上海市楊浦區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末模擬考試數(shù)學(xué)

楊浦區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期高二年級模擬質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.拋物線的焦點坐標(biāo)是______.2.直線的傾斜角大小是________．3.已知圓的方程是，則圓心的坐標(biāo)是________．4.平行直線及之間的距離是________．5.某射擊運(yùn)動員平時訓(xùn)練成績的統(tǒng)計結(jié)果如下：命中環(huán)數(shù)678910頻率0.10.150.250302如果這名運(yùn)動員只射擊一次，命中的環(huán)數(shù)大于8環(huán)的概率是________．6.如圖，一個圓錐形杯子，杯口半徑和杯子深度都是4厘米，如果將該杯子裝滿飲料，則可以裝________立方厘米．7.已知，，若，則________．8.同時擲兩顆骰子，則所得點數(shù)相等的概率為______．9.學(xué)校開展國防知識競賽，對100名學(xué)生的競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的成績都在[50，100]的范圍內(nèi)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，圖中x的值是________．10.在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，分別在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，則x+y+z＝__．11.已知數(shù)列是首項是1，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式是．設(shè)雙曲線的離心率為且，則當(dāng)________時，最大．12.早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖暅就提出：“冪勢既同，則積不容異”．如圖，拋物線C的方程為，過點（1，0）作拋物線C的切線l（l的斜率不為0），將拋物線C、直線l及x軸圍成的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體記作，利用祖暅原理，可得出幾何體的體積為________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第1314題每題4分，第1516題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.“”是“直線與直線互相垂直”（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件14.設(shè)a、b是兩條不同的直線，是一個平面，若且，則a、b的位置關(guān)系是（）．A.相交 B.平行 C.異面 D.不能確定15.已知事件與互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（）．A. B. C. D.16.如圖，已知正方體的棱長為1，點為棱的中點，點在正方形內(nèi)部（不含邊界）運(yùn)動，給出以下三個結(jié)論：①存在點滿足；②存在點滿足與平面所成角的大小為；③存在點滿足；其中正確個數(shù)是（）．A0 B.1 C.2 D.3三、解答題17.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為d，前n項和為．（1）已知，，求及d；（2）已知，，求．18.如圖，三棱柱中，，，垂直于平面．（1）求異面直線與所成角的大?。唬?）求點到平面的距離．19.某籃球特色學(xué)校調(diào)查學(xué)生投籃技能情況，請每個學(xué)生投籃5次并記錄進(jìn)球數(shù)，隨機(jī)抽取高一年級和高二年級各100名學(xué)生的進(jìn)球數(shù)作為樣本，結(jié)果統(tǒng)計如下（其中，）；進(jìn)球數(shù)012345高一人數(shù)42b4212高二人數(shù)311244337（1）請寫出高二年級樣本的中位數(shù)；（2）若高一年級樣本的平均數(shù)為，求的值；（3）在這200名學(xué)生中，高一高二年級各選取1人，若“至少有一個人的進(jìn)球數(shù)為2”的概率是，求的值；20.端午節(jié)吃粽子，用箬竹葉包裹而成的三角粽是上海地區(qū)常見的一種粽子，假設(shè)其形狀是一個正四面體，如圖記作正四面體ABCD，設(shè)棱長為a．（1）求證：（2）求箬竹葉折出的二面角的大??；（3）用繩子捆扎三角粽，要求繩子經(jīng)過正四面體的每一個面、不經(jīng)過頂點，并且繩子的起點和終點重合．請設(shè)計一種捆扎三角粽的方案，使繩子長度最短（不計打結(jié)用的繩子），請在圖中作出繩子捆扎的路徑，并說明理由．21.如圖，已知橢圓的方程為，點、分別是橢圓的左、右頂點，點的坐標(biāo)是，過點的動直線交橢圓于點、（點的橫坐標(biāo)小于點的橫坐標(biāo)）．（1）求橢圓焦點的坐標(biāo)；（2）是否存在常數(shù)，使為定值，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（3）當(dāng)設(shè)直線的斜率不為時，設(shè)直線與交于點．請?zhí)岢鲆粋€與點有關(guān)的問題，并求解該問題．（備注：本小題將根據(jù)提出問題的質(zhì)量及其解答情況進(jìn)行分層計分．）

楊浦區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期高二年級模擬質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)學(xué)科試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.拋物線的焦點坐標(biāo)是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求出焦點坐標(biāo)即可.【詳解】因拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點坐標(biāo)為，故答案為：.2.直線的傾斜角大小是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)傾斜角和斜率關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，因為，所以，故答案為:.3.已知圓的方程是，則圓心的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】【分析】將方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo).【詳解】圓的方程是，即，所以圓心的坐標(biāo)為.故答案為：4.平行直線及之間的距離是________．【答案】【解析】【分析】直接由兩平行線間的距離公式計算可得.【詳解】平行直線及之間的距離.故答案為：5.某射擊運(yùn)動員平時訓(xùn)練成績的統(tǒng)計結(jié)果如下：命中環(huán)數(shù)678910頻率0.10.150.250.30.2如果這名運(yùn)動員只射擊一次，命中的環(huán)數(shù)大于8環(huán)的概率是________．【答案】##【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式計算可得．【詳解】用頻率估計概率，可知這名運(yùn)動員只射擊一次，命中的環(huán)數(shù)大于8環(huán)的概率.故答案為：6.如圖，一個圓錐形杯子，杯口半徑和杯子深度都是4厘米，如果將該杯子裝滿飲料，則可以裝________立方厘米．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)圓錐的體積公式計算可得.【詳解】依題意該圓錐的高厘米，底面半徑厘米，所以其體積立方厘米，即杯子的容積為立方厘米．故答案為：．7.已知，，若，則________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，即可得到方程組，求出、的值，即可得解.【詳解】因為，且，所以，即，所以，解得，所以.故答案為：8.同時擲兩顆骰子，則所得點數(shù)相等的概率為______．【答案】【解析】【分析】求出同時擲兩顆骰子的基本事件數(shù)、及兩顆骰子的點數(shù)相等的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.【詳解】同時擲兩顆骰子包括的基本事件共種，擲兩顆骰子的點數(shù)相等包括的基本事件為種，故所求的概率；故答案為：9.學(xué)校開展國防知識競賽，對100名學(xué)生的競賽成績進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的成績都在[50，100]的范圍內(nèi)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，圖中x的值是________．【答案】0.030【解析】【分析】利用面積之和等于1即能解.【詳解】因為每個小矩形的面積就是頻率，所以面積之和等于1，即，解出.故答案為：0.030.10.在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，分別在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，則x+y+z＝__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算法則，以為基底表示出，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，BE，DF，所以．由，所以x＝﹣1，y＝1，z，x+y+z＝﹣1+1．故答案為：．11.已知數(shù)列是首項是1，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列的通項公式是．設(shè)雙曲線的離心率為且，則當(dāng)________時，最大．【答案】或【解析】【分析】依題意可得，，即可得到，再由求出，從而得到，令，利用作差法判斷的單調(diào)性，即可求出的最大項，從而得解.【詳解】依題意，，則，，所以，又，解得，所以，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，即，所以當(dāng)或時取得最大值，則當(dāng)或時最大.

故答案為：或12.早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖暅就提出：“冪勢既同，則積不容異”．如圖，拋物線C的方程為，過點（1，0）作拋物線C的切線l（l的斜率不為0），將拋物線C、直線l及x軸圍成的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體記作，利用祖暅原理，可得出幾何體的體積為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，切線方程為，Ω的水平截面為圓環(huán)，外半徑為，內(nèi)半徑為，故截面面積，利用祖暅原理，可以構(gòu)造一個下底面半徑為1，高為4的圓錐．Ω與圓錐的體積相等，直接用圓錐的體積公式求V．【詳解】設(shè)切線方程為x＝ky+1，代入y＝x2，得kx2﹣x+1＝0，由＝1﹣4k＝0，得，故切線方程為，且切點坐標(biāo)為過點（0，t）（0≤t≤1）作Ω的水平截面，截面為圓環(huán)，當(dāng)y＝t時，代入得截面圓環(huán)外半徑，當(dāng)y＝t時，代入y＝x2得截面圓環(huán)內(nèi)半徑，截面圓環(huán)面積為．為了截出面積為的圖形，可以構(gòu)造一個下底面半徑為1，高為4的圓錐PO，圓錐及其軸截面如下圖：其中,，在距離底面為t的處作底面的平行截面，設(shè)此時截面半徑為r0，，即，解得，此截面的面積為，與截面圓環(huán)面積相同，圓錐體積為，所以的體積為.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第1314題每題4分，第1516題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.“”是“直線與直線互相垂直”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】由兩直線互相垂直可得，求解可得結(jié)論.【詳解】由直線與直線互相垂直，可得，解得或，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.14.設(shè)a、b是兩條不同的直線，是一個平面，若且，則a、b的位置關(guān)系是（）．A相交 B.平行 C.異面 D.不能確定【答案】D【解析】【分析】由正方體模型即線面平行的性質(zhì)易判斷a、b的位置關(guān)系.【詳解】由正方體的模型可得若且，則a、b的位置關(guān)系可能平行，也可能相交，也可能異面，故a、b的位置關(guān)系不能確定.故選：D.15.已知事件與互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件及所給條件求出，即可求出，從而得解.【詳解】因為事件與互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，，解得，，則．故選：C．16.如圖，已知正方體的棱長為1，點為棱的中點，點在正方形內(nèi)部（不含邊界）運(yùn)動，給出以下三個結(jié)論：①存在點滿足；②存在點滿足與平面所成角的大小為；③存在點滿足；其中正確的個數(shù)是（）．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用空間向量法一一計算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，則，若，則，解得，所以存在點滿足，故①正確；因為，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)與平面所成角為，，則，令，，則，所以，令，，則，所以，所以存在點滿足與平面所成角的大小為，故②正確；因為，，所以，所以，所以存在點滿足，故③正確.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)計算.三、解答題17.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為d，前n項和為．（1）已知，，求及d；（2）已知，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式求解.【小問1詳解】解得：【小問2詳解】解得：18.如圖，三棱柱中，，，垂直于平面．（1）求異面直線與所成角大??；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值，即可得解；（2）求出平面的法向量，由距離公式計算可得.【小問1詳解】因為，垂直于平面，如建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則，又，所以，即異面直線與所成角為；【小問2詳解】因為，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點到平面的距離.19.某籃球特色學(xué)校調(diào)查學(xué)生投籃技能情況，請每個學(xué)生投籃5次并記錄進(jìn)球數(shù)，隨機(jī)抽取高一年級和高二年級各100名學(xué)生的進(jìn)球數(shù)作為樣本，結(jié)果統(tǒng)計如下（其中，）；進(jìn)球數(shù)012345高一人數(shù)42b4212高二人數(shù)311244337（1）請寫出高二年級樣本的中位數(shù)；（2）若高一年級樣本的平均數(shù)為，求的值；（3）在這200名學(xué)生中，高一高二年級各選取1人，若“至少有一個人的進(jìn)球數(shù)為2”的概率是，求的值；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義求解；（2）利用平均數(shù)的定義得到關(guān)于、的方程組，解得即可；（3）利用獨立事件的概率乘法公式求解．【小問1詳解】因為高二年級進(jìn)球數(shù)不超過個的人數(shù)為人，不超過個的人數(shù)為人，所以高二年級樣本的中位數(shù)為個；【小問2詳解】因為高一年級樣本的平均數(shù)為3.2，所以，即，又因為，所以，聯(lián)立方程，解得，即的值為；【小問3詳解】由題意可知，高一人中進(jìn)球數(shù)為的有人，則隨機(jī)抽一人進(jìn)球數(shù)為的概率為；高二人中進(jìn)球數(shù)為的有12人，則隨機(jī)抽一人進(jìn)球數(shù)為的概率為，所以“至少有一個人的進(jìn)球數(shù)為”的概率，解得．20.端午節(jié)吃粽子，用箬竹葉包裹而成的三角粽是上海地區(qū)常見的一種粽子，假設(shè)其形狀是一個正四面體，如圖記作正四面體ABCD，設(shè)棱長為a．（1）求證：（2）求箬竹葉折出的二面角的大??；（3）用繩子捆扎三角粽，要求繩子經(jīng)過正四面體的每一個面、不經(jīng)過頂點，并且繩子的起點和終點重合．請設(shè)計一種捆扎三角粽的方案，使繩子長度最短（不計打結(jié)用的繩子），請在圖中作出繩子捆扎的路徑，并說明理由．【答案】（1）證明見詳解.（2）（3）路徑、理由見詳解.【解析】【分析】（1）設(shè)中點為，連接、，通過線面垂直判定定理證明面，即可證明；（2）由二面角定義知即為所求二面角，利用余弦定理進(jìn)行求解即可；（3）將四面體展開，即可判斷過四個面的最短距離.【小問1詳解】設(shè)中點，連接、,如下圖所示：為正四面體，，交于點，平面，面，面，.【小問2詳解】，即為二平面的夾角.為等邊三角形，，，.【小問3詳解】正四面體展開圖如下圖所示：題意要求繩子經(jīng)過正四面體的每一個面、不經(jīng)過頂點，并且繩子的起點和終點重合，使繩子長度最短，如圖可知取兩邊中點連線即可達(dá)成要求，此時繩子最短.具體路徑如下圖所示：21.如圖，已知橢圓的方程為，點、分別是橢圓的左、右頂點，點的坐標(biāo)是，過點的動直線交橢圓于點、（點的橫坐標(biāo)小于點的橫坐標(biāo)）．（1）求橢圓焦點的坐標(biāo)；