2025屆廣東省高三“熵增杯”8月份階段適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省2025屆高三“熵增杯”8月份階段適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，則，解不等式，即，解得或，因此或，則，所以的子集個數(shù)是2.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，因此，所以.故選：B.3.已知隨機變量的分布列如下表所示：若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，，則，，由，得，所以.故選：C.4.若單位向量與向量垂直，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，，所以.故選：B.5.瑞典著名物理化學(xué)家阿倫尼烏斯通過大量實驗獲得了化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)隨溫度變化的實測數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：，其中為反應(yīng)速率常數(shù)，為摩爾氣體常量，為熱力學(xué)溫度，為反應(yīng)活化能，為阿倫尼烏斯常數(shù)．對于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為和時，反應(yīng)速率常數(shù)分別為和（此過程中與的值保持不變），經(jīng)計算，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知：，，則.故選：A.6.在中，和是方程的兩實數(shù)根，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由和是方程的兩實數(shù)根，得，在中，.故選：D.7.已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由奇函數(shù)，得，由是偶函數(shù)，得，聯(lián)立解得，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是.故選：A.8.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則當最小時，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑，側(cè)面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，，．記，，則，因為在0,π上遞減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，于是是的極大值點，也是最大值點，此時，而最小，當且僅當最大，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題列出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法一定正確的有（）A.若，則B.若，，，則C.在的展開式中，所有有理項的系數(shù)之和為D.若，，，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，不能推出，即不一定有意義，A錯誤；對于B，依題意，，所以，B正確；對于C，，展開式的通項為：，當時，為有理項，因此展開式中所有有理項的系數(shù)之和為，C正確；對于D，，，而，因此，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象交坐標軸于，，三點，部分圖象如圖所示，是直角三角形，.函數(shù)的圖象是由的圖象作如下變換得來：縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?則（）A.B.的最小正周期為C.為偶函數(shù)D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗依題意，點，由，得，即，而，于是，又，解得，，對于A，，A正確；對于B，，最小正周期為，B錯誤；對于C，為偶函數(shù)，C正確；對于D，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD.11.已知拋物線：的焦點為，準線為，點，在上（在第一象限），點在上，以為直徑的圓過焦點，（），則（）A.若，則 B.若，則C.的面積最小值為 D.的面積大于〖答案〗ABD〖解析〗對于A，設(shè)點在準線上的投影為，準線與軸交于點，因為兩點在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，又，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)點在準線上的投影為點，因為以為直徑的圓過焦點，所以，且|AF|=|AM|，所以，又因為，所以，即，，由焦半徑公式，故B正確；對于C，分兩種情況：當點都在第一象限，設(shè)，，由焦半徑公式可得，，所以，令，設(shè)，且，所以，當且僅當時取得最小值，當點在第二象限時，設(shè)，，則，，所以，同理令，且，所以，所以，當且僅當時取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯誤：對于D，當點都在第一象限，，，，則，所以，即，所以當點在第二象限時，同理可得，即，所以，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的一條漸近線方程為，則______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，解得.13.畫條直線，最多將圓的內(nèi)部分為______部分．〖答案〗〖解析〗1條直線將圓的內(nèi)部分成部分，2條直線將圓的內(nèi)部分成部分，3條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分，4條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分，由此可得條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分.14.若存在實數(shù)b，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的最小值為______．〖答案〗16〖解析〗．因為的定義域為，故其圖像如果關(guān)于直線對稱，只能有，即是偶函數(shù)．因此有和前的系數(shù)均為0，從而，．由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當且僅當時，取到最小值16．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．解：（1）由，得，即，所以，由正弦定理可得，所以，又因為，所以，因為，所以，所以；（2）設(shè)邊上的高為，在中，由正弦定理可得，所以，所以，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，．（1）證明：；（2）若，，求二面角的正切值．（1）證明：取的中點，連接，由，得，由，得，而平面，則平面，又平面，所以.（2）解：在菱形中，，由（1）知，則，，有，，，取的中點，連接，由，得，于是二面角的大小，而，則，即，解得，，，所以鈍二面角的正切值是.17.在平面直角坐標系中，點到直線的距離與點到點的距離之比為．記的軌跡為．（1）求的離心率；（2）過的上頂點的直線與相交于另一點，若的面積為，求的方程．解：（1）設(shè)，由題意可得，化簡可得，即，所以軌跡：的離心率.（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，由消去x得，且，設(shè)，則，解得，所以，即，設(shè)直線與軸的交點為，則，則，所以，即，解得或，所以直線的方程為或，即或.18.已知數(shù)列的前三項均為，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且．（?。┤?，，證明：為等差數(shù)列；（ⅱ）若，為遞增等差數(shù)列，求的最小值．（1）解：由，,可得，解得，同理依次可得，，，，，，，歸納可得數(shù)列的通項公式為，.下面證明該通項公式滿足題意.當，時，；當，時，；當，時，；當，時，；綜上可知，對任意正整數(shù)，都成立，滿足題意.故滿足題意的數(shù)列的通項公式為，.（2）（?。┳C明：由（1）可知，，由，可得，，由數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，可知，則，，，由，，任意，，滿足，都有；故，由，可得為等差數(shù)列；（ⅱ）解：若，則，且數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，即數(shù)列遞增.所以當時，，又為遞增等差數(shù)列，則，由可知，則任意，，即，使，并且，可得，即.當時，，因為為遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列為遞增等差數(shù)列，且公差相等.由，則，則數(shù)列公差，即遞增等差數(shù)列數(shù)列的公差，故.當且僅當，時，取到最小值.此時，，當時，也滿足，是等差數(shù)列，滿足題意.故的最小值為.19.信息熵是信息論中的一個重要概念．設(shè)隨機變量和的分布列分別為：，，其中．定義的信息熵：，和的“距離”：．（1）若，求；（2）已知發(fā)報臺只發(fā)出信號和，接收臺只收到信號和．現(xiàn)發(fā)報臺發(fā)出信號的概率為，由于通信信號受到干擾，發(fā)出信號接收臺收到信號的概率為，發(fā)出信號接收臺收到信號的概率也為．（?。┤艚邮张_收到信號為，求發(fā)報臺發(fā)出信號為的概率；（ⅱ）記和分別為發(fā)出信號和收到信號，證明：．（1）解：因為，所以，所以的分布列為：所以（2）（i）解：記發(fā)出信號0和1分別為事件，收到信號0和1分別為事件，則，所以，所以；（ii）證明：由（?。┲瑒t，則，設(shè)，則，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減；所以，即（當且僅當時取等號），所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以.廣東省2025屆高三“熵增杯”8月份階段適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則的子集個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，則，解不等式，即，解得或，因此或，則，所以的子集個數(shù)是2.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，因此，所以.故選：B.3.已知隨機變量的分布列如下表所示：若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，，則，，由，得，所以.故選：C.4.若單位向量與向量垂直，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，，所以.故選：B.5.瑞典著名物理化學(xué)家阿倫尼烏斯通過大量實驗獲得了化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)隨溫度變化的實測數(shù)據(jù)，利用回歸分析的方法得出著名的阿倫尼烏斯方程：，其中為反應(yīng)速率常數(shù)，為摩爾氣體常量，為熱力學(xué)溫度，為反應(yīng)活化能，為阿倫尼烏斯常數(shù)．對于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為和時，反應(yīng)速率常數(shù)分別為和（此過程中與的值保持不變），經(jīng)計算，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知：，，則.故選：A.6.在中，和是方程的兩實數(shù)根，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由和是方程的兩實數(shù)根，得，在中，.故選：D.7.已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由奇函數(shù)，得，由是偶函數(shù)，得，聯(lián)立解得，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是.故選：A.8.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則當最小時，（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑，側(cè)面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，，．記，，則，因為在0,π上遞減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，于是是的極大值點，也是最大值點，此時，而最小，當且僅當最大，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題列出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法一定正確的有（）A.若，則B.若，，，則C.在的展開式中，所有有理項的系數(shù)之和為D.若，，，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，不能推出，即不一定有意義，A錯誤；對于B，依題意，，所以，B正確；對于C，，展開式的通項為：，當時，為有理項，因此展開式中所有有理項的系數(shù)之和為，C正確；對于D，，，而，因此，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象交坐標軸于，，三點，部分圖象如圖所示，是直角三角形，.函數(shù)的圖象是由的圖象作如下變換得來：縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?則（）A.B.的最小正周期為C.為偶函數(shù)D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ACD〖解析〗依題意，點，由，得，即，而，于是，又，解得，，對于A，，A正確；對于B，，最小正周期為，B錯誤；對于C，為偶函數(shù)，C正確；對于D，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD.11.已知拋物線：的焦點為，準線為，點，在上（在第一象限），點在上，以為直徑的圓過焦點，（），則（）A.若，則 B.若，則C.的面積最小值為 D.的面積大于〖答案〗ABD〖解析〗對于A，設(shè)點在準線上的投影為，準線與軸交于點，因為兩點在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，又，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)點在準線上的投影為點，因為以為直徑的圓過焦點，所以，且|AF|=|AM|，所以，又因為，所以，即，，由焦半徑公式，故B正確；對于C，分兩種情況：當點都在第一象限，設(shè)，，由焦半徑公式可得，，所以，令，設(shè)，且，所以，當且僅當時取得最小值，當點在第二象限時，設(shè)，，則，，所以，同理令，且，所以，所以，當且僅當時取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯誤：對于D，當點都在第一象限，，，，則，所以，即，所以當點在第二象限時，同理可得，即，所以，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的一條漸近線方程為，則______．〖答案〗〖解析〗因為，所以，所以，解得.13.畫條直線，最多將圓的內(nèi)部分為______部分．〖答案〗〖解析〗1條直線將圓的內(nèi)部分成部分，2條直線將圓的內(nèi)部分成部分，3條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分，4條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分，由此可得條直線將圓的內(nèi)部最多分成部分.14.若存在實數(shù)b，使得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的最小值為______．〖答案〗16〖解析〗．因為的定義域為，故其圖像如果關(guān)于直線對稱，只能有，即是偶函數(shù)．因此有和前的系數(shù)均為0，從而，．由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當且僅當時，取到最小值16．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，，．（1）求；（2）設(shè)，求邊上的高．解：（1）由，得，即，所以，由正弦定理可得，所以，又因為，所以，因為，所以，所以；（2）設(shè)邊上的高為，在中，由正弦定理可得，所以，所以，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，．（1）證明：；（2）若，，求二面角的正切值．（1）證明：取的中點，連接，由，得，由，得，而平面，則平面，又平面，所以.（2）解：在菱形中，，由（1）知，則，，有，，，取的中點，連接，由，得，于是二面角的大小，而，則，即，解得，，，所以鈍二面角的正切值是.17.在平面直角坐標系中，點到直線的距離與點到點的距離之比為．記的軌跡為．（1）求的離心率；（2）過的上頂點的直線與相交于另一點，若的面積為，求的方程．解：（1）設(shè)，由題意可得，化簡可得，即，所以軌跡：的離心率.（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，由消去x得，且，設(shè)，則，解得，所以，即，設(shè)直線與軸的交點為，則，則，所以，即，解得或，所以直線的方程為或，即或.18.已知數(shù)列的前三項均為，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且．（?。┤簦?，證明：為等差數(shù)列；（ⅱ）若，為遞增等差數(shù)列，求的最小值．（1）解：由，,可