2020-2021學(xué)年高二年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末仿真模擬必刷卷06（人教A版2019解析版）

2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末仿真必刷模擬卷【人教A版2019】

期末檢測卷06

注意事項：

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共23題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

TT

1.在△ABC中，NACB=AC=BC,現(xiàn)將△ABC繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)至△P8C,設(shè)二面角P-BC-A的

2

大小為。，與平面ABC所成角為a,PC與平面以2所成角為0,若0<。<口，則（）

TT-11TT

A.a>0B.B<0C.0<a<—D.—<R<—Z

442

【解答】解：如圖,

△48C為等腰直角三角形，AC=BC,將△A8C繞8c所在直線旋轉(zhuǎn)至△P8C,則PCL8C,

可得8C_L平面網(wǎng)C,...二面角P-8C-A的大小Q=ZACP,

PB是平面ABC的一條斜線，則PC與平面ABC垂直時，PB與平面ABC所成角最大，則a的

TT

范圍為（0,—故C正確；

4

此時a<0,故4錯誤；

當(dāng)PC與平面4BC垂直時，三棱錐C-出8滿足C4_LCB,CA1.CP,CBS.CP,CA=CB=CP,

則PA=PB=AB,設(shè)4c=8C=1,則PA=PB=AB=?C在平面PAB的射影為的中心,

求得。/>=返，即PC與平面PAH所成角p的余弦值cos0=返〉注,則p<—,故D錯誤;

3324

當(dāng)。無限接近o時，G無限接近？L,p>e,故B錯誤.

綜上，正確的選項是c

故選：c.

【知識點】二面角的平面角及求法

2.如圖，在矩形A8CQ中，AB=2,BC=\,E、N分別為邊AB,BC的中點，沿QE將△AQE折起，點A

折至A|處（A|與A不重合），若M、K分別為線段A。，AC的中點，則在折起過程中，（）

Ai

A.OE可以與AC垂直

B.不能同時做到MN〃平面AiBE且BK〃平面AQE

C.當(dāng)時，MML平面4QE

D.直線AC、BK與平面BCQE所成角分別為仇，92,0,,必能夠同時取得最大值

【解答】解:

Ax4

對于A,連接EC,假設(shè)DE±AtC,又,.?QE_LEC,平面A^EC^DEVA^E,而4EO=45°,

?'.A錯誤；

對于8,取。E,QC中點G,F,連接GM,GN,FK,FB.：.GM//A}E,GN//EB,FK//A{D,

BF//DE.IlA}BE//^iliGMN,平面FK8〃平面AQE,故能同時做到MN〃平面A18E且

8K〃平面A|OE.錯誤；

對于C,連接ME,EN,當(dāng)MVLLAQ時，MN2=DN2-DM2=CD2+CN2-DM2=CD2=4,

而ME2=EN2=且，'MN與ME不垂直，即MN不垂直平面AQE,r.C錯誤；

對于。，在以O(shè)E為直徑球面上，球心為G,，A|軌跡為△Ap4F外接圓（A與不重合）,

連接EC,取EC中點T連接7K,TB,

??TK=^-'TB。，，NKTB=135°=BK口苫，

直線4C、8K與平面8COE所成角取得最大值時，點4到平面8CDE的距離最大.正確.

故選：D.

【知識點】直線與平面所成的角、直線與平面垂直

3.如圖所示，在正方體ABCQ-481CQ1中，側(cè)面對角線AB”BG上分別有一點E,F,且BjE=G尸，則

直線EF與平面A8CD所成的角的大小為()

C.45°D.30°

【解答】解：以。為原點，D4為x軸，ZX7為y軸，￡>"為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體中棱長為2,設(shè)E,尸分別為側(cè)面對角線8。的中點,

則E(2,1,1),F(1,2,1),

麗=(-1,1,0),平面A8C3的法向量：=(0,0,1),

設(shè)直線EF與平面ABCD所成的角的大小為6,

1n

則sin9=，Jj、'J=0,

IEFI-InI

.,.9=0°.

...直線EF與平面A8CC所成的角的大小為0°.

故選：A.

【知識點】直線與平面所成的角

4.已知。為坐標(biāo)原點，OM：?+(y-1)2=1,QN；？+(y+3)2=9,4,8分別為0M和G)N上的動點，

則△A0B面積的最大值為()

A.B.C.373D.95/3

【解答】解：如圖，設(shè)NB0N=。，過點M作30延長線的垂線，垂足為O,與OM的一個交點為A；

則4。為0M上的點到直線8。的距離的最大值，這時相對于每一個確定的。8,ZXAOB的面積

最大.

又NC8O=90°,0C=6,所以O(shè)B=6cos。.

又NM0D=NC0B,所以/MOO=8.

又0M=l,所以MO=sin。，所以AD=l+sin。，

所以SAAOB=LO8XAQ=JLX6COSOX(l+sin0)=3(cos0+cos0sin0)=3(cos0+—sin20).

222

設(shè)y=cos0+^sin20,

則y'=-sin9+cos20=l-sin。-2siif0=(1-2sin0)(l+sin0),

故當(dāng)sinO=2，即。=30°時，y最大，最大值為3返.

24

所以△AOB面積的最大值為2返.

4

故選：B.

【知識點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定

5.已知點尸為圓O：W+y2=i上一個動點，o為坐標(biāo)原點，過P點作圓。的切線與圓0］：?+y2-2x-Sy

19相交于兩點A,B,則空的最大值為()

PB

A.3+2A/2B.5C.3-*V7D..14+：返

3

【解答】解：作交A8于M,連接0P,則。尸_LA8,

設(shè)QM=x,則BM=A￡H，MP=V17-(X-1)2

則PA=mM=_

令mf/36-x2.n=V17-(x-l)2,

PBm-n]_IL

m

?n__17-（x-l）2=L2（x-10）

由題意知二■€（o,1），

m二Vlh丑FT

,當(dāng)且僅當(dāng)t=-8等號成立;

.PAm

"PB

”黑言=3+2正

故選：A.

【知識點】直線和圓的方程的應(yīng)用

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓G：f+y2=4,圓。2：f+y2=6,點〃（],0）,動點48分別在圓G和

圓。2上，且N為線段A8的中點，則MN的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：設(shè)4（%1，乃）、B（如52），則|A5『=（必-即）2+（力-M）2=1。-2（由應(yīng)+力力）.

???-2<i<2,MALMB,

，（X|-L力）*（^2-1,、2）=0，即（X|-1）（即-1）+力）'2=0，

=

^xix2+y\y2X[+x2-1，

...|AB『=10-2（X1+X2-1）=12-2（制+必）?

設(shè)A8中點N（M泗），則|A8『=l2-4xo，

..（2X0-X1+X2

，

2y0=y1+y2

**?4（x（）~+y（）~）=10+2（為歷+丫仍）=10+2（司+檢-1）==8+4x（）,

即（Xo--）2W=—>

24

:,點N（即，然）的軌跡是以（［，0）為圓心、半徑等于W的圓,

22

二馬的取值范圍是［一L,2J,.,.4^|AB|2^20,

2

的范圍為［2,2遍則陽川=之依8|的最小值為1.

故選：A.

【知識點】直線與圓的位置關(guān)系

22

7.已知雙曲線二-、=1的左、右焦點分別為Q、F2,過F2且與x軸垂直的直線/與雙曲線的兩條漸近線

4b2

分別交于A、8兩點，|AB|=3優(yōu)，M（4,1）,若雙曲線上存在一點P使得|PM+|P&|Wf,則r的最小值

為（）

A.572B.加C.W^+4D.W^-4

【解答】解：雙曲線的左、右焦點分別為Q（-c,0）,F2（c,0）,

漸近線方程為y=±±x，

a

令X=C,解得y=±k￡,

a

可得區(qū)，

a

|AB|=3加,

即有里2=3遙，由4=2,c2=a2+/;2,

a

解得。=巡，c=3,

即有雙曲線的方程為止_式=1,

45

由題意可知若「在左支上，由雙曲線的定義可得|PF2l=2a+|PQ|,

+4=2+4

\PM\+\PF2\=\PM\+\PF{1+2〃NlV（4+3）+1=5揚4,

當(dāng)且僅當(dāng)M,P,Q共線時，取得最小值4+5圾；

若P在右支上，由雙曲線的定義可得干尸2尸1尸川-2a,

|PM+|PF2l=|PM+『Fil-2a|MF1|-4=572-4.

當(dāng)且僅當(dāng)M,P,Q共線時，取得最小值5&-4.

綜上可得，所求最小值為5M-4.

【知識點】雙曲線的性質(zhì)

8.點A、8為橢圓E：鼻+^=1（2>1>>0）長軸的端點，。、￡）為橢圓后短軸的端點,動點“滿足^^-=2，

a2b2iMBl乙

記動點M的軌跡為曲線「，若曲線「上兩點Mi、此滿足△MAS面積的最大值為8,△MzC。面積的最

小值為1,則橢圓的離心率為（）

A.返B.返C.返D.返

3322

【解答】解：由題意可得A-a,0),B(m0),C(0,b),D(0,-b),設(shè)例(x,y),

M=2(得Y(x+a)2+y

皿I7(x_a)2+y2

整理可得，x2+y2_10a^+a2=Qi

3

即（x-（衛(wèi)）22二兇式，是以E（顯，0）為圓心，以至為半徑的圓,

'3'丫933

結(jié)合圖象可知，當(dāng)M（旦,土絲）時，△AM8面積取得最大值工X2aX全_=8,

3323

當(dāng)M位于如圖Mi{—a,0）時,△MCO面積取最小值上X2i>xLz=l,

323

.??T，

―0-372

-b14’21,

,=c_V3

a2

故選：C.

【知識點】橢圓的性質(zhì)

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1+L+L+…+」匚＞止2(〃22,〃eN+)的過程中，由〃=k推導(dǎo)〃=k+l時,

n2

232

不等式的左邊增加的式子是()

A

-2W

B.—p—

2k+l

C.--~F—-~~F…+--—

2k+l2k+22k+k

D.―--+—-~F-+——

2k+l2k+22k+1

【解答】解：當(dāng)〃=Z時，左邊=1總總+?,卡

當(dāng)九=女+1時，左邊=1總總十

…蘇2卜+」…

兩式相減得：.+…十―e-,

2k+l2kH

故選：D.

【知識點】數(shù)學(xué)歸納法

10.設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S〃，公差為已知〃3=12,512>0,?7<0,則（)

A.〃6>。

B.-^<d<-3

C.S“<0時，"的最小值為13

s

D.數(shù)列｛」｝中最小項為第7項

【解答】解：V5i2>0,〃7<0,

12(&g+a??)

/----------_—>0,a^6d<0.

，恁+田>。，恁>0?

.??2〃1+114>0,由+5d>0,

又,?*ci2=ci\+2d=12,

-3.〃i>0.

7

_13(ai+a13)

5|3~-2―=13。7<0?

??局V0時,〃的最小值為13.

sssS

數(shù)列1｝中，“W6時，上>0,7<九<12時，上VO,kN13時，上>0.

anananan

s

對于：時，上V0.&>0,但是隨著"的增大而減小；%<0,

an

s

但是隨著〃的增大而減小，可得：上VO,但是隨著〃的增大而增大.

s

.?.〃=7時，上取得最小值.

an

綜上可得：ABCD都正確.

故選：ABCD.

【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)

11.已知函數(shù)=e*+asiar,則()

A.當(dāng)a--1時，/（x）在（0,+°°）上單調(diào)遞增

B.當(dāng)a=-1時，/（x）在（0,/（0））處的切線為x軸

C.當(dāng)4=1時，/（X）在（-TT,0）存在唯一極小值點X0，且<0

D.對任意a>0,/（X）在（-TT,+8）上均存在零點

［解答］解：當(dāng)a=-1時，f(JC)=e'-siar,f(x)=ex-COSJC.

當(dāng)xe(0,+8)時，f(x)>0恒成立，f(JC)在(0,+8)上單調(diào)遞增，故A正確；

f'(0)=e°-cos0=l-1=0,而/(0)=e"-sinO=l,

/(x)在(0,/(0))處的切線為y=l,故B錯誤；

當(dāng)a=l時，,f(x)=e*+sinx(-/'(x)=e*+cosx,f"(x)=e*-sinx>0恒成立，

則尸(x)單調(diào)遞增，

3k汗

又，(-=e~~+cos(--^)<0,f(-?)=)工->0，故/(X)存在唯一

極值點，

不妨設(shè)為x°e(-32L,-匹)，則/(沏)=0,即eX°+cosxc=0，

420

f(x0)=e'0+sinxo=sinLT()-cosx()=J^sin(x<)-6(-1,0),故C正確；

對于選項。，f(x)=/+〃sinx,xE(-m+8),令f(x)=0,即/+asiru=0,

當(dāng)x=E,%>-1且長Z時，顯然沒有零點；

令/(x)=-產(chǎn)，F(xiàn)(x)=e-cosx-sinx),令尸(x)=0,解得工

2

sinxsinxsinx

=A2L,-3,k€Z,

4

：.xe(-n+ht,--JT+kn)時，尸(x)單調(diào)遞減，.隹(旦兀+k兀，Air)時，F(xiàn)(x)單調(diào)

44

遞增，

33

QnT一一"'JT江"—11'JT

尸(外有極小值/(出正+卜兀)=&e4>V2e4-

xE(hr,工兀+Kr)時，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，xE(―JT+kJV?n+Kr)時，f(x)單調(diào)單調(diào)遞減，

44

1—JT-ftTT-LTt

尸(x)有極大值/(卷兀+k;l)=-&24<-^/264，故選項。錯誤.

故選：AC.

【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

12.已知函數(shù)/(x)=△g(x)=l吟V的圖象與直線丫=〃，分別交于A、8兩點，則()

A.|AB|的最小值為2+/”2

B.予"使得曲線/(x)在A處的切線平行于曲線g(x)在8處的切線

C.函數(shù)/(尤)-g(尤)+機(jī)至少存在一個零點

D.力〃使得曲線/(x)在點A處的切線也是曲線g(x)的切線

1JTl

【解答】解：令/'(X)=ex=nh得x=bmi,令g(x)=lrr|■玲=ir得x=2e?、

1

m—

2

由圖象可知，1ABi=2e-lnm-其中根>0，

AJR—1

令h(m)=2e2-1皿，則h'(m)=2e

則函數(shù))，=〃(，")單調(diào)遞增，且h‘(y)=0-

當(dāng)0<m<2時，/?'(w)<0,當(dāng)m>1時，h'(m)>0.

22

1

二函數(shù)h(m)=2e'-lnm在(°，/)上單調(diào)遞減，在&上單調(diào)遞增,

=-,

?4|AB|min=h(Y)2ln-y=2+ln2A選項正確；

(x)=ex,g(x)=lrr|?總，貝Y(x)=ex,g'(x)=—1

曲線)，=/(x)在點A處的切線斜率為/Unm)=m,

m—1I

曲線y=g(x)在點8處的切線斜率為g'(2e2)=~，-,

m-T

2e2

令f'(lnm)=g，(2emT)，即m—T，即2me1Tl2力，則焉滿足方程2mJ2",

m-7N

2e2

.??力”使得曲線y=/(x)在A處的切線平行于曲線y=g(x)在8處的切線，8選項正確；

構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)fTtFeX-lrr^+m可得F'(x)=e，—,

函數(shù)『(x)=e、」■在(0，+8)上為增函數(shù)，由于F，(―)=AAZ-2<0>F(1)=e-l>0,

xe

則存在t€(/，1)，使得F'(t)=et-^-=0>可得

當(dāng)0<x<r時，F(xiàn)(x)<0；當(dāng)》>/時，F(xiàn)(x)>0.

1=t

F(x)min=F(t)=e-ln^-+m-ye-lnt+m+ln27

1,c1>2j7*^+m+ln2—=y+ln2+n〉0,

一■—+t+m+ln2-^-

函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x)+,〃沒有零點，C選項錯誤;

設(shè)曲線(x)在點A處的切線與曲線y=g(x)相切于點C(n,g(〃))，

則曲線y=f(x)在點A處的切線方程為y-m=e1'""(x'Inm),即y—mx+m(I-Inm),

同理可得曲線y=g(x)在點C處的切線方程為ynlx+ln21」，

n22

1

m=-

nJ消去〃得m-(m-l)lnm+ln2卷=0,

m(l-lnm)=lny-^

令G(x)=x-(x-l)lnx+ln2卷’則G'=Tnx=[Tnn'

函數(shù)產(chǎn)G(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，VG'(1)=1>0,G，(2)=y-ln2<0,

則存在(1,2),使得G'(S)=---lns=O,且5=@'.

s

當(dāng)0<x<s時，G'(x)>0,當(dāng)x>s時，G'(x)<0.

函數(shù)產(chǎn)G(x)在(2,+8)上為減函數(shù)，：G⑵=尚>0,G(8)=^-201n2<0>

由零點存定理知，函數(shù)y=G(x)在(2,+8)上有零點，

即方程m-(m-1)1nm+1n2總=0有解?

機(jī)使得曲線y=/(x)在點A處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

故選：ABD.

【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上)

13.如圖，正方體ABC。-A/IGQI的頂點C在平面a上，若A1和AQ與平面a都成60°角，則AC與

平面a所成角的余弦值為.

【解答】解：設(shè)直線/過點4且垂直于a,則48與AN都與直線/夾角為30°,

連結(jié)8，由題意得△月山。是等邊三角形,

取BD中點E,由題意得AE可以承擔(dān)直線/的角色,

但同時與直線48、4。夾角為相等的直線，最小也要30°,

.?.此時直線/是唯一的，

由題意知AC與直線/（直線AE）的余弦值恰為AC與平面a所成角的正弦，

設(shè)正方體ABCD-ABICQI的棱長為2,

則4區(qū)={22+22+22=2近，CE=/j2,22=圾,八止=^（2加）2-（何）2=灰,

...設(shè)AC與平面a所成角為。，

則小」,小送2?2二）-2二,

2XAjCXAJE2X2V3X5/63

.??AC與平面a所成角的余弦值為：cos0=「（lp^=^.

故答案為：1.

3

【知識點】直線與平面所成的角

14.若函數(shù)￡&）=乂2-111卜|+駕瑟-+1［有且只有一個零點，A,8是。O：f+y2=-2機(jī)上兩個動點（。為坐

x"+l

標(biāo)原點），且而?麗=-1，若A,B兩點到直線/：3x+4y-10=0的距離分別為4,d2,則4+&的最大

值為

【解答】:函數(shù)f(x)=|X|+CpSX+n?/(-x)=f(x),

可得/(x)為偶函數(shù)，

/(x)有且只有一個零點，可得/(0)=0,

即為1+加=0,即加=-1,

則。O：f+y2=2,可設(shè)A(J^cosa,J^sina),B(J^cos0,J^sinB),

由0A*0B~2cosacosp+2sinasinp=2cos(a-p)=-1，

B|Jcos(a-p)="-,即2cos「——P-1=--f

222

可取cosa-8=■!.,

22

|W^cosa+4&sina-10|十|W^cosB+4點sinB-10|

可得d\+d2=

55

3A/2(COSCt+cosP)+4^2(sinCI.+sinP)

4

5

la+Ba-B「.a+pa-p

6V2cosgcos2-+8V2sin--—c°s—2-

5

a+B「a+B

“亞誓+a

當(dāng)sin（-?：P.+子）=-1時，%+必取得最大值4+圾.

故答案為：4+五.

【知識點】點到直線的距離公式

15.在△4BC中，角A,B,C所對的邊分別為小b,c,若△4BC的面積為返b,且4,8,C成等差數(shù)列,

2

則ac最小值為.

【解答】解：???/1、B、C成等差數(shù)列,

；.2B=A+C,

又：A+8+C=n,

,-.B=2L

3

?,^AABC-2ac2-2上

??“c=2。,

由余弦定理有:

b2=a2+c2-2accosBr

?(ac)2,_2,2、c

1?——+ac-a+c，2ac，

故填4.

【知識點】等比數(shù)列的通項公式

16.已知函數(shù)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=/nx+x2-1,則關(guān)于x的不等式/(2x-1)

?/(W+D>0的解集為_______________________________

【解答】解：函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，

①當(dāng)x>0時，/(x)=/nr+f-1,/(x)=L+2X>0.

可得函數(shù)/(x)單調(diào)遞增.

由/(I)=0,；.x>l時，/(x)>0；0cxVI時，f(x)<0.

②函數(shù)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，

：.f(0)=0.

x<0時，有以下結(jié)論：

當(dāng)-l<x<0時，f(x)>0./(-1)=0,當(dāng)x<-I時，f(x)<0.

可得：xWO時，f(x2+l)>0恒成立.

關(guān)于x的不等式/(2x-1)?/(f+1)>0.

x=0時，不等式化為：/(-1)/(1)=0>0,不等式不成立，舍去.

xWO時，不等式/(2x-(幺+1)>0<=>/,(2x-1)>0.

二-l<2x-1<0,或2x-1>1,

解得：0<x<L,或x>l.

2

綜上可得：關(guān)于x的不等式/'(公-1)T(X2+1)>0的解集為：(0,1)U(1,+8).

故答案為：(0,工)U(1,+8).

2

【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

三、解答題(本大題共7小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程

或演算步驟)

TT

17.已知四棱錐S-ABCQ的底面A8CQ是菱形，ZABC=—,SA，底面ABC。，E是SC上的任意一點.

3

(1)求證：平面平面S4C；

(2)設(shè)SA=A8=2,求點A到平面S8。的距離；

(3)在(2)的條件下，若BELSC,求8E與平面S4C所成角.

【解答】解：(1)證明：；SAJ_平面48CD,平面ABCO,

：.SA1BD,

?.,四邊形ABC。是菱形，：.AC±BD,

?.?4CnAS=A,ABDl￥fflSAC,

'：8Ou平面EBD,：.平面EBDA,平面SAC.

(2)設(shè)ACC8￡>=F,連結(jié)SF,則SF_L8。，

?：AB^2,四邊形ABCD是菱形，Z/1BC--,

3

；.AC=2,BD=2冊,：.AF^\,

??,SA=2,

?■-5F=A/AF2+AS2=V5,

SABDS4-XBDXSFJX2V3XQ亞’

二點A到平面SBD的距離為名區(qū).

5

(3)由(1)得8O_L平面SAC,二/夕石尸為8E與平面SAC所成角,

ABDA.SC,,;BELSC,；.SC_L平面8E。，

J?

J.SC.LEF,:.EF=X,

2

,:BF=M，:.tanNBEF=A

BE與平面SAC所成角為arctanA/6.

【知識點】點、線、面間的距離計算、直線與平面所成的角、平面與平面垂直

18.如圖，矩形ABCO所在的平面垂直于平面AEB,。為AB的中點，ZAEB=90°,

/￡48=30。，A8=2?,AD=3.

（1）求異面直線OC與OE所成角的余弦值;

（2）求二面角A-DE-C的正弦值.

【解答】解：（1）以。為原點，在平面A3E中過。作AB的垂線為x軸，為），軸，

過O作AD的平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

VZAEB=90°,ZEAB=30°,AB=273-AD=3.

.\B￡=J-AB=V3-C（0,M，3）,D（0,一遍,3）,A（0,-0）,E（—,孚,0）,

0C=（0,V3>3）,DE=（當(dāng)-3）,

22

設(shè)異面直線OC與OE所成角為0,

,——,1r

則cos8=12c?咆一=2=返,

10CI-IDEIV12-V188

.?.異面直線OC與DE所成角的余弦值為逅.

8

（2）VAD=（0,0,3）,DE=<y,-3）.DC=（O,273,0）,

設(shè)平面AOE的法向量ir=（x,y,z）,

m*AD=3z=0_

則4一—3SA/Q，取y=l,得ir=(-蟲，0),

m*DE=yx-^-^~y_3z=0

設(shè)平面DEC的法向量：=(x,y,z),

n*DC=2V3y=0

~33^3c八取z=l,得口=(2,0,1),

n?DEax+2y-3z=0

設(shè)二面角A-DE-C的平面角為e,

m，n

則|cos0|=lJ卓,

Iml-InIy?承＞疾

,.ill-強(qiáng)2=等

...二面角A-DE-C的正弦值為逗.

5

【知識點】異面直線及其所成的角、二面角的平面角及求法

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/：x-y+4=0和圓O：Ay2=4,P是直線/上一點，過點P作圓C

的兩條切線，切點分別為M,N.

(1)若PMLPN,求點尸坐標(biāo)；

(2)若圓。上存在點A,8,使得NAPB=60°,求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍;

(3)設(shè)線段MN的中點為Q,/與x軸的交點為T,求線段7。長的最大值.

【解答】解：(1)若PM1.PN,則四邊形尸MON為正方形，

則P到圓心的距離為62+22=2亞,

P在直線x-y+4=0上，設(shè)P(x,x+4)

故|OP|=4X2+(X+4)2=2&，解得X=-2,

故P(-2,2)；

(2)設(shè)P(x,x+4),若圓。上存在點A,8,使得NAP8=60°,

過一作圓的切線PC,PD,zera>60°,zero>30°,

在直角三角形△CPO中，V30°^ZCPO<90°,.,.A^sinZCPCXl,

即工式2<I,：.2<OP^4,

2、OP

.?.2Vjx2+(x+4)2W4,解得-4WxW0,

.?.點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為：［-4,0］；

xY+4Y2+(v+4)2

(3)設(shè)尸(如的+4),則以O(shè)P為直徑的圓的方程為(x得)2+(y-卜)2=」~J

化簡得X2-XQX-(XQ+4)y+y2=0,與W+丁=4聯(lián)立,

可得所在直線方程：x()x+(沏+4)y=4,

xox+(xo+4)y=4

聯(lián)立,'得(XQ2+4XQ+8)X2-4XQX-8XQ2-64X0-120=0'

x2+y2=4

2x。2XQ+8

二。的坐標(biāo)為(

xo+4xo+8x：+4x0+8

可得：Q點的軌跡為：(xd)2+(丫,)2=工，圓心C(-工，1),半徑R=返.其中原

222222

點(0,0)為極限點(也可以去掉).

22

由題可知7(-4,0),|TC\=^(-4+1.)+(-1.)=.

.?.畋咫四+/?=3后

線段T。氏的最大值為3&.

【知識點】直線與圓的位置關(guān)系

20.已知AABC的三個頂點A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓H.

(1)求圓”的方程；

(2)若直線/過點C,且被圓”截得的弦長為2,求直線/的方程.

(3)對于線段8H上的任意一點P,若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M,N,使得點M是線段

PN的中點，求圓C的半徑r的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意，A(-1,0),8(1,0),C(3,2),二48的垂直平分線是x=0,

VBC：y=x-l,8c中點是(2,1),

：.BC的垂直平分線是y=-x+3,

由(x=°,得到圓心是(0,3),.)=百5，

ly=-x+3

.?.圓”的方程是/+(y-3)2=10；

(2)?.?弦長為2,.?.圓心到/的距離”=3.

設(shè)/：y^k(x-3)+2,則7=」-.-+2]=3,.3=且，；./的方程y=2x-2；

歷3-3

當(dāng)直線的斜率不存在時，x=3,也滿足題意.

綜上，直線/的方程是x=3或y=^x-2；

3

(3)直線8”的方程為3x+y-3=0,設(shè)產(chǎn)("?，〃)(OW,wWl),N(x,y).

因為點M是點P,N的中點，所以M(匹曳，史上)，

22

(x-3)2+(y-2)2=r2

又M,N都在半徑為r的圓C上，所以，22>

(詈-3)2+(等-2)=r

222

m\(x-3)+(y-2)=r

即<,

.(x+m-6)2+(y+n-4)2=4r2

因為該關(guān)于x,丁