2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章函數(shù)應(yīng)用4.2實(shí)際問題的函數(shù)建模學(xué)案含解析北師大版必修1

PAGE§2實(shí)際問題的函數(shù)建模內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題．2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題.精確數(shù)據(jù)分析強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算嫻熟數(shù)學(xué)建模授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第71頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)一常見函數(shù)模型eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P120－130，思索并完成以下問題)(1)①斜率k的取值是如何影響一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的？②在冪函數(shù)模型的解析式中，α的正負(fù)如何影響函數(shù)的單調(diào)性？提示：①k＞0時(shí)直線必經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；k＜0時(shí)直線必經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減小．②當(dāng)x＞0，α＞0時(shí)，函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)是上升的，在(0，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)x＞0，α＜0時(shí)，函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)是下降的，在(0，＋∞)上為減函數(shù)．(2)①依據(jù)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型時(shí)主要依據(jù)函數(shù)的什么性質(zhì)？②數(shù)據(jù)擬合時(shí)，得到的函數(shù)為什么須要檢驗(yàn)？提示：①主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值增長速度的快慢．②因?yàn)橐罁?jù)已給的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，依據(jù)散點(diǎn)圖選擇我們比較熟識的、最簡潔的函數(shù)進(jìn)行擬合，但用得到的函數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，可能誤差較大或不切合客觀實(shí)際，此時(shí)就要再改選其他函數(shù)模型．學(xué)問梳理常見函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)(4)對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a＞0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx＜m，,cx＋dx≥m))學(xué)問點(diǎn)二解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟學(xué)問梳理利用函數(shù)學(xué)問和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時(shí)，一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：[自我檢測]1．今有一組數(shù)據(jù)，如下表所示：x12345y356.999.0111下列函數(shù)模型中，最接近的表示這組數(shù)據(jù)滿意的規(guī)律的一個(gè)是()A．指數(shù)函數(shù) B．反比例函數(shù)C．一次函數(shù) D．二次函數(shù)解析：畫出散點(diǎn)圖，如圖所示：視察散點(diǎn)圖，可見各個(gè)點(diǎn)接近于一條直線，所以可用一次函數(shù)表示．答案：C2．某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝2x D．解析：分裂一次后由2個(gè)變成2×2＝22(個(gè))，分裂兩次后變成4×2＝23(個(gè))，……，分裂x次后變成y＝2x＋1個(gè)．答案：D3．某汽車在一時(shí)間段內(nèi)速度v(km/h)與耗油量Q(L)之間有近似的函數(shù)關(guān)系：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27，則車速為________km/h時(shí)，汽車的耗油量最少．解析：Q＝0.0025v2－0.175v＋4.27＝0.0025(v2－70v)＋4.27＝0.0025[(v－35)2－352]＋4.27＝0.0025(v－35)2＋1.2075.故v＝35km/h時(shí)，耗油量最少．答案：35授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第71頁探究一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型[例1]某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)覺此商品的銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系：銷售單價(jià)x(元)30404550日銷售量y(件)6030150(1)在所給坐標(biāo)系中，依據(jù)表中供應(yīng)的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(x，y)對應(yīng)的點(diǎn)，并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，依據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價(jià)x為多少時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤．[思路點(diǎn)撥]依據(jù)(x，y)的關(guān)系→f(x)是一次函數(shù)→建立P的函數(shù)關(guān)系→利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．[解析]實(shí)數(shù)對(x，y)對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，由圖可知y是x的一次函數(shù)．(1)設(shè)f(x)＝kx＋b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60＝30k＋b，,30＝40k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝150.))∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50，檢驗(yàn)成立．(2)P＝(x－30)·(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500,30≤x≤50，∴對稱軸x＝－eq\f(240,2×－3)＝40∈[30,50]．當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí)，所獲利潤最大．方法技巧一次函數(shù)、二次函數(shù)均是重要的函數(shù)模型，特殊是二次函數(shù)模型在函數(shù)建模中占有重要的地位．利用二次函數(shù)求最值時(shí)要留意取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符．跟蹤探究1.某校高一(2)班共有學(xué)生51人，據(jù)統(tǒng)計(jì)原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元，若該班全體學(xué)生改飲某品牌的桶裝純凈水，經(jīng)測算和市場調(diào)查，其年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費(fèi)用，另一部分是其它費(fèi)用228元，其中，純凈水的銷售價(jià)x(元/桶)與年購買總量y(桶)之間滿意如圖所示關(guān)系．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a＝120時(shí)，若該班每年須要純凈水380桶，請你依據(jù)供應(yīng)的信息比較，該班全體學(xué)生改飲桶裝純凈水的年總費(fèi)用與該班全體學(xué)生購買飲料的年總費(fèi)用，哪一種更少？說明你的理由；(3)當(dāng)a至少為多少時(shí)，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水的年總費(fèi)用肯定比該班全體學(xué)生購買飲料的年總費(fèi)用少？解析：(1)設(shè)y＝kx＋b(k≠0)，∵x＝8時(shí)，y＝400；x＝10時(shí)，y＝320.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400＝8k＋b，,320＝10k＋b，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－40，,b＝720，))∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－40x＋720(x＞0)．(2)該班學(xué)生買飲料每年總費(fèi)用為51×120＝6120(元)．當(dāng)y＝380時(shí)，380＝－40x＋720，得x＝8.5，該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費(fèi)用為380×8.5＋228＝3458(元)，所以，飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用少．(3)設(shè)該班每年購買純凈水的費(fèi)用為P元，則P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3240，∴當(dāng)x＝9時(shí)，Pmax＝3240.要使飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用肯定比該班全體學(xué)生購買飲料的年總費(fèi)用少，則51a≥Pmax＋228，解得a≥68，故a至少為68元時(shí)全班飲用桶裝純凈水的年總費(fèi)用肯定比該班全體學(xué)生購買飲料的年總費(fèi)用少．探究二指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型[例2]某城市2009年底人口總數(shù)為100萬人，假如年平均增長率為1.2%，試解答以下問題：(1)寫出經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)y(萬人)與x(年)的函數(shù)關(guān)系；(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計(jì)算經(jīng)過多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年)．(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005)．[解析](1)2009年底人口總數(shù)為100萬人，經(jīng)過1年，2010年底人口總數(shù)為100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，經(jīng)過2年，2011年底人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，經(jīng)過3年，2012年底人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……所以經(jīng)過x年后，該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)x，所以y＝100×(1＋1.2%)x.(2)10年后該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)10≈112.7(萬人)．(3)由題意得100×(1＋1.2%)x＞120，兩邊取常用對數(shù)得lg[100×(1＋1.2%)x]＞lg120，整理得2＋xlg1.012＞2＋lg1.2，得x≥16，所以大約16年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人．方法技巧指數(shù)型函數(shù)模型：y＝max＋b(a＞0且a≠1，m≠0)，在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示．對數(shù)型函數(shù)模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a＞0且a≠1)，對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對數(shù)的運(yùn)算求解．跟蹤探究2.燕子每年秋天都要從北方飛到南方過冬，探討燕子的科學(xué)家發(fā)覺，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5log2eq\f(Q,10)，單位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．(1)計(jì)算：燕子靜止時(shí)的耗氧量是多少個(gè)單位？(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是80個(gè)單位時(shí)，它的飛行速度是多少？解析：(1)由題意知，當(dāng)燕子靜止時(shí)，它的速度為0，代入題目所給公式可得0＝5log2eq\f(Q,10).解得Q＝10，即燕子靜止時(shí)的耗氧量為10個(gè)單位．(2)將耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5log2eq\f(80,10)＝5log28＝15(m/s)，即當(dāng)一只燕子的耗氧量為80個(gè)單位時(shí)，飛行速度為15m/s.探究三分段函數(shù)模型[例3]某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)全部商品按標(biāo)價(jià)的80%出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費(fèi)滿肯定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：消費(fèi)金額(元)的范圍[188,388](388,588](588,888](888,1188]……獲得獎(jiǎng)券的金額(元)285888128……依據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重實(shí)惠，例如：購買標(biāo)價(jià)為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，然后還能獲得對應(yīng)的獎(jiǎng)券金額為28元．于是，該顧客獲得的實(shí)惠額為：400×0.2＋28＝108元．設(shè)購買商品得到的實(shí)惠率＝eq\f(購買商品獲得的實(shí)惠額,商品的標(biāo)價(jià)).試問：(1)購買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品，顧客得到的實(shí)惠率是多少？(2)當(dāng)商品的標(biāo)價(jià)為[100,600]元時(shí)，試寫出顧客得到的實(shí)惠率y關(guān)于標(biāo)價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)顧客購買標(biāo)價(jià)不超過600元的商品時(shí)，該顧客是否可以得到超過35%的實(shí)惠率？若可以，請舉一例；若不行以，試說明你的理由．[思路點(diǎn)撥]結(jié)合實(shí)例計(jì)算(1)；當(dāng)x∈[100,235)，[235,485]，(485,600]，求y與x的關(guān)系式；在(2)的基礎(chǔ)上計(jì)算每一段上的實(shí)惠率，分析是否達(dá)到35%.[解析](1)由題意，標(biāo)價(jià)為1000元的商品消費(fèi)金額為1000×0.8＝800元，故實(shí)惠額為：1000×0.2＋88＝288元，則實(shí)惠率為eq\f(288,1000)＝28.8%.(2)由題意，當(dāng)消費(fèi)金額為188元時(shí)，其標(biāo)價(jià)為235元；當(dāng)消費(fèi)金額為388元時(shí)，其標(biāo)價(jià)為485元；當(dāng)消費(fèi)金額為588元時(shí)，其標(biāo)價(jià)為735元．由此可得，當(dāng)商品的標(biāo)價(jià)為[100,600]元時(shí)，顧客得到的實(shí)惠率y關(guān)于標(biāo)價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0.2x,x)＝0.2，x∈[100，235，,\f(0.2x＋28,x)＝\f(28,x)＋0.2，x∈[235，485]，,\f(0.2x＋58,x)＝\f(58,x)＋0.2，x∈485，600].))(3)當(dāng)x∈(0,235)時(shí)，實(shí)惠率即為：20%；當(dāng)x∈[235,485]時(shí)，實(shí)惠率為：y＝0.2＋eq\f(28,x)，此時(shí)的最大實(shí)惠率為0.2＋eq\f(28,235)≈0.319＜35%.當(dāng)x∈(485,600]時(shí)，實(shí)惠率為：y＝0.2＋eq\f(58,x)，此時(shí)的實(shí)惠率y＜0.2＋eq\f(58,485)≈0.32＜35%；綜上，當(dāng)顧客購買不超過600元商品時(shí)，可得到的實(shí)惠率不會超過35%延長探究假如此人實(shí)際消費(fèi)1000元，問該人得到實(shí)惠額共多少元？解析：此人得到的實(shí)惠額為：eq\f(1000,0.8)×0.2＋128＝378元．方法技巧1.分段函數(shù)模型是日常生活中常見的函數(shù)模型．對于分段函數(shù)，一要留意規(guī)范書寫格式；二要留意各段的自變量的取值范圍，對于中間的各個(gè)分點(diǎn)，一般是“一邊閉，一邊開”，以保證在各分點(diǎn)的“不重不漏”．2．解決分段函數(shù)問題需留意幾個(gè)問題：(1)全部分段的區(qū)間的并集就是分段函數(shù)的定義域．(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，先要弄清自變量在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)取值，然后再用該區(qū)間上的解析式來計(jì)算函數(shù)值．(3)一般地，分段函數(shù)由幾段組成，必需留意考慮各段的自變量的取值范圍．跟蹤探究3.如圖所示，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD＝2，BC＝1，∠BAD＝45°，直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM＝x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域和值域．解析：如圖，過B，C分別作AD的垂線，垂足分別為H和G，則AH＝eq\f(1,2)，AG＝eq\f(3,2)，當(dāng)M位于H左側(cè)時(shí)，AM＝x，MN＝x，∴y＝S△AMN＝eq\f(1,2)x2,0≤x＜eq\f(1,2).當(dāng)M位于H，G之間時(shí)，y＝eq\f(1,2)AH·HB＋HM·MN＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,8)，eq\f(1,2)≤x＜eq\f(3,2).當(dāng)M位于G，D之間時(shí)，y＝S梯形ABCD－S△MDN＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(2＋1)－eq\f(1,2)(2－x)(2－x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－eq\f(5,4)，eq\f(3,2)≤x≤2.∴所求函數(shù)的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，0≤x＜\f(1,2)，,\f(1,2)x－\f(1,8)，\f(1,2)≤x＜\f(3,2)，,－\f(1,2)x2＋2x－\f(5,4)，\f(3,2)≤x≤2.))∴函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2]，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).探究四擬合函數(shù)模型的應(yīng)用[例4]環(huán)境污染已經(jīng)嚴(yán)峻危害人們的健康，某工廠因排污比較嚴(yán)峻，確定著手整治，一月時(shí)污染度為60，整治后前四個(gè)月的污染度如下表：月數(shù)1234…污染度6031130…污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又起先上升，現(xiàn)用下列三個(gè)函數(shù)模型從整治后第一個(gè)月起先工廠的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝eq\f(20,3)(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月數(shù)，f(x)，g(x)，h(x)分別表示污染度．問選用哪個(gè)函數(shù)模擬比較合理，并說明理由．[解析]用h(x)模擬比較合理．理由：因?yàn)閒(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.由此可得h(x)更接近實(shí)際值，所以用h(x)模擬比較合理．方法技巧對于此類實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是先建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，然后驗(yàn)證并結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答，這個(gè)過程就是先擬合函數(shù)再利用函數(shù)解題．函數(shù)擬合與預(yù)料的一般步驟是：(1)能夠依據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，描出數(shù)據(jù)點(diǎn)．(2)通過數(shù)據(jù)點(diǎn)，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線．假如全部實(shí)際點(diǎn)都落到了擬合直線或曲線上，滴“點(diǎn)”不漏，那么這將是個(gè)非常完備的事情，但在實(shí)際應(yīng)用中，這種狀況一般是不會發(fā)生的．因此，使實(shí)際點(diǎn)盡可能地勻稱分布在直線或曲線兩側(cè)，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了．(3)依據(jù)所學(xué)函數(shù)學(xué)問，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式．(4)利用函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)料和限制，為決策和管理供應(yīng)依據(jù)．跟蹤探究4.為了估計(jì)山上積雪溶化后對下游澆灌的影響，在山上建立了一個(gè)視察站，測量最大積雪深度xcm與當(dāng)年澆灌面積yhm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測資料，如下表所示.年序最大積雪深度x/cm澆灌面積y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點(diǎn)畫出澆灌面積y(hm2)隨積雪深度x(cm)改變的圖像；(2)建立一個(gè)能基本反映澆灌面積改變的函數(shù)模型y＝f(x)，并畫出圖像；(3)依據(jù)所建立的函數(shù)模型，求最大積雪深度為25cm時(shí)，可以澆灌的土地?cái)?shù)量．解析：(1)描點(diǎn)作圖如圖甲．甲乙(2)從圖甲中可以看到，數(shù)據(jù)點(diǎn)大致落在一條直線旁邊，由此，我們假設(shè)澆灌面積y和最大積雪深度x滿意線性函數(shù)模型y＝ax＋b(a≠0)．取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4，21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝ax＋b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21.1＝10.4a＋b，,45.8＝24.0a＋b，))用計(jì)算器可算得a≈1.8，b≈2.4.這樣，我們得到一個(gè)函數(shù)模型y＝1.8x＋2.4.作出函數(shù)圖像如圖乙，可以發(fā)覺，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與澆灌面積的關(guān)系．(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即當(dāng)最大積雪深度為25cm時(shí)，可以澆灌土地47.4hm2.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第74頁[課后小結(jié)]1．函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)