2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)期末壓軸課-全等三角形（解析版）

（難）2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)期末壓軸課

全等三角形（解析版）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.（2021?全國八年級專題練習(xí)）如圖，AABC中，ZBAC=60。，NB4c的平分線4。與

邊8c的垂直平分線例。相交于O,DEL回交A8的延長線于E,。尸，AC于尸，現(xiàn)有

下列結(jié)論：?DE=DF;@DE+DF=AD；（§）DMZEDF;@AB+AC=2AE,其

中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】

①由角平分線的性質(zhì)可知①正確；②由題意可知NE4O=NE4D=30。，故此可知

ED=\AD,DF：AD,從而可證明②正確；③若O0平分/成加，則N￡OM=60。,

22

從而得到NABC為等邊三角形，條件不足，不能確定，故③錯誤；④連接BD、DC,

然后證明AEBOwADFC，從而得到BE=FC,從而可證明④.

【詳解】

解：如圖所示：連接3。、DC.

①?.?4)平分NBAC,DELAB,DFVAC,

;.ED=DF.

，①正確.

(2)-.-ZE4C=60°,AO平分NBAC,

:.ZEAD=ZFAD=30P.

■.DEA.AB,

：.ZAED=90°.

???ZAED=90°,ZEAD=30°,

:.ED=-AD.

2

同理：DF=-AD.

2

:.DE+DF=AD.

.??②正確.

③由題意可知：NED4=/ADF=60。.

假設(shè)MD平分N￡Z/,則/EDW=60。,

又???ZE=NRWD=90。，

/.Z￡BM=120°.

/.ZABC=60°.

???ZABC是否等于60。不知道，

不能判定MD平分NEDF,

故③錯誤.

④???ZW是8c的垂直平分線，

DB=DC.

在RtABED和RIACFD中

[DE=DF

\BD=DC'

..RtABED=RtACFD.

：.BE=FC.

.\AB+AC=AE-BE-^-AF+FC

又?.?AE=AF,BE=FC,

:.AB+AC=2AE.

故④正確.

故選：c.

【點睛】

本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì),

掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?東北育才雙語學(xué)校）如圖，正方形A8C。中，點E為對角線AC上一點，

EFLDE交邊AB于F,連接。尸交線段AC于點延長￡>￡交邊BC于點。，連接

QF.下列結(jié)論：?DE=EF；②若AB=6,CQ=3,則AF=2;?ZAFD=ZDFQ.

④若AH=2,CE=4,貝ljA8=3五+后；其中正確的有（）個.

AFB

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】

連接8E,由“SAr可證△OCE絲△BCE,可得DE=BE,NCDE=NCBE,由補(bǔ)角的性

質(zhì)可得可證EF=BE,故判斷①，延長8C到G,使CG=A尸，連接

DG,由“SAS'可證△AOF絲△CQG,可得NAFC=NG,ZADF^ZCDG,DF=DG,

由“S4歹可證△尸絲△QOG,可得/Q=QG,NG=/DFQ,可判斷③，由勾股定理

可求AF=2,可判斷②,將^CDE繞點\順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADM,連接MH,由“SAS'

可證且△￡>￡〃，可得EH=MH,由勾股定理可求的長，即可求A8的長，

即可求解.

【詳解】

B

???四邊形A8CO為正方形,

:?CB=CD,NBCE=/DCE=45。,

在△BEC和△OEC中，

DC=BC

<ZDCE=ZBCE,

CE=CE

:?△DCEq/XBCE(SAS),

；.DE=BE,NCDE=/CBE,

：./ADE=/ABE,

VZ￡>AB=90°,Z￡)EF=90°,

???ZADE+NAFE=180°,

ZAFE+NEFB=180°,

???ZADE=ZEFB,

：.NABE=/EFB,

：.EF=BE,

：.DE=EF,故①正確；

VZD￡F=90°,DE=EF,

：.ZEDF=ZDFE=45°f

如圖：延長8c到G,使CG=AE連接OG,

在尸和△CDG中,

AD=CD

<NDAF=NDCG,

AF=CG

：./\ADF^/\CDG(SAS),

AZAFD=ZG1NADF=NCDG,DF=DG,

ZADF+NCOQ=90。-NEDQ=45。，

???ZCDG+/。。。=45。=ZGDQ,

:?/GDQ=NFDQ,

又?:DG=DF,DQ=DQ,

???△QO金△QOG(SAS),

:?FQ=QG,NG=/DFQ,

：.ZDFA=ZDFQ,故③正確；

VAB=6,CQ=3,

：.BQ=3,FB=6-AF,FQ=QG=3+AF,

'：FQ2=FB2+BQ2,

：.(3+AF)2=9+(6-AF)2,

：.AF=2,故②正確;

如圖：將4CDE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADM,連接MH,

：.XCDEqXADM,

，AM=CE=4,NOCE=ND4M=45。，/ADM=NCDE,DM=DE,

：.ZMAH=90°,ZADM+NADH=ZCDE+^ADH=45°=ZMDH,

又,：DH=DH,

：./\DMH烏/XDEH(SAS),

：.EH=MH,

:MH=>JAM2+AH2=J16+4=245,

：.EH=MH=2y/5,

.\AC=AH+EH+EC=6+275

；.AB=AC+母=36+回,故④正確；

故選：D.

【點睛】

本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰

直角三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法,

添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

3.(2021?全國八年級單元測試)如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC與80交

于點O,E為CD延長線上的一點，且CD=DE,連接BE分別交AC.AD于點f、G,

連接OG,則下列結(jié)論中一定成立的是()

@OG=yAB;②與AOEG全等的三角形共有5個；③四邊形8EG與四邊形OA4G

面積相等；④由點A、B、。、E構(gòu)成的四邊形是菱形.

A.①③④

B.①?

C.③

D.②③④

【答案】A

【分析】

由A4s證明MBGwAEDG,得出4G=OG,證出OG是A4CD的中位線，得出

OG=^-CD=^AB,①正確；先證明四邊形A8OE是平行四邊形，證出A489、ABCD

是等邊三角形，得出/1B=B￡>=A￡),因此OD=AG,得出四邊形ABDE是菱形，④正

確；由菱形的性質(zhì)得出AABGMADBGMAEDG,山SAS證明AABGfADCO,得出

A4BO=ACBO=AaX)=A4DO=ABAG=MDG=A￡DG,得出②不正確；由中線的性質(zhì)和菱

形的性質(zhì)可得5moe=%歡；，SMBC=S&DCE,可得四邊形OOEG與四邊形。SAG面積相等，

得出③正確；即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：???四邊形A8C3是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC1BD,

.-.ZBAG=ZEDG,MBO=\CBO=\CDO=AADO,

?：CD=DE,

AB=DE，

在A43G和ADEG中，

"BAG=NEDG

<ZAGB=NDGE,

AB二DE

:.MBG=/^EDG(AAS),

AG=DG,

.?.OG是A4CD的中位線，

:.OG=^CD=^-AB,①正確；

ABIICE,AB=DE,

四邊形是平行四邊形，

?.?ZBCD=Zfi4￡>=60°,

.-.MBD,ABC。是等邊三角形，

:.AB=BD=AD,ZODC=60°,

:.OD=AG,四邊形A3DE是菱形，④正確;

：.ADLBE,

由菱形的性質(zhì)得：AABGsADBGsA￡Z)G,

在AABG和ADCO中，

0D=AG

-ZODC=NBAG=60°,

AB=DC

:.MBG三MXXXSAS),

△ABONXCBOWACDOWMDOW&BAGNXBDGW&EDG,②不正確；

?：OB=OD,

一S&BOGS&00c,

??,四邊形AB0E是菱形，

S&ABG—S40c￡,

四邊形O￡>EG與四邊形O8AG面積相等，故③正確；

故選：A.

【點睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、

三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大.

4.(2021?宜興市實驗中學(xué)八年級月考)如圖，在“ABC中，是BC邊上的高，

ZBAF=ZCAG=90°,AB=AF,AC=AG.連接FG,交D4的延長線于點E,連接

BG,CF.則下列結(jié)論：①BG=CF；②BG工CF；③BC=2A￡；④EF=EG,其中

正確的有()

A.①②③B.?(2)@C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】

iWACAF^^GAB(SAS'),從而推得①正確；利用△及三角形內(nèi)角和與

對頂角，可判斷②正確；證明△AFM絲△BAO(A4S),得出FM=AD,ZFAM^ZABD,

同理AANG絲Z\CD4,得出NG=AO,則FM=NG,證明△FME絲Z\GNE(AAS).可得

出結(jié)論④，③正確.

【詳解】

解：?.?/B4F=/C4G=90°,

，ZBAF+ZBAC-ZCAG+ZBAC,即NC4F=NGA8,

y.,：AB=AF,AC=AG,

.'./^CAF^^GAB(SAS),

：.BG=CF,故①正確；

?.,△MC絲△BAG,

：.ZFCA=ZBGA,

又「BG與AC所交的對頂角相等，

：.BG與FC所交角等于/G4C,即等于90°,

：.BG±CF,故②正確；

過點F作FM±AE于點M,過點G作GNLAE交AE的延長線于點N,

：.ZFAM+ZBAD=90°,NFAM+NAFM=90°,

ZBAD=ZAFM,

又尸=A8,

A/\AFM^/\BAD(AAS),

：.FM=AD,NFAM=NABD,

同理△AVG絲△CD4,

：.NG=AD,AN=CD,

：.FM=NG,

\'FM±AE,NGLAE,

NFME=NENG=90°,

NAEF=NNEG,

；.4FME名/\GNE（AAS）.

:.EM=EN,EF=EG.故④正確.

BD+DC=BC=AM+AN=2AM+2ME=2AE,故③正確

故選：D.

【點睛】

本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線合一性質(zhì)與互余、對頂角,

三角形內(nèi)角和等幾何基礎(chǔ)知識.熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?全國）如圖，AABC中，AB=AC,ZBAC=a,點。在內(nèi)部，且使得

a

AABD=ABAD=--3O°.則ZAC。的度數(shù)為（）

A.c-30°B,c-60°C.30°D.不能確定

【答案】C

【分析】

如圖，在AABC內(nèi)作ZC4E=ABAD，且使得AE=4），連。旦CE,證明^ABD^ACE,

得到AACE為等腰三角形，再證明AADE為等邊三角形，推出AOCE為等腰三角形，由

三角形外角的性質(zhì)得出ZACD=|ZAED即可.

【詳解】

如圖，在AA8c內(nèi)作NC4E=NBAQ,且使得AE=4）,連DE,CE,

■在△4BO和AACE中,

AB=AC

-ZBAD=ZCAE,

AD=AE

:.^ABD=^ACE（SAS）,

???ZABD=ZBAD，

△ABO為等腰三角形，

，AACE為等腰三角形，

cc

VZCAE=ZBAD,/BAC=a,ZBAD=一一30°,

2

/.NDAE=ZBAC-Z.BAD一/CAE

”（130。卜330。）

=60°,

r.V4）E為等邊三角形，

:.DE=AE=CE,

???AOCE為等腰三角形，

延長CE交4）于尸點，

NAEF=NEAC+ZECA,

NDEF=NECD+NEDC,

:.NAED=NAEF+NDEF

=2ZACE+2ZDCE

=2（ZACE+ZDCE）

=2ZACD,

:.ZACD=-ZAED=-x60°=30°,

22

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了三角形的綜合問題，涉及等腰三角形的等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，有一定難度，根據(jù)題意做出適當(dāng)?shù)妮o助線是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2021?湖北襄州?八年級期末）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中AABC為

含有45。角的三角板，直線AD是等腰直角三角板的對稱軸，且斜邊上的點。為另一塊

三角板DMN的直角頂點，DM、ON分別交A3、AC于點E、F.則下列四個結(jié)論：

2

?BD=AD=CD；②之△CFD；?BE+CF=AB}?SWii1KAEDF=^-BC.其中

o

正確結(jié)論是.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）.

N

4

:^c

°D

【答案】①②③④.

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得故①正確，ZCAD=ZB=45°,根據(jù)同角

的余角相等求出/CQF=/AOE,然后利用“角邊角”證明△?!￡>￡和△CCF全等，判斷出

②正確，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CF,從而判斷出③正確；根據(jù)全等三角

形的面積相等可得5山=S3*從而求出s四邊i=L,K：=gm，再結(jié)合勾股定理，

判斷出④正確.

【詳解】

解：VZB=45°,AB=AC,

.??△48C是等腰直角三角形，

:點。為8C中點，

.'.AD=CD=BD,故①正確；

???點。為BC中點，AB=AC,

AD1BC,N340=45。，

：.ZEAD=ZC,

?.?/MON是直角，

/.ZADF+ZADE=90°,

,/ZCDF+ZADF=ZADC=90°,

：.NADE=NCDF,

在△4。石和4CO尸中，

ZDAE=ZC

<AD=CD,

/ADE=NCDF

AAADE^ACDFCASA),故②正確；

/.AE=CF,

：.BE+CF=BE+AE=AB.故③正確；

?/AADE^ACDF,

,,S^AOE=S&CDF，

,?S四邊形AEDF=SMDC=耳

而：AD2+BD2=AB\AB2+AC2=BC2,AD=BD,AB=AC,

-,?S四邊形我注=工，*=：4。2=；482=（8。2,故④正確；

ZH-O

故答案為：①②③④.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，

熟記三角形全等的判定方法并求出△4?！逗?CDF全等是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?湖南平江?）如圖，矩形紙片A8CZ）中，AB=6,8c=12.將紙片折疊，使

點8落在邊A￡＞的延長線上的點G處，折痕為EF,點E、尸分別在邊A￡＞和邊8c上.連

接BG,交CD于點K,FG交CD于前H.給出以下結(jié)論：①EFLBG；②GE=GF；

③DK=KH;④當(dāng)點尸與點C重合時，ZDE尸=75。，其中正確的結(jié)論有（填

序號）.

【答案】①②④

【分析】

連接8E,設(shè)EF與BG交于點O,由折疊的性質(zhì)可得E尸垂直平分8G,可判斷①;由“4SA”

可證ABO尸也△GOE,可得BF=EG=GF,可判斷②；通過證明四邊形8EG尸是菱形，

可得NBEF=NGEF,求出/AEB=30。，可得NOE尸=75。，可判斷④，根據(jù)角平分線的性

質(zhì)得至IJDK^KH,即可求解.

【詳解】

解：如圖，連接BE,設(shè)EF與BG交于點O,

?；將紙片折疊，使點B落在邊AD的延長線上的點G處，

尸垂直平分8G,

：.EF1.BG,BO=GO,BE=EG,BF=FG,故①正確，

■:AD//BC,

：./EGO=NFBO,

又，:NEOG=NBOF,

:ABOF名/XGOE（ASA）,

：.BF=EG,

:.BF=EG=GF,故②正確，

"：BE=EG=BF=FG,

，四邊形8EGF是菱形，

NBEF=NGEF,

當(dāng)點尸與點C重合時，則BF=BC=BE=12,

此時BE=2AB,

：.ZAEB=30°,

:.NDEF=75。,故④正確，

平分NEG凡

J.DK^KH,故③錯誤；

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查了翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)

等知識，靈活運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

8.（2021?廣東海珠?八年級期末）如圖，正方形ABCO中，H為CD上一動點（不含C、

D）,連接A“交8。于G,過點G作GELAW交BC于E,過E作于尸，連

接AE,EH.下列結(jié)論：①AG=EG；②NE4H=45。；③BD=2GF；④GE平分

NFEC.正確的是（填序號）.

【答案】①②③

【分析】

連接GC,延長EG交4。于點L,可證△AOGgaCOG,進(jìn)而可得NGEC=NGCE,,

由此可得出GEnGC,再由/77=AR即可得出N/ME=45。，于是可判斷①②；連接AC

交3。于點O,則5。=2。4證明△AOGQXGFE,即可得出OA=GF,進(jìn)而可得尸G,

于是可判斷③；過點G作MNJ_3C于點N,交A。于點M,由于G是動點，GN的長

度不確定，而產(chǎn)G=CM是定值，即可得出GE不一定平分NFEC,于是可判斷④.

【詳解】

解：連接GC延長EG交AO于點3

???四邊形ABCD為正方形，

：.AD//CB9AD=CD,ZADG=ZCDG=45°t

■:DG=DG,

:.AADG會/\CDG(SAS),

：.AG=GCt/HCG=/DAG,

,/Z//CG+ZGCB=90°,

JNDAG+NGCB=90。,

u：GELAH,

：.ZAGL=90°f

???ZALG+ZMG=90°,

*：AD//CB,

：.ZALG=ZGEC,

：.ZGEC+ZLAG=90°f

，NGEC=NGCE,

：.GE=GC,

：.AG=EG,故①正確；

'：GE1.AH,

：.ZAGE=90°,

"：AG=EG,

：.ZEAH=45°,故②正確；

連接AC交8。于點O,則BD^2OA,

NAGF+NFGE=NGEF+NEGF=90°,

ZAGF=ZGEF,

'：AG=GE,ZAOG=ZEFG=90°,

.?.△AOG絲ZXGFE(A4S),

J.OA^GF,

'：BD=2OA,

：.BD=2GF,故③正確.

過點G作MN,8c于點N,交AD于點、M,交BC于點、N,

：G是動點，

，GN的長度不確定，而尸G=OA是定值，

；.GE不一定平分NPEC,

故④錯誤；

故答案為：①②③.

【點睛】

本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)和判定等，熟練掌握全

等三角形判定和性質(zhì)，合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

9.(2021?江蘇)如圖，在AABC與△CDE都是等邊三角形，且點A、C.E在同一條直線

上，A。與8E、8c分別交于點F、M,BE與CD交于點N.有以下結(jié)論：①AM=BN；

②SBF出力NF；(3)ZFMC+ZFNC=180°；@—=---------.其中正確的是

ACMNCE

.(填序號)

D

【分析】

①根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC,CE=CD,NACB=/ECD=60°,求出

根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；②根據(jù)NABC=6(r=/BCQ,求出AB〃C。，可推出

△ABFS^DNF,找不出全等的條件；③根據(jù)角的關(guān)系可以求得/AF8=60。，可求得

MF2120。,根據(jù)/8CD=60?？山忸};④根據(jù)CM=CN,/MCN=60。,可求得/CMW=60。，

可判定MN〃AE,可求得M等N=蕓DN=鳥CD-產(chǎn)CN，可解題.

ACCDCD

【詳解】

解：證明：①;△ABC和△COE都是等邊三角形，

：.AC=BC9CE=CD,ZACB=ZECD=60°f

：./ACB+/BCD=/ECD+NBCD,

^ZBCE=ZACD,

在aBCE和△ACO中，

BC=AC

<ZBCE=ZACD,

CE=CD

:?△BCE^AACD(SAS),

:.AD=BE,NADCBEC,ZCAD=ZCBEf

在^DMC和aENC中,

Z.MDC=/NEC

<DC=EC,

Z.MCD=4NCE

:?△DMC91XENC(ASA),

:?DM=EN,CM=CM

???AD-DM二BE-EN,ERAM=BN；

②NABC=6()o=NBCD,

:,AB〃CD,

：./BAF=NCDF,

/AFB=/DFN,

JXABFSXDNF,找不出全等的條件；

@VZAFB+ZABF+ZBAF=180°,NFBC=/CAF,

：.ZAFB+ZABC^-ZBAC=180°,

???ZAFB=60°f

：.ZMFN=\20°f

,/ZMCN=60°f

.?.ZFMC+ZF^C=180°；

④,.,CM=CMNMCN=60。,

???△MCN是等邊三角形，

■??NMNC=60。,

*/ZDCE=60°,

：.MN//AEf

.MN_DNCD-CN

**AC-CD-CD-，

■:CD=CE,MN=CN,

.MNCE—MN

^~AC~-CE-'

.MN、MN

??=1-，

ACCE

故答案為①③④.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查

了平行線的運用，考查了正三角形的判定，本題屬于中檔題.

10.(2021?遼寧興城?八年級期末)如圖，4在正方形CD8G的邊8。的延長線上，且

知4)=%),E在C。上，EF_LAE交8c的延長線于點F.有以下結(jié)論：?AE=EF

(2)ZEAB+ZEFB=45°?BC=CE+CF@CF=42DE.其中，正確的結(jié)論有.(填

序號)

ADB

【答案】①②④

【分析】

根據(jù)正方形性質(zhì)得到/C8D=45。，進(jìn)而得到N41B+/AF8=135。，根據(jù)三角形性質(zhì)即可

得至l」NE48+/EF8=45。，判斷②正確；連接BE,先證明4E=8E,得至Ij/E4B=/EA4,

根據(jù)NE48+/EF'8=45。證明EF=EB,即可判斷①正確；作EH_L8凡得至ljBC=FC+2CH,

根據(jù)為等腰直角三角形得到CE=&CH，即可得至IJ8C=FC+夜CE，即可判斷③

錯誤；證明BC=y/2CD，根據(jù)BC=FC+辰E得至IFC+近CE==-J1CE+&DE，即可

得到④正確.

【詳解】

解：???四邊形CC8G為正方形，

,NCBD=gNDBG=45。,

：.ZFAB+ZAFB=\35°,

即ZEAF+NAFE+NEAB+NEFB=135°,

,：EFl.AE,

，ZAEF=90°,

：.ZEAF+ZAFE=90°,

：.NEAB+NEFB=45。,

故②正確；

連接BE,

???四邊形CD2G為正方形，

DELAB,

,：AD=BD,

.'.AE=BE,

：.NEAB=NEBA,

VZEAB+ZEFB=45°,ZEBD+ZEBF=45°,

：.NEFB=NEBF,

:.EF=EB,

：.AE=EF,

故①正確；

作EHLBF,

?：BE=FE,

：.BH=FH,

Z.BC=BH+CH=FH+CH=FC+2CH,

?.?四邊形CQBG為正方形，

NHCE=gNDCG=45。,

'：EH±BF,

:.CE=0CH,

即CH=^CE,

2

；.8C=FC+2cH=FC+也CE，

故③不正確；

VZBCD=45°,ZCDB=90°,

:.BC=?CD,

,;BC=FC+亞CE，

FC+OCE=y/2CD=0（CE+CO）=丘CE+6DE,

:.FC=4iDE，

故④正確.

故答案為：①②④

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，線段的垂直平分線性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形

性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，熟知正方形性質(zhì)和等腰直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系，添加適當(dāng)

輔助線是解題關(guān)鍵.

三、解答題

11.（2021?黑龍江道外?八年級期末）四邊形A5CD中，DA=DC,連接3￡>,ZABD=

ZDBC.

D

K

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求證：ZBAD+ZBCD=180°；

(2)如圖2,連接AC,當(dāng)NOAC=45。時，BC=3AB,SADBC=27,求A5的長；

(3)如圖3,在(2)的條件下，把AAOC沿AC翻折，點O的對應(yīng)點是點E,AE交

8c于點K,廠是線段8c上一點，連接舊尸，NBfE=45。，求AE尸C的面積.

,Q

【答案】(1)見解析；(2)48=3；(3)-

【分析】

(1)作DM_L54交BA的延長線于M,ONL8C于N,利用HL定理證明

RMDM4段/?/△DNC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；

(2)作DMLBA交BA的延長線于例，DNLBC于N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到MB

=BN=Z)N,根據(jù)三角形的面積公式求出A5；

(3)作EG_LAB交48的延長線于G,EHLBC于H,證明△AGE會△€■，后，根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到AG=C"EG=EH,求出84,進(jìn)而求出C凡根據(jù)三角形的面積公

式計算，得到答案.

【詳解】

(1)證明：如圖1,過點。作DMLBA交BA的延長線于M,DNLBC于N,

則/DMA=N￡WC=90。，

?:/ABD=NDBC,DM_LBA,DNLBC,

；.DM=DN,

在R>DMA和Rt4DNC中，

/DM=DN

[DA=DC'

/./?/△DMA絲/△DNC(HL),

:./DAM=NBCD,

"：ZDAM+ZDAB=]SO°,

...NZM8+NBCC=180°；

(2)如圖2,過點。作DM,BA交54的延長線于M,DNLBC于N,

由(1)得，△￡WC四△DMA,CN=MA,

■:DA=DC,NOAC=45。，

：.ZDAC=ZDCA=45°f即N￡)AC+NOCA=9()Q,

???ZADC=90°,

AZABC=ISO0-NADC=90。,

平分NA8C,

/./DBM=4DBN=45°,

*：/M=/DNB=90。,

：.NMDB=/BDN=NDBM=/DBN=45。,

:?DN=BN,DM=8M,

VDM=DM

:?MB=BN=DN,

設(shè)則3C=3A8=3m設(shè)CN=b,則MA=CN=b,

:?MB=a+b,BN=3a-b9

/.a+b=3a-b,

:?b=a,

:?BN=DN=3a-b=2a,

：.SAHCD=yBC?DN=-3q?2a=27,

解得，a=b=3,

：.AB=3；

(3)如圖3,過點E作EGLAB交AB的延長線于G,EHLBC于H,

由翻折可知，AE=AD=CD=CEtZAEC=ZADC=90°.

NAKB=NCKE,

:?/BAE=NBCE,

在△AG￡^IMCHE中,

ZGAE=ZHCE

<AAGE=ACHE,

AE=CE

：./\AGE^/\CHE(A4S),

：.AG=CH,EG=EH,

：.BE平分NC8G,即/GBE=NCBE=45°=/HEB=NBEG,

:?BH=EH=BG=EG,

設(shè)BH=k,則AG=3+KCH=9-k,

?：AG=CH,

：.3+k=9-k,

解得,k=3,

:?EH=BH=3,

NBFE=45。,NEHF=90。,

：.ZHEF=/HFE=45。,

：.HE=FH=3f

：.CF=CB-BF=9-3-3=3,

I?9

AEFC的面積=丁xCFxEH=-x3x3=

222

圖1圖2圖3

【點睛】

本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰直角

三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.(2021?山西太原。綜合與探究：

問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以直角三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動.如圖，在AABC

中，C￡LLA5于點。，AE平分/BAC交C￡＞于點凡

初步分析：

(1)智慧小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)ACEF是等腰三角形，請你證明這一結(jié)論；

(2)博學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)給AA8C添加一個條件，可使ACE尸成為等邊三角形.添加

的條件可以是.(寫出一種即可)

操作探究：

(3)創(chuàng)新小組的同學(xué)從圖形平移的角度進(jìn)行了如下的探究，請從下面4,8兩題中任

選一題作答我選擇題：

A.將△AOF'沿射線48的方向平移，使點尸的對應(yīng)點廠恰好落在線段8c上，

①請在圖中畫出平移后的△AOF',

②猜想此時線段AB與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

B.將ACE尸沿射線C5的方向平移，使點C的對應(yīng)點恰好與點B重合，

①請在圖中畫出平移后的ABE9，

②連接EF，，交8。于點G,猜想此時線段EG與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）ZC4B=60°（答案不唯一）；（3）4①見解析；?A'B=AC,

證明見解析；B：①見解析；②EG-F'G,證明見解析-

【分析】

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)進(jìn)行等量代換進(jìn)而證明結(jié)論即可；

（2）當(dāng)AABC中，NC4B=60。時，根據(jù)等邊三角形判定定理進(jìn)行判定；

（3M.過點尸作尸6人AC于G,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出FG=U>,進(jìn)而證明R/ZVIGF

絲心△ADF,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=A。，根據(jù)平移的性質(zhì)得到AA￡>尸絲

△A'DF',得出AG=4D=A7）',GF=DF=OF',然后利用“角角邊”證明ACG尸且

廣，得到CG=B￡>',最終得出A'B=AC；

及過點E作EHLAG于〃,，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出EC=E〃，根據(jù)平移的性質(zhì)得到

△CEF咨/\BF'E,得出△CER是等腰三角形，EH=CE=CF=BF',

然后利用“角角邊”證明巫HE絲AGBF,最終得出EG=F'G.

【詳解】

（I）平分NBAC,

ZCAE=AEAB,

-JCDLAB,ZACB=90。，

ZADC=90°,

.?.在VAFZ）中，ZAFD+ZFAD=90°,

在AACE中，ZAEC+ZCAE=90°,

??ZAFD=ZCFE,

ZCEA=ZAFD=ZCFE,

...△CEF是等腰三角形；

（2）當(dāng)△ABC中，NC48=60。時，

ZC4￡=30°,ZCEF=90°-ZCAB=60°,

.?.△CE尸是等邊三角形;

（3）A.①如下圖即為所求,

②A'B=AC,理山如下:

過點F作依八AC于G,

?.FE平分/B4C,

VFDLAB,FGAAC,

'FG=FD,

在Rt/\AGF和Rt^ADF中，

[AF=AF

[GF^DF

：.R&GF色Rt/XADF(HL)

二AG=AD.

；△的)尸平移后得到AA'D'F',

：.^ADF絲/\ADF'

：.AG^AD^A'D',

GF=DF=DF',

;在△88中，N2+N3=90。,

又?:Zl+Z2=90°,

N1=N3,

在MGF和ABD'F'中，

Z1=Z3

"ZCGF=ZBD'F'

GF=D'F'

:.Z\CGFmABD'F'(44S)

Z.CG=BD',

：.AG+CG=A'iy+BEy,

即：AB=AC；

B.①如下圖即為所求，

過點E作E”J.AG于H,

ZEFG=90°,

平分/BAC,

；ECJ,AC,EH±AH,

：.EC=EH,

:ACEF平移后得到/\BF'E,

/.ACEF<ABF'E',

**-CF=BF',N2=N4,

??.△C所是等腰三角形，

：.EH=CE=CF=BF',

;在△88中，N2+N3=90。,

Z4+Z3=90°,

ZGBF'=90°,

在ACHE和△G8F'中，

Zl=Z5

"NGHE=NGBF'

EH=F'G

：.ACHE會△GBF'(A4S)

，EG=F'G.

【點睛】

本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與

性質(zhì)，圖形的平移等，熟練運用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?福建晉江?八年級期中）（1）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)

y=Nx-l）+3（ZwO）,無論k取何值，其圖象——直線總會過一定點，請寫出此定點坐

標(biāo)（,）.

（2）如圖①，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點尸（-2,3）,交￥軸正半軸于點A,交x軸負(fù)半軸

于點B,求AOAB面積的最小值.

（3）如圖②，等腰Rtz^ABC中，斜邊AB=8,在4?邊上取點O（點。不與A、8重

合），以AD為直角邊在AB下方作等腰RIAADE,連結(jié)BE,點F為DB的中點,連結(jié)CF,

試判斷CF與電的位置和數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）1,3；（2）12；（3）CF=^BE,CF1BE,理由見解析

【分析】

（1）因為與系數(shù)火無關(guān)，則令與人有關(guān)的式子為0,即可求得定點坐標(biāo)；

（2）過點尸任作一直線交y軸正半軸于點E,交X軸負(fù)半軸于點尸，過點8作BG//y軸

交EF卜點G，則,根據(jù)S&OEF-S四邊形OEGB=S四邊形OEPB+S△aBC=^AOAB可

知當(dāng)點P為A8中點時，A048面積的最小，過點尸作PC_Ly軸于點C,軸于點

D,進(jìn)而根據(jù)P的坐標(biāo)和三角形面積公式計算即可；

（3）以AB所在直線為x軸，過點C作A3的垂線為》'軸建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原

點為。，）軸交BE于點G,設(shè)點。的橫坐標(biāo)為。，根據(jù)已知條件分別求得B,E的坐標(biāo)，

設(shè)直線班:的解析式為）:奴+力，待定系數(shù)法求解析式，求得b即OG的長，進(jìn)而可知

OF=OG,則可證明△COF絲△8OG,過點G作GH_L軸于點//,進(jìn)而證明

△GHE且△BOG可得GE=BG,即可得出數(shù)量關(guān)系CT7=38后，延長CF交BE于點P,

根據(jù)AOBG+NBFP=NOCF+ZCFO=90°,可得位置關(guān)系CFLBE.

【詳解】

解：(1)y=/(x—1)+3伏*0),

當(dāng)x=l時，y=3,

??.無論左取何值，其圖象直線總會過一定點。,3),

故答案為：L3；

(2)當(dāng)點P為A8中點時，△。鉆面積的最小，理由如下：

過點P任作一直線交了軸正半軸于點E,交x軸負(fù)半軸于點F,

過點8作BG//y軸交所于點G

則有N?4E=NP3G,PA=PB,ZAPE=NBPG

：.^PAE^^PBG

S40EF—$四邊形OEG8=$四邊形O￡P(guān)B+S&PBG=S40AB，當(dāng)且僅當(dāng)EF與AB重合時取等號

過點產(chǎn)作PCLy軸于點C,PDLx軸于點。，

?.?P(-2,3),則PC=OD=2,PD=OC=3

■:ZAPC=4PBD,ZACP=ZPDB,PA=PB

：.AAPC沿APBD

AC=PD=3,PC=BD=2

OA=6,OB=4

'SAOAB=；x4x6=12,即A048面積的最小值為12.

(3)CF=；BE,CF1BE,理由如下：

以AB所在直線為x軸，過點C作AB的垂線為丫軸建立平面直角坐標(biāo)系,

坐標(biāo)原點為。，y軸交班:于點G

^ABC,A4）E都是等腰直角三角形，43=8

，A（T,O）,B（4,0）,OA=OB=OC

設(shè)點。的橫坐標(biāo)為。，則AE=4O=a+4,DB=4-a

?.?點尸為OB的中點

/.BF=DF=1（4-a）,OF==g（4+a）

設(shè)直線BE的解析式為y=h+6,

把8(4,0)、E(T,-a-4)分別代入得

J4k+b=0

[-4k+h=-a-4

解得：〃(一〃一4)

??.OG=g(4+a)

：.OF=OG

?:4cOF=/BOG=90°

JACOFmABOG,

???CF=BG,Z.OCF=ZOBG.

過點G作軸于點”，則HG=OA=O3,

AEUy軸,

:.NOGB=/HEG,

又?.?NBOG=NGHE=90。

??AGHE%ABOG,GE=BG

；.CF=BG=GE,BPCF=-BE

2

延長CF交房于點P

■:ZOBG+ZBFP=ZOCF+ZCFO=90°

/.ZFPB=90°,BPCF1B￡

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，幾何題的解析解法，三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角

三角形的性質(zhì)，建立平面直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.

14.(2021?湖北武昌?八年級期中)如圖，點尸為正方形ABCD的對角轉(zhuǎn)AC上一動點，

過點P作PELPB交射線DC于點E.

(1)如圖1,當(dāng)點E在邊CD上時，求證：PB=PE；

(2)如圖2,當(dāng)點E在OC的延長線上時，探求線段/為、PC.CE的數(shù)量關(guān)系并加以

證明；

(3)如圖3,在(1)的條件下，連接BE交AC于點F,若正方形45。的邊長為4,

當(dāng)點E為的中點，則尸尸=—(請直接寫出結(jié)果).

【答案】(D見解析；(2)AP-PC=41EC.證明見解析；(3)逑.

3

【分析】

(1)如圖1,連接PD.分別證明PE=P。即可證明結(jié)論.

(2)結(jié)論:AP-PC=近EC.如圖2中，過點P作PTA.PC交8c于T,過點7'作THLBC

交AC于，，過點H作HKLAB于K,設(shè)PE交8c于點O.想辦法證明HK=BT=EC,

PC=PH,AH=6HK,即可證明結(jié)論；

(3)如圖3中，過點尸作于L,過點尸作FQLCO于Q,于J.想辦

法求出PL,LF,再利用勾股定理，即可證明結(jié)論.

【詳解】

(1)證明：如圖1,連接PD

BC

圖1

???四邊形ABC。是正方形,

：.CB=CD1NPCB=NPCD=45。,

在△「。5和4PCQ中，

CB=CD

</PCB=/PCD,

CP=CP

:?△PCBQ/XPCD(SAS),

:?PB=PD,NCBP=NCDP,

?:PELPB,

：.ZBPE=ZBCE=90°f

，NCBP+NCEP=180。,

VZCEP+ZPED=180°f

:?/PED=/CBP,

：.ZPED=ZCDP9

：.PE=PD,

:?PB=PE；

(2)解：結(jié)論：AP-PC=V2EC.理由如下：

如圖2,過點P作PTLPC交BC于T,過點T作THLBC交AC于",過點H作HK±AB

于K,設(shè)PE交3c于點O.

ZECO=N3PO=90。，ZEOC=/BOP,

：.ZE=ZPBTf

?：NBPE=NTPC=9。。,

■:ZBPT=/EPC,

NPCE=NPTC=45。,

：.PT=PCt

在480r和4EPC中,

4PBT=4E

<ZBPT=ZEPC,

PT=PC

:?△BPT^XEPC(A4S),

，BT=EC,

■:HT工BC,

：./TCH=/THC=450,

：.CT=TH,

VTP1C/7,

:?PC=PH,

u

：HK-LABf

：.ZHKB=ZKBT=_LHTB=90°,

，四邊形377/K是矩形，

:.HK=BT=EC,

VZAKH=90°fNKA"=45。，

:?AH=6KH=OEC,

9：PA-PC=PA-PH=AH,

：.m-PC=42EC；

(3)解：如圖3中，過點/，作于3過點/作尸QJ_CO于。，F(xiàn)JLBC于J.

?，?BE=yjEC2+BC2="+4?=2百，

???ABPE是等腰直角三角形，PLLBE,

:.BL=EL=非,

:.PL=^BE=也,

:尸C平分NBCE,FQLCD,FJLBC,

J.FQ^FJ,

cnr-BCFQ

..'于CF=空=2*=J_

SMBFL,BC-FJ2

2

.?.EF=』B￡=延，

33

：.FL=LE-EF=75-2=—,

33

???PF=JFI?+PI3=牌尸+（府=當(dāng).

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理的應(yīng)用，靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

15.（2021?福州華倫中學(xué)八年級期中）已知：在矩形A5CZ）中，AB=6,AD=4.

（1）如圖1,E、尸、G、”分別是AQ,AB,BC,C。的中點、求證：四邊形EFGH

是菱形；

（2）如圖2,若菱形EFG”的三個頂點E、RH分別在A。，C。上，DE=\AD.

①連接8G,若BG=下,求AF的長；

②設(shè)Af=〃z,AG尸5的面積為S,且S滿足函數(shù)關(guān)系式S=3機(jī).在自變量機(jī)的取

值范圍內(nèi)，是否存在如使菱形EPG”面積最大？若存在，請直接寫出菱形EfG”面

積最大值，若不存在，請說明理由.

7_

【答案】（1）見解析；（2）①5；②存在布=2不，菱形EFGH面積最大為18+2將

【分析】

（1）連接AC,BD,由E、F、G、H分別是AO,AB,BC,的中點可得，

EF=GH=、BD,EH=FG=-AC,又AC=83,得EF=GH=EH=FG,即結(jié)論得證；

22

(2)①過點G作G/_LAB延長線于/,根據(jù)A4s證尾//痣,。//,得出G/=OE=1,根

據(jù)勾股定理求出8/,^AF=x,則8尸=6—x,再利用勾股定理求出x即可；

②延長/G交OC延長線于M,由①知AG/FMAEZ歸，同理可證AAEFWAMG”，則菱形

的面積=矩形4DWZ的面積-AG/F的面積-AEDW的面積-MEF的面積-AMG”的面積，

得出關(guān)于機(jī)的關(guān)系式即可得出機(jī)最大時菱形面積最大，當(dāng)〃與C重合時〃，有最大值，

求出此時的“，值即可.

【詳解】

解：(1)連接4C,BD,

圖1

?.?E、F、G,//分別是AO,AB,BC,CZ)的中點,

:.EF=GH=-BD,EH=FG=-AC,

22

???四邊形A8C￡)是矩形，