專題158軸對(duì)稱圖形與等腰三角形章末拔尖卷（滬科版）

第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形章末拔尖卷【滬科版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023春·河南周口·八年級(jí)校聯(lián)考期中）用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角板以相等的邊為公共邊進(jìn)行不重疊拼圖，能拼成幾個(gè)軸對(duì)稱圖形（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行設(shè)計(jì)即可；【詳解】根據(jù)題意滿足條件的圖如下：，，，，總共有4個(gè)；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的設(shè)計(jì)，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)雙語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=120°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，BD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)E重合，則A．19° B．20° C．24° D．25°【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)，得∠B=∠EDB；根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得∠AED=2∠B；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得∠C【詳解】∵BD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，∴EB=∴∠B∴∠AED∵將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C恰好與點(diǎn)E∴∠C=∠AED=2∠B∵∠CDE∴∠ADC∵∠CAD∴60+90°-∴∠B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、三角形內(nèi)角和、三角形外角、補(bǔ)角、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱、三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)，從而完成求解．3．（3分）（2023春·山東聊城·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段AB，BC的垂直平分線l1，l2相交于點(diǎn)O．若∠OEB＝46°A．92° B．88° C．46° D．86°【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOC=2∠ABC【詳解】解：如圖，連接BO并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，l1與線段AB交于F∵l1，l2是AB、∴OA=OB，OB=∴∠A=∠∴∠AOP=2∠ABO∴∠AOC∵∠OEB＝46°∴∠ABC∴∠AOC故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形兩銳角互余，注意掌握輔助線的作法，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（3分）（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，其中能說(shuō)明AB>AC的是（

A．①③ B．①④ C．②④ D．③④【答案】B【分析】依次對(duì)各個(gè)圖形的作圖痕跡進(jìn)行分析即可．【詳解】

由圖①知AD=AC，∴AB>故圖①能說(shuō)明AB>由圖②知射線BD是∠ABC的平分線，不能說(shuō)明AB由圖③知CD⊥AB，不能說(shuō)明由圖④知DE是BC的垂直平分線，∴DB∵△ADC中AD∴AD即AB>故圖④能說(shuō)明AB>故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖法，和三角形三邊之間的關(guān)系．初中階段常考的尺規(guī)作圖有：做一條線段等于已知線段，做一個(gè)角的平分線，過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，做一條線段的垂直平分線．熟練掌握以上尺規(guī)作圖的方法，并且懂得其中的原理是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)校考期末）如圖，將ΔABC沿DE、EF翻折，使其頂點(diǎn)A、B均落在點(diǎn)O處，若∠CDOA．36° B．54° C．64°【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠A=∠DOE，∠B=∠EOF，可得∠DOF【詳解】解：延長(zhǎng)FO交AC于點(diǎn)M，∵將ΔABC沿DE，EF翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，∴∠A=∠DOE∴∠DOF∵∠A∴∠A+∠由三角形外角定理可知：∠DOF=∠MDO∴∠即：∠DOF∴∠C+72°=180°-∠∴∠C故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，外角定理，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理是本題的關(guān)鍵．6．（3分）（2023春·陜西榆林·八年級(jí)校考期中）如圖，E為AC上一點(diǎn)，連接BE，CD平分∠ACB交BE于點(diǎn)D，且BE⊥CD，∠A=∠ABE，A．1.2 B．1.5 C．2 D．3【答案】B【分析】由CD平分∠ACB，BE⊥CD可得CE=BC【詳解】解：∵CD平分∠ACB，BE∴CE=BC∴AE∵∠A∴BE∴BD故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，注意等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的運(yùn)用．7．（3分）（2023春·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，使以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)B的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三種情況討論．【詳解】∵直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1=50°，點(diǎn)A在直線a上，直線b上存在點(diǎn)B，∴當(dāng)OB=OA時(shí)，有兩個(gè)B點(diǎn)是B1、B2，OB1=OA時(shí)，∠OB1A=∠OAB1=12∠1=25°，OB2=OA時(shí)，∠OB2A=∠OAB2=12（180°∠1）當(dāng)AO=AB時(shí)，有一個(gè)B點(diǎn)是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；當(dāng)BO=BA時(shí)，有一個(gè)B點(diǎn)是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．∴使以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)B的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題，解決問題的關(guān)鍵是三角形的三邊兩兩相等都有可能，有三種可能情況，分類討論．8．（3分）（2023春·浙江臺(tái)州·八年級(jí)臺(tái)州市書生中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，∠EDB＝12∠ACB，BE⊥DE，DE與AB相交于點(diǎn)F，若BE＝4，則DF＝（

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于H，交AB于G，則可得DB=DH，從而BH=2BE，又可證明△HGB≌△FGD，則DF=BH，從而可求得DF的長(zhǎng)．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于H，交AB于G，如圖所示∵DH∥AC∴∠BDH=∠ACB∵∠EDB＝12∠∴∠EDB＝12∠∴∠EDB=∠EDH∵BE⊥DE∴∠DEB=∠DEH∴∠DBE=∠DHE∴DB=DH即△DBH是等腰三角形∴BH=2BE=2×4=8∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ACB=∠ABC=45°∴∠EDB=∠EDH=12∠ACB∵BE⊥DE∴∠EBD=90°∠EDB=67.5°∴∠HBG=∠EBD∠ABC=22.5°∴∠HBG=∠EDH∵∠BDH=∠ACB=∠ABC=45°∴GB=GD，∠BGD=90°在Rt△HGB和Rt△FGD中∠∴△HGB≌△FGD∴DF=BH=8故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等三角形是問題的關(guān)鍵．9．（3分）（2023春·河南周口·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，D為BC上的一點(diǎn)，∠BAD=28°，在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE、DE

A．124° B．102° C．92° D．88°【答案】C【分析】先證明△ABD≌△ACE得到∠B=∠ACE，∠CAE=∠BAD=28°，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠【詳解】解：∵∠DAE∴∠BAC∴∠BAD在△ABD和△AB=∴△ABD∴∠B=∠ACE∵AB∴∠B∴∠B∵CE∴∠B+∠BCE∴∠B∵AB∴△ABC∴∠BAC∵AD∴△ADE∴∠ADE∵∠DAC∴∠DOC故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤【答案】D【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPAASA，再根據(jù)∠【詳解】解：①∵△ABC和△∴AC=BC，CD=∴∠ACD在△ACD和△AC∴△ACD∴AD=BE，∠ADC②∠DCP在△CDP和△∠∴△CDP∴CP=∴∠CPQ∴∠QPC∴PQ∥AE，③與②的過(guò)程同理得：△ACP∴AP=③正確；④∵DE＞QE，且∴DE＞DP，故⑤∵∠ACB∴∠BCD∵△DCE是等邊三角形，∠∴BC∥∴∠CBE∴∠AOB∴⑤正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分線CF與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)O，連接OB

【答案】72°/72度【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠OBC=∠OCB，由角平分線的定義可得∠【詳解】解：∵OE垂直平分BC∴OB∴∠OBC∵CF平分∠∴∠ACF∵∠A∴∠A∵∠A=52°，∴∠ACF∴∠ACB故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理求解∠ACF12．（3分）（2023春·重慶巫溪·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在邊AC，BC上，AB=AE=AD，DE=DC，若【答案】72【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DEC【詳解】解：∵∠C=42°，∴∠DEC∴∠ADE∵AE=∴∠AED∴∠AEC∴∠AEB∵AB=∴∠BAE故答案為：72．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DEC13．（3分）（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的中線，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，連接CF交BD于點(diǎn)E，若AB=CE=4，5

【答案】4【分析】過(guò)A點(diǎn)作AG∥CF交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證明利用AAS證明△ADG≌△CDE可得AG=CE，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證∠ABG=∠【詳解】解：過(guò)A點(diǎn)作AG∥CF交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

∴∠G∵BD是AC邊上的中線，∴AD=在△ADG和△∠G∴△ADG∴AG=∵CE=∴∠ABG∴∠ABG∴BF=∵AB=CE=4∴AF=3.2∴BF=∴EF=故答案為：45【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．（3分）（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)G在BC上，△BDG與△FDG關(guān)于直線DG對(duì)稱，DF與B交于點(diǎn)E，若DF∥AC，∠【答案】59【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠F=∠B=28°，∠DGB=∠DGF，利用平行線的性質(zhì)和對(duì)稱性質(zhì)求出∠EGF=62°【詳解】解：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠F=∠B∵DF∥∴∠DEB∴∠EGF設(shè)∠DGC=x∵∠DGC∴x+62+∴x=59∴∠DGC故答案為：59．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確求出∠EGF15．（3分）（2023春·四川成都·八年級(jí)期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí)，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是．【答案】∠【分析】根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠BAC=2∠BPC-180°；再根據(jù)三角形垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠【詳解】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∴∠PBC=1∴∠=180°-(1=180°-=180°-=90°+1即∠BAC如圖，連接AO．∵點(diǎn)O是這個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA∴∠OAB=∠OBA，∠∴∠AOB=180°-2∠OAB∴∠=360°-(180°-2∠OAB=2∠=2∠=2(2∠=4∠BPC故答案為：∠BOC【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的垂直平分線與角平分線，熟練掌握三角形的垂直平分線與角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2023春·寧夏銀川·八年級(jí)校考期末）在4×4的方格中有五個(gè)同樣大小的正方形如圖擺放，移動(dòng)其中一個(gè)正方形到空白方格中，與其余四個(gè)正方形組成的新圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，這樣的移法共有種．【答案】13【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，分別移動(dòng)一個(gè)正方形，即可得出符合要求的答案．【詳解】如圖所示：一共有13畫法，故答案為：13三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接AD、BE，延長(zhǎng)E交AD于(1)證明：△BEC(2)如果△DEC繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，并且0°<α<60°，那么β【答案】(1)見詳解(2)β不隨α的變化而變化，理由見詳解【分析】（1）可證BC=AC，EC=（2）可得∠CBE=∠CAD【詳解】（1）證明：∵△ABC和△∴BC=AC，∠ACB∴∠ACB∴∠BCE在△BEC和△BC=∴△BEC≌△ADC(（2）解：β不隨α的變化而變化，理由如下：∵△BEC∴∠CBE∵∠BOC∠AOF又∵∠BOC∴180°-∠CBE∴∠BCO∴β∴β不隨α的變化而變化．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2023春·陜西渭南·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，∠BAC=90°，AB=AC，BP平分∠ABC，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，線段(1)如圖1，若AM⊥BC，求證：(2)如圖2，若AM⊥BP，連接PM，求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線平分角，等角的余角相等，以及對(duì)頂角相等，得到∠AEP（2）證明△BEA≌△BEMASA，得到BA【詳解】（1）證明：∵BP為∠∴∠ABP∵∠BAC∴∠ABP∵AM∴∠BME∴∠CBP∴∠APB又∵∠BEM∴∠∴AE（2）∵AB=AC∴∠ABC∵BP平分∠∴∠ABP∴∠APB∵BE=BE∴△BEA∴BA=BM在△BPM和BA=∴△BPM∴PA【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，證明三角形全等．19．（8分）（2023春·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┏咭?guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

(1)如圖①，要在河邊l修建一個(gè)水泵站M，使MA=MB．水泵站(2)如圖②，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù)P，要求油庫(kù)P到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫(kù)P的位置？（請(qǐng)作出符合條件的一個(gè)）【答案】(1)見解析(2)見解析（答案不唯一）【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)和畫法得出即可；（2）根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，分別作出兩個(gè)內(nèi)角的平分線、相鄰兩個(gè)外角的平分線，共有四個(gè)點(diǎn)（作一個(gè)點(diǎn)即可）．【詳解】（1）如圖1所示：M點(diǎn)即為所求．

（2）如圖2所示（答案不唯一）．

【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與畫法，角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（8分）（2023春·福建福州·八年級(jí)校考期中）如圖所示，在RtΔABC中，∠BCA=90°，BD平分∠ABC，過(guò)點(diǎn)D作DE(1)連接CE，求證：BD垂直平分CE；(2)作AF平分∠BAC交BD于點(diǎn)F，連接CF、EF，求證：∠【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”先證DC=DE，再根據(jù)HL證明RtΔBCD≌RtΔBED，則可得BC=BE，由此得B、（2）先根據(jù)SAS證明ΔCBF≌ΔEBF，則可得∠FCB=∠FEB，由BD平分∠ABC，AF平分∠BAC，可得CF平分∠ACB，進(jìn)而可得∠FCB=∠FCA=∠FEB，由此可得【詳解】（1）∵BD平分∠ABC，∠BCA∴DC在RtΔBCD和RtΔCD=∴RtΔ∴BC∵DC=DE∴BD垂直平分CE（2）在ΔCBF和ΔEBF中，BC=∴ΔCBF∴∠FCB∵BD平分∠ABC，AF平分∴CF平分∠∴∠FCB∴∠FCA又∵∠FEB∴∠FCA∴∠CAB∵∠CAB∴∠CFE【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校考期末）如圖是由三個(gè)陰影的小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在網(wǎng)格圖中補(bǔ)畫一個(gè)有陰影的小正方形，使四個(gè)陰影的小正方形組成的圖形為軸對(duì)稱圖形．

【答案】見解析【分析】將圖形沿某一條直線對(duì)折，直線兩邊的圖形能完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，據(jù)此進(jìn)行作圖即可．【詳解】解：如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義網(wǎng)格作圖，理解定義是解題的關(guān)鍵．22．（8分）（2023春·福建龍巖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=AC，AD是中線，以AC為邊在AC右(1)如圖（1），連接BE，交AD于點(diǎn)F．①若∠BAC=8