2025屆廣東省六校高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得，即，而，所以，故，即C正確.故選：C.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以隨機變量的均值,所以隨機變量的密度曲線關(guān)于對稱，所以，又，所以，因為，所以，故選：A.3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，又單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，無單調(diào)性，不成立；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，即在和上單調(diào)遞增，所以，則，即；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，即在和上單調(diào)遞減，不成立；綜上所述，故選：C.4.已知：，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，因為，所以，故，，，，所以，，所以.故選：C.5.在菱形中，若，且在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，而是菱形，則是正三角形，于是，，因此在上的投影向量為，所以.故選：B.6.已知函數(shù)在處有極小值，則實數(shù)（）A.3 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，而函數(shù)在處有極小值，所以，故，解得或，當(dāng)時，，令f'x<0，，令f'故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處有極大值，不符合題意，排除，當(dāng)時，，令f'x<0，，令f'故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處有極小值，符合題意，故D正確.故選：D.7.將半徑為的鐵球磨制成一個圓柱體零件，則可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由圓柱體零件的側(cè)面積最大可得圓柱體內(nèi)接與球，此時圓柱的軸的中點為球的球心，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以，由圓柱側(cè)面積公式可得，圓柱的側(cè)面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值為.故選：B.8.設(shè)雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與C的右支交于M，N兩點，記與的內(nèi)切圓半徑分別為.若，則C的離心率為（）A. B. C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，其中，設(shè)與的內(nèi)心的橫坐標(biāo)分別為，過分別作、、的垂線，垂足分別為、、，則、、，又，且，則，，于是，同理，因此點、在直線上，又平分，平分，，則，，而，，則，即，解得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知奇函數(shù)的定義域為，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對稱C. D.的一個周期為〖答案〗AD〖解析〗由函數(shù)為奇函數(shù)，則，A選項正確；又，即，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，B選項錯誤；由可知，即，函數(shù)一個周期為，C選項錯誤，D選項正確；故選：AD.10.已知等比數(shù)列的公比為，前n項和為，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗當(dāng)時，不可能作為公比，故排除，當(dāng)時，不滿足，故排除，設(shè)等比數(shù)列的首項為，因為，所以，因為，所以，，故，得到，解得也可得到，對左右兩側(cè)同乘后，未改變不等號方向，所以，綜上，故B錯誤，而，故A錯誤，由等比數(shù)列的性質(zhì)得該數(shù)列單調(diào)遞減，故成立，則C正確，因為，，所以，所以，，所以成立，故D正確.故選：CD.11.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，任意復(fù)數(shù)z都有三角形式：，其中r為復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，射線OZ為終邊的角（也被稱為z的輻角）.若，，則.從0，1，中隨機選出兩個不同的數(shù)字分別作為一個復(fù)數(shù)的實部和虛部，如此重復(fù)操作n次，可得到n個復(fù)數(shù)：記.（）A.不存在n，使得B.若為實數(shù)，則的輻角可能為C.的概率為D.為整數(shù)的概率為〖答案〗ACD〖解析〗由中任意選兩個不同數(shù)字分別作為實部和虛部，則模長可能值為，對于A,若,則，由253不是2與3的整數(shù)倍,故不存在，使，故對；對于B，若為實數(shù),則的輻角為或,故B錯；對于C，由,則的取值為;.故,故C對;對于D，當(dāng)r=1時,則輻角為0或時,則輻角為0或；當(dāng)時,則輻角為或；若為整數(shù)，則的輻角可以為（3個加1個0），故,故D對;故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點，若，則___________.〖答案〗〖解析〗由拋物線準(zhǔn)線為，圓的圓心為，半徑，則圓心到準(zhǔn)線的距離，則，解得.13.若函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，不具備單調(diào)性，當(dāng)時，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，因為在上是單調(diào)遞增的，所以在上不可能單調(diào)遞減，所以不成立，于是.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，因為，所以時，，綜上所述，.故〖答案〗為：.14.已知正方體的棱長為，若在該正方體的棱上恰有個點，滿足，則的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)在、上時由、，即，即；當(dāng)在、上時為等腰三角形，，即，即；當(dāng)在、、、上時的取值范圍均一致，當(dāng)在上時，繞翻折，使平面與平面在同一平面內(nèi)，如圖所示，則，即，又在每條棱上運動時，所在位置與的值一一對應(yīng)，又，所以若滿足條件的點恰有個，則.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角B的大小，（2）若AB邊上的高為，求.解：（1）在中，，由正弦定理：，由可得，又由題意知，且B∈0,π.（2）在中過點作邊的高，交邊與，由題意可知，且和都是直角三角形．因為，所以是等腰直角三角形，所以，所以，由勾股定理，，，解得，，在中，由余弦定理得：，因此.16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為棱的中點，點在棱上，，且.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取棱靠近的三等分點，連結(jié)，則是的中點，因為為棱的中點，所以是的中位線，所以，因為，所以，設(shè)，因為，所以，作，連接，則，因為，所以．在中，由余弦定理得，．又面，平面，因為面，所以．又由平面平面，平面平面，平面得證.（2）解：由（1）知，．以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．令．設(shè)平面的法向量為，則即令，可得．連接，此時，，由余弦定理得，所以，所以，因為平面，所以，因為面，，所以面，故平面的一個法向量為．設(shè)平面和平面的夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求實數(shù)a的值；（2）探究在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，并說明理由.解：（1）由題可知，由處的切線方程為，把點代入得．（2）由（1）可知，令，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．，由零點存在定理可知，存在，使得，即當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，由零點存在定理可知在區(qū)間上有且僅有一個零點．當(dāng)時，；當(dāng)時，：在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，由零點存在定理可知，存在唯一零點，使得，綜上可得，在區(qū)間有且僅有兩個零點．18.已知橢圓的右焦點為F，點A，B在C上，且.當(dāng)時，.（1）求C的方程；（2）已知異于F的動點P，使得.（i）若A，B，P三點共線，證明：點P在定直線上：（ii）若A，B，P三點不共線，且，求面積的最大值.（1）解：當(dāng)時，由對稱性可知軸，，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）（i）證明：（方法一）點異于點，設(shè)Ax1,y1聯(lián)立方程，得，，由可知三點共線，且且，點在線段的延長線或反向延長線上，則，設(shè)Px,y，則，由，則，代入上式得，，把，代入上式得，命題得證．（方法二）點異于點，設(shè)Ax1,y三點共線，且且，點在線段AB的延長線或反向延長線上，，設(shè)Px,y，則，，，將①式減去②式，得，即，則，點在定直線上，命題得證．（ii）解：當(dāng)時，由（i）可知故解得不妨設(shè)A在第一象限，則將代入C的方程，得，，則直線的方程為，即，設(shè)，由可知，化簡得，點在以為圓心，3為半徑的圓上，且不在直線上，在直線上，面積的最大值為．19.對于任意正整數(shù)n，進行如下操作：若n為偶數(shù)，則對n不斷地除以2，直到得到一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為；若n為奇數(shù)，則對不斷地除以2，直到得出一個奇數(shù)，記這個奇數(shù)為.若，則稱正整數(shù)n為“理想數(shù)”.（1）求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；（2）已知.求m的值；（3）將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列，逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列，記的前n項和為，證明：.（1）解：以內(nèi)的質(zhì)數(shù)為，，故，所以為“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；，而，故不是“理想數(shù)”；和5為兩個質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；（2）解：由題設(shè)可知必為奇數(shù)，必為偶數(shù)，存在正整數(shù)，使得，即：，且，，或，或，解得，或，，或，即的值為12或18．（3）證明：顯然偶數(shù)"理想數(shù)"必為形如的整數(shù)，下面探究奇數(shù)"理想數(shù)"，不妨設(shè)置如下區(qū)間：，若奇數(shù)，不妨設(shè)，若為"理想數(shù)"，則，且，即，且，①當(dāng)，且時，；②當(dāng)時，；，且，又，即，易知為上述不等式的唯一整數(shù)解，區(qū)間]存在唯一的奇數(shù)"理想數(shù)"，且，顯然1為奇數(shù)"理想數(shù)"，所有奇數(shù)"理想數(shù)"為，所有的奇數(shù)"理想數(shù)"的倒數(shù)為，，即．廣東省六校2025屆高三八月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，解得，即，而，所以，故，即C正確.故選：C.2.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以隨機變量的均值,所以隨機變量的密度曲線關(guān)于對稱，所以，又，所以，因為，所以，故選：A.3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，又單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，無單調(diào)性，不成立；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，即在和上單調(diào)遞增，所以，則，即；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，即在和上單調(diào)遞減，不成立；綜上所述，故選：C.4.已知：，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，因為，所以，故，，，，所以，，所以.故選：C.5.在菱形中，若，且在上的投影向量為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，而是菱形，則是正三角形，于是，，因此在上的投影向量為，所以.故選：B.6.已知函數(shù)在處有極小值，則實數(shù)（）A.3 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，而函數(shù)在處有極小值，所以，故，解得或，當(dāng)時，，令f'x<0，，令f'故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處有極大值，不符合題意，排除，當(dāng)時，，令f'x<0，，令f'故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處有極小值，符合題意，故D正確.故選：D.7.將半徑為的鐵球磨制成一個圓柱體零件，則可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，由圓柱體零件的側(cè)面積最大可得圓柱體內(nèi)接與球，此時圓柱的軸的中點為球的球心，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以，由圓柱側(cè)面積公式可得，圓柱的側(cè)面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以可能制作的圓柱體零件的側(cè)面積的最大值為.故選：B.8.設(shè)雙曲線的左?右焦點分別為，過的直線與C的右支交于M，N兩點，記與的內(nèi)切圓半徑分別為.若，則C的離心率為（）A. B. C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗設(shè)，，其中，設(shè)與的內(nèi)心的橫坐標(biāo)分別為，過分別作、、的垂線，垂足分別為、、，則、、，又，且，則，，于是，同理，因此點、在直線上，又平分，平分，，則，，而，，則，即，解得，所以雙曲線的離心率.故選：D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知奇函數(shù)的定義域為，若，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對稱C. D.的一個周期為〖答案〗AD〖解析〗由函數(shù)為奇函數(shù)，則，A選項正確；又，即，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，B選項錯誤；由可知，即，函數(shù)一個周期為，C選項錯誤，D選項正確；故選：AD.10.已知等比數(shù)列的公比為，前n項和為，若，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗當(dāng)時，不可能作為公比，故排除，當(dāng)時，不滿足，故排除，設(shè)等比數(shù)列的首項為，因為，所以，因為，所以，，故，得到，解得也可得到，對左右兩側(cè)同乘后，未改變不等號方向，所以，綜上，故B錯誤，而，故A錯誤，由等比數(shù)列的性質(zhì)得該數(shù)列單調(diào)遞減，故成立，則C正確，因為，，所以，所以，，所以成立，故D正確.故選：CD.11.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，任意復(fù)數(shù)z都有三角形式：，其中r為復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，射線OZ為終邊的角（也被稱為z的輻角）.若，，則.從0，1，中隨機選出兩個不同的數(shù)字分別作為一個復(fù)數(shù)的實部和虛部，如此重復(fù)操作n次，可得到n個復(fù)數(shù)：記.（）A.不存在n，使得B.若為實數(shù)，則的輻角可能為C.的概率為D.為整數(shù)的概率為〖答案〗ACD〖解析〗由中任意選兩個不同數(shù)字分別作為實部和虛部，則模長可能值為，對于A,若,則，由253不是2與3的整數(shù)倍,故不存在，使，故對；對于B，若為實數(shù),則的輻角為或,故B錯；對于C，由,則的取值為;.故,故C對;對于D，當(dāng)r=1時,則輻角為0或時,則輻角為0或；當(dāng)時,則輻角為或；若為整數(shù)，則的輻角可以為（3個加1個0），故,故D對;故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點，若，則___________.〖答案〗〖解析〗由拋物線準(zhǔn)線為，圓的圓心為，半徑，則圓心到準(zhǔn)線的距離，則，解得.13.若函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)時，不具備單調(diào)性，當(dāng)時，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，因為在上是單調(diào)遞增的，所以在上不可能單調(diào)遞減，所以不成立，于是.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，因為，所以時，，綜上所述，.故〖答案〗為：.14.已知正方體的棱長為，若在該正方體的棱上恰有個點，滿足，則的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)在、上時由、，即，即；當(dāng)在、上時為等腰三角形，，即，即；當(dāng)在、、、上時的取值范圍均一致，當(dāng)在上時，繞翻折，使平面與平面在同一平面內(nèi)，如圖所示，則，即，又在每條棱上運動時，所在位置與的值一一對應(yīng)，又，所以若滿足條件的點恰有個，則.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角B的大小，（2）若AB邊上的高為，求.解：（1）在中，，由正弦定理：，由可得，又由題意知，且B∈0,π.（2）在中過點作邊的高，交邊與，由題意可知，且和都是直角三角形．因為，所以是等腰直角三角形，所以，所以，由勾股定理，，，解得，，在中，由余弦定理得：，因此.16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為棱的中點，點在棱上，，且.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：如圖，取棱靠近的三等分點，連結(jié)，則是的中點，因為為棱的中點，所以是的中位線，所以，因為，所以，設(shè)，因為，所以，作，連接，則，因為，所以．在中，由余弦定理得，．又面，平面，因為面，所以．又由平面平面，平面平面，平面得證.（2）解：由（1）知，．以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．令．設(shè)平面的法向量為，則即令，可得．連接，此時，，由余弦定理得，所以，所以，因為平面，所以，因為面，，所以面，故平面的一個法向量為．設(shè)平面和平面的夾角為，則，平面和平面夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求實數(shù)a的值；（2）探究在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，并說明理由.解：（1）由題可知，由處的切線方程為，把點代入得．（2）由（1）可知，令，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．，由零點存在定理可知，存在，使得，即當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，由零點存在定理可知在區(qū)間上有且僅有一個零點．當(dāng)時，；當(dāng)時，：在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，由零點存在定理可知，存在唯一零點，使得，綜上可得，在區(qū)間有且僅有兩個零點．18.已知橢圓的右焦點為F，點A，B在C上，且.當(dāng)時，.（1）求C的方程；（2）已知異于F的動點P，使得.（i）若A，B，P三點共線，證明：點P在定直線上：（ii）若A，B，P三點不共線，且，求面