3名男剅師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，共有20（種），沒有女廚師被選中的選法共有（種），故至少有1名女廚師被選中的不同選法有（種）.故選：A.7.設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，，因?yàn)橹本€與以為圓心、為半徑的圓切，所以，因此由勾股定理可知，又，所以，因此，由勾股定理可得，根據(jù)橢圓定義，.故選：B.8.在正四棱錐中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)直線與直線所成的角為，二面角為，直線與平面所成的角為，這三個(gè)角的關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，取中心中點(diǎn)連接，使得，由題可知，，，且，，均為銳角，由于平面，平面，所以,又平面，所以平面，平面，故,因此，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法正確的有（）A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)C.所有項(xiàng)的系數(shù)和為D.有理項(xiàng)共有5項(xiàng)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；對(duì)于B，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)，故B正確；對(duì)于C，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)為整數(shù)時(shí)，，共有5項(xiàng)，即有理項(xiàng)共有5項(xiàng)，故D正確．故選：ABD．10.中，D為AB上一點(diǎn)且滿足．若P為線段CD上一點(diǎn)，且（為正實(shí)數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.的最大值為 D.的最小值為3〖答案〗AD〖解析〗，故A正確；由，所以，又三點(diǎn)共線，，即，故B錯(cuò)誤；由為正實(shí)數(shù)，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確．故選：AD．11.若的定義域?yàn)椋瑵M足對(duì)任意，都有，且，則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.為奇函數(shù)D.〖答案〗BCD〖解析〗A中：令，得，又，所以，故A不選；B中：令得，，所以，而的定義域是全體實(shí)數(shù)，所以為偶函數(shù)，故B選；C中：令，得，所以，又，而的定義域是全體實(shí)數(shù)，所以為奇函數(shù)，故C選；D中：,所以，所以，故4是的周期，又，所以，故D選.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行答題比賽，每隊(duì)3名選手，規(guī)定兩隊(duì)的每名選手都完成一次答題為一輪比賽，每名選手答對(duì)一題得1分，答錯(cuò)一題得0分.已知甲隊(duì)中每名選手答對(duì)題的概率都為，乙隊(duì)中3名選手答對(duì)題的概率分別為.在第一輪比賽中，甲隊(duì)得分，乙隊(duì)得分，則在這一輪中，滿足且的概率為__________.〖答案〗〖解析〗依題意甲隊(duì)在一輪比賽中得分的概率為，甲隊(duì)在一輪比賽中得分的概率為，乙隊(duì)在一輪比賽中得分的概率為：，乙隊(duì)在一輪比賽中得分的概率為：，設(shè)在這一輪中，滿足且為事件，則包含①甲隊(duì)得分，乙隊(duì)得分，②甲隊(duì)得分，乙隊(duì)得分，③甲隊(duì)得分，乙隊(duì)得分，所以，即在這一輪中，滿足且的概率為.13.若曲線的切線為，則一組滿足條件的的取值為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，由，得，則由題意得，所以，，所以，所以.14.省級(jí)保護(hù)文物石城永寧橋位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨(dú)特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面時(shí)，水面寬，當(dāng)水面下降時(shí)，水面的寬度為______米.〖答案〗〖解析〗建利坐標(biāo)系如圖，設(shè)拋物線方程為且，則根據(jù)題意可知圖中坐標(biāo)為，所以，可得，所以拋物線方程為，令，代入方程，解得，可得到水面兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為所以水面的寬度為米．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，、為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形．（1）求的值；（2）若，且，求的值；（3）求關(guān)于的方程在上的最大根與最小根之和.解：（1）正三角形的高為，，函數(shù)的周期，．（2），由（1）有，即，而由，知，所以，．．（3），當(dāng)，，設(shè)與（）的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)最小為，最大為，令，則或，解得或，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大，即此方程在內(nèi)所有最小根為：1，最大根為．兩個(gè)之和為.16.某工廠去年12月試產(chǎn)了1000個(gè)電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為0.85.從今年1月開始，工廠在接下來的一年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.01.（1）求今年2月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量，并判斷哪個(gè)月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量最多；（2）求該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品的數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，.解：（1）記從今年1月起，第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為.由題可知，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，，所以今年2月份生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為；設(shè)第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為，則，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，即5月或6月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)最多；（2）設(shè)今年前個(gè)月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，則，由于，，所以①，②，①－②得，所以，即該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)約為19604個(gè).17.如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面．（1）求證：；（2）若，．（i）求證：平面；（ii）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；?）（i）證明：取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形?/p>