中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)和解題技巧點(diǎn)拔（28大專(zhuān)題）

頁(yè)中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)和解題技巧點(diǎn)拔專(zhuān)題01實(shí)數(shù)【思維導(dǎo)圖】【考點(diǎn)總結(jié)】一、實(shí)數(shù)的分類(lèi)1．按實(shí)數(shù)的定義分類(lèi)2．按正負(fù)分類(lèi)實(shí)數(shù)【考點(diǎn)總結(jié)】二、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念1．?dāng)?shù)軸實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．2．相反數(shù)(1)實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是－a，零的相反數(shù)是零；(2)a與b互為相反數(shù)a＋b＝0.3．倒數(shù)(1)實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是(a≠0)；(2)a與b互為倒數(shù)ab＝1.4．絕對(duì)值(1)數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.(2)|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a(a>0)，,0(a＝0)，,－a(a<0).))【考點(diǎn)總結(jié)】三、平方根、算術(shù)平方根、立方根1．平方根(1)定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方根(也叫二次方根)，數(shù)a的平方根記作±eq\r(a)(a≥0)．(2)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．2．算術(shù)平方根(1)如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，a的算術(shù)平方根記作eq\r(a).零的算術(shù)平方根是零，即eq\r(0)＝0.(2)算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，即eq\r(a)≥0(a≥0)．(3)(eq\r(a))2＝a(a≥0)，eq\r(a2)＝|a|.(4)eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)．3．立方根(1)定義：如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3＝a，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的立方根(也叫三次方根)，數(shù)a的立方根記作eq\r(3,a).(2)任何數(shù)都有唯一一個(gè)立方根，一個(gè)數(shù)的立方根的符號(hào)與這個(gè)數(shù)的符號(hào)相同．【考點(diǎn)總結(jié)】四、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)、有效數(shù)字1．科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整數(shù))的形式叫科學(xué)記數(shù)法．當(dāng)N≥1時(shí)，n等于原數(shù)N的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)N＜1時(shí)，n是一個(gè)負(fù)整數(shù)，它的絕對(duì)值等于原數(shù)中左起第一個(gè)非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù)(含整數(shù)位上的零)．2．近似數(shù)與有效數(shù)字一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位，這時(shí)從左邊第1個(gè)不為0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字．【考點(diǎn)總結(jié)】五、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)1．常見(jiàn)的三種非負(fù)數(shù)：|a|≥0，a2≥0，eq\r(a)≥0(a≥0)．2．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：(1)非負(fù)數(shù)有最小值是零；(2)任意幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)；(3)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.【考點(diǎn)總結(jié)】六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算1．基本運(yùn)算：加法、減法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方．2．基本法則：加法法則、減法法則、乘法法則、除法法則、乘方的符號(hào)法則．3．運(yùn)算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律．4．運(yùn)算順序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行；(3)如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，最后算大括號(hào)里的．5．零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪(1)零指數(shù)冪的意義為：a0＝1(a≠0)；(2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義為：a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p為整數(shù))．【考點(diǎn)總結(jié)】七、實(shí)數(shù)的大小比較1．在數(shù)軸上表示兩個(gè)數(shù)的點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大．2．正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而?。?．取差比較法(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b＝0a＝b；(3)a－b＜0a＜B．4．倒數(shù)比較法若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，a＞0，b＞0，則a＜B．5．平方法：因?yàn)橛蒩＞b＞0，可得eq\r(a)＞eq\r(b)，所以我們可以把eq\r(a)與eq\r(b)的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化成比較a和b的大小問(wèn)題．【考點(diǎn)】一、實(shí)數(shù)的分類(lèi)例1、下列各數(shù)：eq\f(π,2)，0，eq\r(9)，0.2eq\o(3,\s\up6(·))，cos60°，eq\f(22,7)，0.30003…，1－eq\r(2)中無(wú)理數(shù)個(gè)數(shù)為()．A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)解析：eq\f(π,2)中π是無(wú)理數(shù)，所以eq\f(π,2)是無(wú)理數(shù)；0是有理數(shù)；eq\r(9)＝3是有理數(shù)；0.2eq\o(3,\s\up6(·))是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，屬于有理數(shù)；cos60°＝eq\f(1,2)，是有理數(shù)；eq\f(22,7)是有理數(shù)；0.30003…是無(wú)理數(shù)；1－eq\r(2)中eq\r(2)是無(wú)理數(shù)，所以1－eq\r(2)是無(wú)理數(shù)．答案：B有理數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式．常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有四種形式：(1)含有π的式子；(2)根號(hào)內(nèi)含開(kāi)方開(kāi)不盡的式子；(3)無(wú)限且不循環(huán)的小數(shù)；(4)某些三角函數(shù)式．【考點(diǎn)】二、相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值與數(shù)軸例2、(1)－eq\f(1,5)的倒數(shù)是__________；(2)(－3)2的相反數(shù)是()．A．6B．－6C．9D．－9(3)實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a＋b|＋eq\r((b－a)2)＝__________.解析：(1)－eq\f(1,5)的倒數(shù)為eq\f(1,－\f(1,5))＝－5；(2)因?yàn)?－3)2＝9,9的相反數(shù)是－9，故選D；(3)本題考查了絕對(duì)值，平方根及數(shù)軸的有關(guān)知識(shí)，由圖可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a＋b＜0，b－a＞0，原式＝－a－b＋b－a＝－2A．答案：(1)－5(2)D(3)－2a相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0；絕對(duì)值是它本身的數(shù)是0和正數(shù)(即非負(fù)數(shù))；倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1.【考點(diǎn)】三、平方根、算術(shù)平方根與立方根例3、(1)(－1.44)2的算術(shù)平方根為_(kāi)____；eq\r(81)的平方根為_(kāi)____；eq\r(0.04)＝_____；(2)(－2)－3的立方根是____；立方等于－216的數(shù)是______；(eq\r(3,125))3＝_______.解析：(1)(－1.44)2的算術(shù)平方根，即eq\r((－1.44)2)＝|－1.44|＝1.44；eq\r(81)＝9,9的平方根是±3；eq\r(0.04)＝0.2；(2)∵(－2)－3＝eq\f(1,(－2)3)，∴(－2)－3的立方根是eq\f(1,\r(3,(－2)3))＝－eq\f(1,2)；∵(－6)3＝－216，∴eq\r(3,－216)＝－6；(eq\r(3,125))3＝(eq\r(3,53))3＝53＝125.答案：(1)1.44±30.2(2)－eq\f(1,2)－61251．對(duì)于算術(shù)平方根，要注意：(1)一個(gè)正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根，它是一個(gè)正數(shù)；(2)0的算術(shù)平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根；(4)算術(shù)平方根eq\r(a)具有雙重非負(fù)性：①被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即eq\r(a)中的a≥0；②算術(shù)平方根eq\r(a)本身是非負(fù)數(shù)，即eq\r(a)≥0.2．立方根中，(eq\r(3,a))3＝a，eq\r(3,a3)＝A．【考點(diǎn)】四、科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)、有效數(shù)字例4、第十一屆全運(yùn)會(huì)將在美麗的泉城濟(jì)南召開(kāi)．奧體中心由體育場(chǎng)，體育館、游泳館球館，綜合服務(wù)樓三組建筑組成，呈“三足鼎立”“東荷西柳”布局．建筑面積約為359800平方米，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示建筑面積是(保留三個(gè)有效數(shù)字)()．A．35.9×105平方米B．3.60×105平方米C．3.59×105平方米D．35.9×104平方米解析：359800＝3.59800×105，要保留3個(gè)有效數(shù)字，需對(duì)從左邊起第四個(gè)數(shù)字8進(jìn)行四舍五入，所以3.59800×105≈3.60×105.答案：B1．取一個(gè)數(shù)精確到某一位的近似數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)“某一位”后的第一個(gè)數(shù)進(jìn)行四舍五入，而之后的數(shù)不予考慮；2．用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)，乘號(hào)前面的數(shù)(即a)的有效數(shù)字即為該近似數(shù)的有效數(shù)字；而這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位，應(yīng)將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成原來(lái)的數(shù)，再看最后一個(gè)有效數(shù)字處于哪一個(gè)數(shù)位上【考點(diǎn)】五、非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例5、若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\r(x－2)＋(3－y)2＝0，則代數(shù)式xy－x2的值為_(kāi)_________．解析：因?yàn)閑q\r(x－2)≥0，(3－y)2≥0，而eq\r(x－2)＋(3－y)2＝0，所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，則xy－x2＝2×3－22＝2.答案：2常見(jiàn)的非負(fù)數(shù)的形式有三種：|a|，(a≥0)，a2，若它們的和為零，則每一個(gè)式子都為0.【考點(diǎn)】六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算例6、計(jì)算：(1)；(2).解：(1)原式＝4×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)－1＝3－eq\f(1,2)－1＝eq\f(3,2).(2)原式＝3－|－2＋eq\r(3)|＋1＝3－(2－eq\r(3))＋1＝2＋eq\r(3).提高實(shí)數(shù)的運(yùn)算能力，首先要認(rèn)真審題，理解有關(guān)概念；其次要正確、靈活地應(yīng)用零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)的定義及實(shí)數(shù)的六種運(yùn)算法則，根據(jù)運(yùn)算律及順序，選擇合理、簡(jiǎn)捷的解題途徑．要特別注意把好符號(hào)關(guān)．【考點(diǎn)】七、實(shí)數(shù)的大小比較例7、比較2.5，－3，eq\r(7)的大小，正確的是()．A．－3＜2.5＜eq\r(7) B．2.5＜－3＜eq\r(7) C．－3＜eq\r(7)＜2.5 D．eq\r(7)＜2.5＜－3解析：由負(fù)數(shù)小于正數(shù)可得－3最小，故只要比較2.5和eq\r(7)的大小即可，由2.52＜(eq\r(7))2，得2.5＜eq\r(7)，所以－3＜2.5＜eq\r(7).答案：A實(shí)數(shù)的各種比較方法，要明確應(yīng)用條件及適用范圍．如：“差值比較法”用于比較任何兩數(shù)的大小，而“商值比較法”只適用于比較兩個(gè)正數(shù)大小，還有“平方法”“倒數(shù)法”等．要依據(jù)數(shù)值特點(diǎn)確定合適的方法．專(zhuān)題02整式與因式分解【考點(diǎn)總結(jié)】一、整式的有關(guān)概念1．整式整式是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱．2．單項(xiàng)式單項(xiàng)式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)；單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．3．多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．【考點(diǎn)總結(jié)】二、整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，eq\f(am,an)＝am－n(m，n是正整數(shù))．【考點(diǎn)總結(jié)】三、同類(lèi)項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng)1．所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫做同類(lèi)項(xiàng)．2．把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類(lèi)項(xiàng)，合并的法則是系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．【考點(diǎn)總結(jié)】四、求代數(shù)式的值1．一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果就叫做代數(shù)式的值．2．求代數(shù)式的值的基本步驟：(1)代入：一般情況下，先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將數(shù)值代入；(2)計(jì)算：按代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果．【考點(diǎn)總結(jié)】五、整式的運(yùn)算1．整式的加減(1)整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)項(xiàng)；(2)整式加減的步驟：有括號(hào)，先去括號(hào)；有同類(lèi)項(xiàng)，再合并同類(lèi)項(xiàng)．注意去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．2．整式的乘除(1)整式的乘法①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．(2)整式的除法①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把系數(shù)、同底數(shù)冪相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.3．乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.【考點(diǎn)總結(jié)】六、因式分解1．因式分解的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解．2．因式分解的方法(1)提公因式法公因式的確定：第一，確定系數(shù)(取各項(xiàng)整數(shù)系數(shù)的最大公約數(shù))；第二，確定字母或因式底數(shù)(取各項(xiàng)的相同字母)；第三，確定字母或因式的指數(shù)(取各相同字母的最低次冪)．(2)運(yùn)用公式法①運(yùn)用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．②運(yùn)用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.【考點(diǎn)】一、整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算例1、下列運(yùn)算正確的是()．A．3ab－2ab＝1B．x4·x2＝x6 C．(x2)3＝x5D．3x2÷x＝2x解析：A項(xiàng)是整式的加減運(yùn)算，3ab－2ab＝ab，A項(xiàng)錯(cuò)；B項(xiàng)是同底數(shù)冪相乘，x4·x2＝x4＋2＝x6，B項(xiàng)正確；C項(xiàng)是冪的乘方，(x2)3＝x2×3＝x6，C項(xiàng)錯(cuò)；D項(xiàng)是單項(xiàng)式相除，3x2÷x＝(3÷1)x2－1＝3x，D項(xiàng)錯(cuò)．答案：B冪的運(yùn)算問(wèn)題除了注意底數(shù)不變外，還要弄清冪與冪之間的運(yùn)算是乘、除還是乘方，以便確定結(jié)果的指數(shù)是相加、相減還是相乘．【考點(diǎn)】二、同類(lèi)項(xiàng)與合并同類(lèi)項(xiàng)例2、單項(xiàng)式－eq\f(1,3)xa＋b·ya－1與3x2y是同類(lèi)項(xiàng)，則a－b的值為()．A．2B．0C．－2D．1解析：本題主要考查了同類(lèi)項(xiàng)的概念及方程組的解法，由－eq\f(1,3)xa＋b·ya－1與3x2y是同類(lèi)項(xiàng)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,a－1＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0.))∴a－b＝2－0＝2.答案：A1．同類(lèi)項(xiàng)必須具備以下兩個(gè)條件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指數(shù)分別相同．二者必須同時(shí)具備，缺一不可；2．同類(lèi)項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)無(wú)關(guān)，與項(xiàng)中字母的排列順序無(wú)關(guān)，如xy2與－y2x也是同類(lèi)項(xiàng)；3．幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)都是同類(lèi)項(xiàng)，如－1,5，eq\f(1,2)等都是同類(lèi)項(xiàng)．【考點(diǎn)】三、整式的運(yùn)算例3、先化簡(jiǎn)，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－eq\f(1,3).解：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab，當(dāng)a＝3，b＝－eq\f(1,3)時(shí)，2ab＝2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－2.整式的乘法法則和除法法則是整式運(yùn)算的依據(jù)，必須在理解的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶，并在運(yùn)算時(shí)靈活運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算．使用乘法公式時(shí)，要認(rèn)清公式中a，b所表示的兩個(gè)數(shù)及公式的結(jié)構(gòu)特征，不要犯類(lèi)似下面的錯(cuò)誤：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.【考點(diǎn)】四、因式分解例4、分解因式：－x3－2x2－x＝__________.解析：由于多項(xiàng)式中有公因式－x，先提公因式再用公式法．－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2.答案：－x(x＋1)2因式分解的一般步驟：(1)“一提”：先考慮是否有公因式，如果有公因式，應(yīng)先提公因式；(2)“二套”：再考慮能否運(yùn)用公式法分解因式．一般根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)選擇公式，二項(xiàng)式考慮用平方差公式，三項(xiàng)式考慮用完全平方公式；(3)分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止．專(zhuān)題03分式及其運(yùn)算【考點(diǎn)總結(jié)】一、分式1．分式的概念：形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．2．分式有意義、無(wú)意義的條件：因?yàn)?不能做除數(shù)，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，則分式eq\f(A,B)有意義；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)沒(méi)有意義．3．分式值為零的條件：在分式eq\f(A,B)中，當(dāng)A＝0且B≠0時(shí)，分式eq\f(A,B)的值為0.【考點(diǎn)總結(jié)】二、分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)．分式的約分與通分1．約分：將分子、分母中的公因式約去，叫做分式的約分．2．通分：將幾個(gè)異分母的分式化為同分母的分式，這種變形叫分式的通分．【考點(diǎn)總結(jié)】三、分式的運(yùn)算1．分式的加減法同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后相加減，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).2．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc).3．分式的混合運(yùn)算在分式的加減乘除混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘除，進(jìn)行約分化簡(jiǎn)后，再進(jìn)行加減運(yùn)算，遇到有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的．運(yùn)算結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式．【考點(diǎn)】一、分式有意義、無(wú)意義、值為零的條件例1、若eq\f(|x|－1,x2＋2x－3)的值為零，則x的值是()．A．±1B．1C．－1D．不存在解析：當(dāng)分式的分子是零，分母不是零時(shí)分式值為零，當(dāng)|x|－1＝0時(shí)，x＝±1，而x＝1時(shí)，分母x2＋2x－3＝0，分式無(wú)意義，所以x＝－1.答案：C分式有意義的條件是分母不為零；分式無(wú)意義的條件是分母等于零；分式值為零的條件是分子為零用分母不為零．【考點(diǎn)】二、分式的基本性質(zhì)例2、下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是()．A．eq\f(a,b)＝eq\f(ac,bc)(c≠0)B．eq\f(－a－b,a＋b)＝－1C．eq\f(0.5a＋b,0.2a－0.3b)＝eq\f(5a＋10b,2a－3b)D．eq\f(x－y,x＋y)＝eq\f(y－x,y＋x)解析：應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要注意“都”與“同”這兩個(gè)字的含義，避免犯只乘分子或分母的錯(cuò)誤．D項(xiàng)eq\f(x－y,x＋y)＝eq\f(－(y－x),x＋y)＝－eq\f(y－x,y＋x).答案：D運(yùn)用分式的基本性質(zhì)解題必須理解和掌握分式的基本性質(zhì)：，(其中m≠0)和分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)，分式的值不變．【考點(diǎn)】三、分式的約分與通分例3、化簡(jiǎn)：eq\f(m2－4mn＋4n2,m2－4n2)＝__________.解析：eq\f(m2－4mn＋4n2,m2－4n2)＝eq\f((m－2n)2,(m－2n)(m＋2n))＝eq\f(m－2n,m＋2n).答案：eq\f(m－2n,m＋2n)1．分式約分的步驟：(1)找出分式的分子與分母的公因式，當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，要先把分式的分子與分母分解因式；(2)約去分子與分母的公因式．2．通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)公分母．求最簡(jiǎn)公分母的方法是：(1)將各個(gè)分母分解因式；(2)找各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次數(shù)最高的，滿足(2)(3)的因式之積即為各分式的最簡(jiǎn)公分母．【考點(diǎn)】四、分式的運(yùn)算例(1)化簡(jiǎn)：.(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝－1.解：(1)原式＝eq\f(a2－1,a)÷eq\f((a－1)2,a)＝eq\f((a＋1)(a－1),a)×eq\f(a,(a－1)2)＝eq\f(a＋1,a－1)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋4,x)－4))÷eq\f(x2－4,x2＋2x)＝eq\f(x2＋4－4x,x)÷eq\f((x＋2)(x－2),x(x＋2))＝eq\f((x－2)2,x)·eq\f(x(x＋2),(x＋2)(x－2))＝x－2.當(dāng)x＝－1時(shí)，原式＝－1－2＝－3.在分式運(yùn)算的過(guò)程中，要注意對(duì)分式的分子、分母進(jìn)行因式分解，然后簡(jiǎn)化運(yùn)算，再運(yùn)用四則運(yùn)算法則進(jìn)行求值計(jì)算．分式混合運(yùn)算的順序是先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，其乘除運(yùn)算歸根到底是乘法運(yùn)算，實(shí)質(zhì)是約分，分式加減實(shí)質(zhì)是通分，結(jié)果要化簡(jiǎn)．專(zhuān)題04二次根式【考點(diǎn)總結(jié)】一、二次根式1、二次根式的概念：形如eq\r(a)(a≥0)的式子.2、二次根式有意義的條件：要使二次根式eq\r(a)有意義，則a≥0.3、最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號(hào)）；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式【考點(diǎn)總結(jié)】二、二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負(fù)性：①被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a≥0；②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即≥0.注意：初中階段學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)有：絕對(duì)值、偶冪、算式平方根、二次根式.(2)兩個(gè)重要性質(zhì)：①(eq\r(a))2＝a(a≥0)；②eq\r(a2)＝|a|＝；(3)積的算術(shù)平方根：＝·(a≥0，b≥0)；(4)商的算術(shù)平方根：(a≥0，b＞0)．【考點(diǎn)總結(jié)】三、二次根式的運(yùn)算1．二次根式的加減法合并同類(lèi)二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若有同類(lèi)二次根式，可把同類(lèi)二次根式合并成一個(gè)二次根式．2．二次根式的乘除法(1)二次根式的乘法：·=(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：=(a≥0，b＞0)．3．二次根式的混合運(yùn)算運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)）．【考點(diǎn)】一、二次根式有意義的條件例1、若使eq\f(\r(x＋1),\r(2－x))有意義，則x的取值范圍是________．解析：x＋1與2－x都是二次根式的被開(kāi)方數(shù)，都要大于等于零．又因2－x不能為零，可得不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2－x>0，))解得－1≤x＜2.答案：－1≤x＜2方法總結(jié)利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍時(shí)，首先考慮被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，其次還要考慮其他限制條件，如分母不等于零，最后解不等式(組)．例2、要使式子eq\f(\r(a＋2),a)有意義，則a的取值范圍為_(kāi)_________．解析：a≥－2且a≠0由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2≥0，,a≠0，))解得a≥－2且a≠0.【考點(diǎn)】二、二次根式的性質(zhì)例3、把二次根式aeq\r(－\f(1,a))化簡(jiǎn)后，結(jié)果正確的是()A．eq\r(－a)B．－eq\r(－a)C．－eq\r(a)D．eq\r(a)解析：要使aeq\r(－\f(1,a))有意義，必須－eq\f(1,a)＞0，即a＜0.所以aeq\r(－\f(1,a))＝aeq\r(－\f(a,a2))＝eq\f(a\r(－a),－a)＝－eq\r(－a).答案：B方法總結(jié)如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如果題目中沒(méi)有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來(lái)，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)．例4、如果eq\r(2a－12)＝1－2a，則()A．a(chǎn)＜eq\f(1,2)B．a(chǎn)≤eq\f(1,2)C．a(chǎn)＞eq\f(1,2)D．a(chǎn)≥eq\f(1,2)解析：B因?yàn)槎胃骄哂蟹秦?fù)性，所以1－2a≥0，解得a≤eq\f(1,2)，故選B.【考點(diǎn)】三、最簡(jiǎn)二次根式與同類(lèi)二次根式例(1)下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是()A．eq\r(2x2)B．eq\r(b2＋1)C．eq\r(4a)D．eq\r(\f(1,x))(2)在下列二次根式中，與eq\r(a)是同類(lèi)二次根式的是()A．eq\r(2a)B．eq\r(3a2)C．eq\r(a3)D．eq\r(a4)解析：(1)A選項(xiàng)中的被開(kāi)方數(shù)中含開(kāi)得盡方的因式，C選項(xiàng)中的被開(kāi)方數(shù)中含開(kāi)得盡方的因數(shù)，D選項(xiàng)中的被開(kāi)方數(shù)中含有分母，故B選項(xiàng)正確；(2)將各選項(xiàng)中能化簡(jiǎn)的二次根式分別化簡(jiǎn)后，可得出eq\r(3a2)＝eq\r(3)|a|，eq\r(a3)＝aeq\r(a)，eq\r(a4)＝a2，結(jié)合同類(lèi)二次根式的概念，可得出eq\r(a3)與eq\r(a)是同類(lèi)二次根式．答案：(1)B(2)C方法總結(jié)1．最簡(jiǎn)二次根式的判斷方法：最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足如下條件：(1)被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(分母中不應(yīng)含有根號(hào))；(2)被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)得盡的因數(shù)或因式，即被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.2．判斷同類(lèi)二次根式的步驟：先把所有的二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是否相同來(lái)加以判斷．要注意同類(lèi)二次根式與根號(hào)外的因式無(wú)關(guān)．例若最簡(jiǎn)二次根式eq\r(a＋b,3a)與eq\r(a＋2b)是同類(lèi)二次根式，則ab＝__________.解析：1由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,3a＝a＋2b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))∴ab＝1.【考點(diǎn)】四、二次根式的運(yùn)算例4、計(jì)算：(eq\r(50)－eq\r(8))÷eq\r(2).解：原式＝(5eq\r(2)－2eq\r(2))÷eq\r(2)＝3eq\r(2)÷eq\r(2)＝3.方法總結(jié)1．二次根式加減法運(yùn)算的步驟：(1)將每個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；(2)找出其中的同類(lèi)二次根式；(3)合并同類(lèi)二次根式．2．二次根式乘除法運(yùn)算的步驟：先利用法則將被開(kāi)方數(shù)化為積(或商)的二次根式，再化簡(jiǎn)；最后結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式或整式或分式．專(zhuān)題05一次方程（組）【考點(diǎn)總結(jié)】一、等式及方程的有關(guān)概念1．等式及其性質(zhì)(1)用等號(hào)“＝”來(lái)表示相等關(guān)系的式子，叫做等式．(2)等式的性質(zhì)：等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能是0)，所得結(jié)果仍是等式．2．方程的有關(guān)概念(1)含有未知數(shù)的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，一元方的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的過(guò)程叫做解方程．【考點(diǎn)總結(jié)】二、一元一次方程1．只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，系數(shù)不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為ax＋b＝0(a≠0)，其解為x＝.2．解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)合并同類(lèi)項(xiàng)；(5)未知數(shù)的系數(shù)化為1.【考點(diǎn)總結(jié)】三、二元一次方程組的有關(guān)概念1．二元一次方程(1)概念：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特點(diǎn)：一般地，二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解．2．二元一次方程組(1)概念：具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組．(2)一般形式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1，,a2x＋b2y＝c2))(a1，a2，b1，b2均不為零)．(3)二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．【考點(diǎn)總結(jié)】四、二元一次方程組的解法1、代入法的定義：在二元一次方程組中，將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法．2、代入法解二元一次方程組的基本思想是：通過(guò)代入達(dá)到消元的目的，從而將解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程．其步驟為：①變形：從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程化為用含一個(gè)字母的代數(shù)式表示另一個(gè)字母．例如y，用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，得y＝ax＋b.②代入：將y＝ax＋b代入另一個(gè)方程中，消去y，得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值．④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，從而得到方程組的解．⑤把求得的x，y的值聯(lián)立起來(lái)就是方程組的解．取的原則是：①選擇未知數(shù)的系數(shù)是1或－1的方程；②常數(shù)項(xiàng)為0的方程；③若未知數(shù)的系數(shù)都不是1或－1，選系數(shù)的絕對(duì)值較小的方程，將要消的元用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，再把它代入沒(méi)有變形的方程中去．這樣就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程了．總之，用代入消元法解二元一次方程組時(shí)，一定要使變形后的方程比較簡(jiǎn)單或代入消元后化簡(jiǎn)比較容易，這樣不但避免錯(cuò)誤，還能提高運(yùn)算速度．1、加減法的定義：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，從而消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種求二元一次方程組的解的方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法．2、加減法的基本思想是：解二元一次方程組時(shí)，使方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或是互為相反數(shù)，再將所得兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為一元一次方程．其步驟為：①變形：方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就要用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②加減：當(dāng)同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，用加法消去這個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程；當(dāng)同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，用減法消去這個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出未知數(shù)的值．④求值：把求出的未知數(shù)的值代入原方程組中的任一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到方程組的解．⑤求得的兩個(gè)未知數(shù)的值聯(lián)立起來(lái)就是方程組的解．談重點(diǎn)加減消元法解二元一次方程組當(dāng)方程組中兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)均不成整數(shù)倍時(shí)，一般選擇系數(shù)較為簡(jiǎn)單的未知數(shù)消元，將兩個(gè)方程分別乘以某個(gè)數(shù)，使該未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，再加減消元求解，但必須注意，在方程兩邊同乘以某個(gè)數(shù)時(shí)，每一項(xiàng)都要乘，尤其常數(shù)項(xiàng)不要漏乘．【考點(diǎn)總結(jié)】五、列方程(組)解應(yīng)用題步驟：(1)設(shè)未知數(shù)；(2)列出方程(組)；(3)解方程(組)；(4)檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是否符合實(shí)際意義；(5)寫(xiě)出答案(包括單位名稱)．【考點(diǎn)】一、一元一次方程的解法例1、解方程：eq\f(2x＋1,3)－eq\f(10x＋1,6)＝1.解：去分母，得2(2x＋1)－(10x＋1)＝6，去括號(hào)，得4x＋2－10x－1＝6，移項(xiàng)，得4x－10x＝6－2＋1，合并同類(lèi)項(xiàng)，得－6x＝5，系數(shù)化為1，得x＝－eq\f(5,6).解一元一次方程時(shí)，首先要清楚基本方法與一般步驟，明確每步的理論依據(jù)，根據(jù)其特點(diǎn)選用解題步驟．【考點(diǎn)】二、二元一次方程組的有關(guān)概念例2、已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝8，,nx－my＝1))的解，則2m－n的算術(shù)平方根為()．A．4B．2C．eq\r(2)D．±2解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋ny＝8，,nx－my＝1))的解．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝8，,2n－m＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝2.))∴eq\r(2m－n)＝eq\r(2×3－2)＝eq\r(4)＝2.答案：B方程組的解適合于方程組的每一個(gè)方程，把它代入原方程組，就會(huì)得到一個(gè)新的方程組，解新方程組即可得出待定字母系數(shù)的值．【考點(diǎn)】三、二元一次方程組的解法例3、解方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＝5，,5x＋2y＝23.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))解：方法一：用加減消元法解方程組．①×2得6x－2y＝10，③②＋③得11x＝33，∴x＝3.把x＝3代入①得9－y＝5，∴y＝4.所以原方程組的解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))方法二：用代入消元法解方程組．由①得y＝3x－5，③把③代入②得5x＋2(3x－5)＝23，所以11x＝33，則x＝3.把x＝3代入③得y＝4.所以原方程組的解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))解二元一次方程組的基本思路是通過(guò)消元，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．最常見(jiàn)的消元方法有代入消元法和加減消元法，具體應(yīng)用時(shí)，要結(jié)合方程組的特點(diǎn)，靈活選用消元方法．如果出現(xiàn)未知數(shù)的系數(shù)為1或-1，宜用代入消元法解；如果出現(xiàn)同一未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系或系數(shù)較為復(fù)雜，宜用加減消元法解．【考點(diǎn)】四、列方程(組)解決實(shí)際問(wèn)題例4、某工廠承接了生產(chǎn)第16屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)標(biāo)和亞運(yùn)會(huì)吉祥物“樂(lè)羊羊”的生產(chǎn)任務(wù)，需要用到甲、乙兩種原料．已知生產(chǎn)一套亞運(yùn)會(huì)標(biāo)志需要甲原料和乙原料分別為0.4kg和0.3kg，生產(chǎn)一套亞運(yùn)會(huì)吉祥物需要甲原料和乙原料分別為0.5kg和1kg.該廠購(gòu)進(jìn)甲、乙原料的量分別為2300kg和3600kg，如果所進(jìn)原料全部用完，求該廠能生產(chǎn)亞運(yùn)會(huì)標(biāo)志和亞運(yùn)會(huì)吉祥物各多少套？解：設(shè)生產(chǎn)亞運(yùn)會(huì)標(biāo)志x套，生產(chǎn)亞運(yùn)會(huì)吉祥物y套．根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.4x＋0.5y＝2300，,0.3x＋y＝3600.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))①×2－②×1得0.5x＝1000，∴x＝2000.把x＝2000代入②得600＋y＝3600，∴y＝3000.答：該廠能生產(chǎn)亞運(yùn)會(huì)標(biāo)志2000套，生產(chǎn)亞運(yùn)會(huì)吉祥物3000套．對(duì)于含多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，利用列方程組來(lái)解，一般要比列一元一次方程解容易．列二元一次方程組，首先要對(duì)具體的問(wèn)題進(jìn)行具體分析，從中抽取等量關(guān)系，再根據(jù)相應(yīng)的等量關(guān)系列出方程組，注意所求的解要符合實(shí)際問(wèn)題．專(zhuān)題06一元二次方程【考點(diǎn)總結(jié)】一、一元二次方程的概念1．定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．【注】判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個(gè)未知數(shù)．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是．2．一般形式一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．要特別注意對(duì)于關(guān)于的方程，當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程；當(dāng)且時(shí)，方程是一元一次方程．為二次項(xiàng)，其系數(shù)為；為一次項(xiàng)，其系數(shù)為；為常數(shù)項(xiàng)．例1、下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是()．A．3(x＋1)2＝2(x＋1)B．eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x)－2＝0 C．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0D．x2＋2x＝x2－1解析：一元二次方程必須是有一個(gè)未知數(shù)，并且是未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，另外當(dāng)x2的系數(shù)有字母時(shí)，要注意系數(shù)不能為零．答案：A判斷一元二次方程的方法：一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：(1)是整式方程；(2)化簡(jiǎn)后只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.這三個(gè)條件是判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的主要依據(jù)，缺一不可．【考點(diǎn)總結(jié)】二、一元二次方程的解法一、直接開(kāi)方法解一元二次方程1、直接開(kāi)平方法的理論依據(jù)：

平方根的定義.

2、能用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的類(lèi)型有兩類(lèi)：

①形如關(guān)于的一元二次方程，可直接開(kāi)平方求解.

若，則；表示為，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；

若，則；表示為，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

若，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根．

②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開(kāi)平方求解，兩根是

。例解方程．把x-3看作一個(gè)整體，直接開(kāi)平方，得

x-3=7或x-3=-7．

由x-3=7，得x=10．

由x-3=-7，得x=-4．

所以原方程的根為x=10或x=-4．

【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，如果把x+m看作一個(gè)整體，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接開(kāi)平方法求解的方程；這就是說(shuō)，一個(gè)方程如果可以變形為這個(gè)形式，就可用直接開(kāi)平方法求出這個(gè)方程的根．所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標(biāo)．【針對(duì)訓(xùn)練】1、；2、?！敬鸢浮拷猓?1)3x+2=±2（x﹣1），∴3x+2=2x﹣2或3x+2=﹣2x+2，∴x1=﹣4；x2=0．

(2)(x-2)=±5

∴x-2=5或x-2=-5

∴x1=7,x2=-3.二、配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步驟一化：化二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；二移：移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；3、三配：①配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程化為的形式；②方程左邊變形為一次二項(xiàng)式的完全平方式，右邊合并為一個(gè)常數(shù)；4、四解：①用直接開(kāi)平方法解變形后的方程，此時(shí)需保證方程右邊是非負(fù)數(shù)。②分別解這兩個(gè)一元二次方程，求出兩根?！揪淅}】解方程：．【思路點(diǎn)撥】首先進(jìn)行移項(xiàng)，得到x2+4x=1，方程左右兩邊同時(shí)加上4，則方程左邊就是完全平方式，右邊是常數(shù)的形式，再利用直接開(kāi)平方法即可求解．【答案與解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【針對(duì)訓(xùn)練】用配方法解方程.1、2、【答案】(1)方程變形為x2-4x=2．

兩邊都加4，得x2-4x+4=2+4．

利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．

解這個(gè)方程，得x-2=或x-2=-．

于是，原方程的根為x=2+或x=2-．

(2)將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊x2+6x=-8．

兩邊都加“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，

∴(x+3)2=1．

用直接開(kāi)平方法，得x+3=±1，

∴x=-2或x=-4．【精典例題】用配方法證明：二次三項(xiàng)式的值一定小于0．【答案與解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．【精典例題】已知，求的值．【思路點(diǎn)撥】解此題關(guān)鍵是把拆成，可配成兩個(gè)完全平方式．【答案與解析】將原式進(jìn)行配方，得，即，∴且，∴，．∴．【總結(jié)升華】本題可將原式用配方法轉(zhuǎn)化成平方和等于0的形式，進(jìn)而求出a．b的值．三、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.

2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：．

①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

3.用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；

③求出的值；④判斷【精典例題】用公式法解下列方程．(1)；(2)；(3)．【答案與解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1=，x2=．(2)原方程化為一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1=，x2=．【總結(jié)升華】用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是對(duì)a、b、c的確定．用這種方法解一元二次方程的步驟是：(1)把方程化為一元二次方程的一般形式；(2)確定a，b，c的值并計(jì)算的值；(3)若是非負(fù)數(shù)，用公式法求解．【針對(duì)訓(xùn)練】用公式法解方程：．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2=．【精典例題】用公式法解下列方程：(1)；(2)；（3）．【思路點(diǎn)撥】針對(duì)具體的試題具體分析，不是一般式的先化成一般式，再寫(xiě)出a,b,c的值，代入求值即可.【答案與解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x1=，x2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=，∴x1=，x2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b2﹣4ac=9+28=37.x==，解得x1=，x2=．【總結(jié)升華】首先把每個(gè)方程化成一般形式，確定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．【針對(duì)訓(xùn)練】解方程：．思路分析：利于求根公式x=來(lái)解方程．解：關(guān)于x的方程x2-3x-1=0的二次項(xiàng)系數(shù)a=1，一次項(xiàng)系數(shù)b=-3，常數(shù)項(xiàng)c=-1，則

x═=，解得，x1=，x2=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了解一元二次方程--公式法．利于公式x=來(lái)解方程時(shí)，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含義．四、十字相乘法解一元二次方程1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)系數(shù)。2、十字相乘法的用處：（1）用十字相乘法來(lái)分解因式。（2）用十字相乘法來(lái)解一元二次方程。3、十字相乘法的優(yōu)點(diǎn)：用十字相乘法來(lái)解題的速度比較快，能夠節(jié)約時(shí)間，而且運(yùn)用算量不大，不容易出錯(cuò)。4、十字相乘法的缺陷：①有些題目用十字相乘法來(lái)解比較簡(jiǎn)單，但并不適用于每一道題。②十字相乘法只適用于二次三項(xiàng)式類(lèi)型的題目?！揪淅}】解方程分析：把x2-8x+15看成關(guān)于x的一個(gè)二次三項(xiàng)式，則15可分成1×15，3×5。解：因?yàn)?-3

1╳-5所以原方程可變形（x-3）（x-5）=0

所以x1=3x2=5【精典例題】解一元二次方程：它的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為－2，常數(shù)項(xiàng)為－3。因?yàn)樗南禂?shù)滿足，，所以用十字相乘法可將原式化為五、因式分解法解一元二次方程【精典例題】解方程：（1）（2）上面兩個(gè)方程中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面兩個(gè)方程都可以寫(xiě)成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至少其中一個(gè)因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開(kāi)平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法．專(zhuān)題07分式方程【考點(diǎn)總結(jié)】一、分式方程1．分母里含有未知數(shù)的有理方程叫分式方程．2．使分式方程分母為零的未知數(shù)的值即為增根；分式方程的增根有兩個(gè)特征：(1)增根使最簡(jiǎn)公分母為零；(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．【考點(diǎn)總結(jié)】二、分式方程的基本解法解分式方程的一般步驟：(1)去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；(2)解這個(gè)整式方程，求得方程的根；(3)檢驗(yàn)，把解得整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母為零，則它不是原方程的根，而是方程的增根，必須舍去；如果使最簡(jiǎn)公分母不為零，則它是原分式方程的根．【考點(diǎn)總結(jié)】三、分式方程的實(shí)際應(yīng)用分式方程的應(yīng)用題與一元一次方程應(yīng)用題類(lèi)似，不同的是要注意檢驗(yàn)：(1)檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解；(2)檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際．【考點(diǎn)】一、去分母解分式方程例1、解方程：eq\f(x,x＋2)＋eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(8,x2－4).解：去分母，得x(x－2)＋(x＋2)2＝8.x2－2x＋x2＋4x＋4＝8.整理，得x2＋x－2＝0.解得x1＝－2，x2＝1.檢驗(yàn)，當(dāng)x1＝－2時(shí)，x2－4＝4－4＝0，∴x1＝－2是增根；當(dāng)x2＝1時(shí)，x2－4＝1－4＝－3≠0，∴x2＝1是原方程的根．∴原方程的根是x＝1.解分式方程時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)去分母時(shí)，要將最簡(jiǎn)公分母乘以每一個(gè)式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程時(shí)必須檢驗(yàn)，檢驗(yàn)時(shí)只要代入最簡(jiǎn)公分母看其是否為0即可．若能使最簡(jiǎn)公分母為0，則該解是原方程的增根．【考點(diǎn)】二、分式方程的增根例2、已知方程eq\f(1,4－x2)＋2＝eq\f(m,x－2)有增根，求m的值．解：將分式方程去分母，得到1＋2(4－x2)＝－m(2＋x)．∵方程eq\f(1,4－x2)＋2＝eq\f(m,x－2)有增根，∴由4－x2＝0或x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－2.將x1＝2代入1＋2(4－x2)＝－m(2＋x)，得m＝－eq\f(1,4)；將x2＝－2代入1＋2(4－x2)＝－m(2＋x)，得等式不成立．∴x1＝2是方程的增根，x2＝－2不是增根．∴m的值為－eq\f(1,4).利用增根求分式方程中字母的值：(1)確定增根；(2)將原分式方程化成整式方程；(3)增根代入變形后的整式方程，求出字母的值．【考點(diǎn)】三、分式方程的應(yīng)用例3、2017年開(kāi)春以來(lái)，湖北省發(fā)生了嚴(yán)重的旱災(zāi)，連續(xù)5個(gè)多月無(wú)有效降水，為抗旱救災(zāi)，某部隊(duì)計(jì)劃為駐地村民新修水渠3600米，為了水渠能盡快投入使用，實(shí)際工作效率是原計(jì)劃工作效率的1.8倍，結(jié)果提前20天完成修水渠任務(wù)．問(wèn)原計(jì)劃每天修水渠多少米？分析：設(shè)原計(jì)劃每天修水渠x米，則按原計(jì)劃修完水渠需用eq\f(3600,x)天，實(shí)際修完水渠需用eq\f(3600,1.8x)天．等量關(guān)系為：按原計(jì)劃修完水渠用的時(shí)間－實(shí)際修完水渠用的時(shí)間＝20.解：設(shè)原計(jì)劃每天修水渠x米．根據(jù)題意得：eq\f(3600,x)－eq\f(3600,1.8x)＝20，解得x＝80.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是原分式方程的解．答：原計(jì)劃每天修水渠80米．列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”，將實(shí)際問(wèn)題抽象為方程問(wèn)題．同時(shí)，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)是否合理．專(zhuān)題08一元一次不等式(組)【考點(diǎn)總結(jié)】一、不等式的有關(guān)概念及其性質(zhì)1．不等式的有關(guān)概念(1)不等式：用符號(hào)“＜”或“＞”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．(2)不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集．(3)解不等式：求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式．2．不等式的基本性質(zhì)(1)不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或整式)，不等號(hào)的方向不變，即若a＜b，則a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．(2)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即若a＜b，且c＞0，則ac＜bceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(a,c)<\f(b,c))).(3)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即若a＜b，且c＜0，則ac＞bceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(a,c)>\f(b,c))).【考點(diǎn)總結(jié)】二、一元一次不等式(組)的解法1．一元一次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一次不等式的基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1.3．一元一次不等式組：關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組．4．一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫這個(gè)一元一次不等式組的解集．5．一元一次不等式組解集的確定方法若a＜b，則有：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a，,x<b))的解集是x＜a，即“同小取小”．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>a，,x>b))的解集是x＞b，即“同大取大”．(3)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>a，,x<b))的解集是a＜x＜b，即“大小小大中間夾”．(4)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a，,x>b))的解集是空集，即“大大小小無(wú)解答”．【考點(diǎn)總結(jié)】三、不等式(組)的應(yīng)用1．列不等式或不等式組解決實(shí)際問(wèn)題，要注意抓住問(wèn)題中的一些關(guān)鍵詞語(yǔ)，如“至少”“最多”“超過(guò)”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．這些都體現(xiàn)了不等關(guān)系，列不等式時(shí)，要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號(hào)．另外，對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際．2．列不等式(組)解應(yīng)用題的一般步驟：(1)審題；(2)設(shè)未知數(shù)；(3)找出能夠包含未知數(shù)的不等量關(guān)系；(4)列出不等式(組)；(5)求出不等式(組)的解；(6)在不等式(組)的解中找出符合題意的值；(7)寫(xiě)出答案(包括單位名稱)．【考點(diǎn)】一、不等式的性質(zhì)例1、如果a＜b＜0，下列不等式中錯(cuò)誤的是()．A．a(chǎn)b＞0B．a(chǎn)＋b＜0 C．eq\f(a,b)＜1D．a(chǎn)－b＜0解析：由a＜b＜0知：a，b同號(hào)，均為負(fù)數(shù)，由兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)知A選項(xiàng)正確；由同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加知B選項(xiàng)正確；由題意可知，|a|＞|b|＞0，同時(shí)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可知eq\f(a,b)＞0，因此eq\f(a,b)＞1，C錯(cuò)；|a|＞|b|，a＜b＜0，則a－b＜0，D正確．答案：C不等式的基本性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，是我們應(yīng)掌握的基本知識(shí)．特別要注意的是，不等式的兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變．【考點(diǎn)】二、不等式(組)的解集的數(shù)軸表示例2、不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4<0，,x＋1≥0))的解集在數(shù)軸上表示正確的是()．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4<0，(1),x＋1≥0，(2)))由(1)得x＜2；由(2)得x≥－1，所以－1≤x＜2.根據(jù)“大小小大中間夾”，有等號(hào)畫(huà)實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)畫(huà)空心圓圈．可知B正確．答案：B不等式(組)的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，具體表示方法是先確定邊界點(diǎn)：解集包含邊界點(diǎn)，則邊界點(diǎn)是實(shí)心圓點(diǎn)；解集不包含邊界點(diǎn)，則邊界點(diǎn)是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左．【考點(diǎn)】三、不等式(組)的解法【精典例題】3、(1)解不等式eq\f(3,2)x－4＜3(x＋1)；(2)解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2(x－1)≤5，,\f(3x－2,2)<x＋\f(1,2)，))并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．解：(1)去分母3x－8＜6(x＋1)，去括號(hào)，得3x－8＜6x＋6，移項(xiàng)，得－3x＜14，系數(shù)化為1得x＞－eq\f(14,3)；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2(x－1)≤5，,\f(3x－2,2)<x＋\f(1,2)，))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,②))解不等式①，得x≥－1.解不等式②，得x＜3.在同一數(shù)軸上表示不等式①②的解集如下：∴原不等式組的解集為－1≤x＜3.1．解不等式與解方程類(lèi)似，不同之處在于系數(shù)化為1時(shí)，若不等式兩邊同時(shí)乘(或除)以一個(gè)負(fù)數(shù)，要改變不等號(hào)的方向．2．解不等式組的方法是分別解不等式組中各個(gè)不等式，再利用數(shù)軸求出這些不等式的公共部分．解不等式組與解方程組截然不同，不能將兩個(gè)不等式相加或相減，否則將可能出現(xiàn)錯(cuò)誤．【考點(diǎn)】四、確定不等式(組)中字母的取值范圍【精典例題】4、關(guān)于x的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋15,2)>x－3，,\f(2x＋2,3)<x＋a))只有4個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是()．A．－5≤a≤－eq\f(14,3)B．－5≤a＜－eq\f(14,3) C．－5＜a≤－eq\f(14,3)D．－5＜a＜－eq\f(14,3)解析：解原不等式組，得2－3a＜x＜21.由已知條件可知2－3a＜x＜21包含4個(gè)整數(shù)解，這4個(gè)整數(shù)解應(yīng)為17,18,19,20，這時(shí)2－3a應(yīng)滿足16≤2－3a＜17，解得－5＜a≤－eq\f(14,3)，故應(yīng)選C．答案：C根據(jù)不等式(組)的解集確定待定系數(shù)的取值范圍，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般先求出含有字母系數(shù)的不等式(組)的解集，再根據(jù)已知不等式(組)的解集情形，求出字母的取值范圍．【考點(diǎn)】五、不等式(組)的應(yīng)用例5、某家電商場(chǎng)計(jì)劃用32400元購(gòu)進(jìn)“家電下鄉(xiāng)”指定產(chǎn)品中的電視機(jī)、冰箱、洗衣機(jī)共15臺(tái)，三種家電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：(1)在不超出現(xiàn)有資金的前提下，若購(gòu)進(jìn)電視機(jī)的數(shù)量和冰箱的數(shù)量相同，洗衣機(jī)數(shù)量不大于電視機(jī)數(shù)量的一半，商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案？(2)國(guó)家規(guī)定：農(nóng)民購(gòu)買(mǎi)家電后，可根據(jù)商場(chǎng)售價(jià)的13%領(lǐng)取補(bǔ)貼．在(1)的條件下，如果這15臺(tái)家電全部銷(xiāo)售給農(nóng)民，國(guó)家財(cái)政最多需補(bǔ)貼農(nóng)民多少元？解：(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)電視機(jī)、冰箱各x臺(tái)，則洗衣機(jī)為(15－2x)臺(tái)．依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15－2x≤\f(1,2)x，,2000x＋2400x＋1600(15－2x)≤32400.))解得6≤x≤7.∵x為正整數(shù)，∴x＝6或7.方案1：購(gòu)進(jìn)電視機(jī)和冰箱各6臺(tái)，洗衣機(jī)3臺(tái)；方案2：購(gòu)進(jìn)電視機(jī)和冰箱各7臺(tái)，洗衣機(jī)1臺(tái)．(2)方案1需補(bǔ)貼：(6×2100＋6×2500＋3×1700)×13%＝4251(元)；方案2需補(bǔ)貼：(7×2100＋7×2500＋1×1700)×13%＝4407(元)；∴國(guó)家財(cái)政最多需補(bǔ)貼農(nóng)民4407元．利用不等式(組)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵抓住題目中表示不等關(guān)系的語(yǔ)句，列出不等式，問(wèn)題的答案不僅要根據(jù)解集，還要根據(jù)使實(shí)際問(wèn)題有意義確定．

專(zhuān)題09平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)的概念【考點(diǎn)總結(jié)】一、平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)特征1．平面直角坐標(biāo)系如圖，在平面內(nèi)，兩條互相豎直的數(shù)軸的交點(diǎn)O稱為原點(diǎn)，水平的數(shù)軸叫x軸(或橫軸)，豎直的數(shù)軸叫y軸(或縱軸)，整個(gè)坐標(biāo)平面被x軸、y軸分割成四個(gè)象限．2．各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征點(diǎn)P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；點(diǎn)P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；點(diǎn)P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；點(diǎn)P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.3．坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x，y)在x軸上y＝0，x為任意實(shí)數(shù)；點(diǎn)P(x，y)在y軸上x(chóng)＝0，y為任意實(shí)數(shù)；點(diǎn)P(x，y)在坐標(biāo)原點(diǎn)x＝0，y＝0.【考點(diǎn)總結(jié)】二、特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特征1．對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征點(diǎn)P(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x，－y)；關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－x，y)；關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(－x，－y)．2．與坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征平行于x軸：橫坐標(biāo)不同，縱坐標(biāo)相同；平行于y軸：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)不同．3．各象限角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相同，第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【考點(diǎn)總結(jié)】三、距離與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系1．點(diǎn)與原點(diǎn)、點(diǎn)與坐標(biāo)軸的距離(1)點(diǎn)P(a，b)到x軸的距離等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，即|b|；點(diǎn)P(a，b)到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，即|a|.(2)點(diǎn)P(a，b)到原點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)的平方和的算術(shù)平方根，即eq\r(a2＋b2).2．坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離(1)在x軸上兩點(diǎn)P1(x1,0)，P2(x2,0)間的距離|P1P2|＝|x1－x2|.(2)在y軸上兩點(diǎn)Q1(0，y1)，Q2(0，y2)間的距離|Q1Q2|＝|y1－y2|.(3)在x軸上的點(diǎn)P1(x1,0)與y軸上的點(diǎn)Q1(0，y1)之間的距離|P1Q1|＝eq\r(x12＋y12).【考點(diǎn)總結(jié)】四、函數(shù)有關(guān)的概念及圖象1．函數(shù)的概念一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x是自變量．2．常量和變量在某一變化過(guò)程中，保持一定數(shù)值不變的量叫做常量；可以取不同數(shù)值的量叫做變量．3．函數(shù)的表示方法函數(shù)主要的表示方法有三種：(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法．4．函數(shù)圖象的畫(huà)法(1)列表：在自變量的取值范圍內(nèi)取值，求出相應(yīng)的函數(shù)值；(2)描點(diǎn)：以x的值為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)y的值作為縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)；(3)連線：按自變量從小到大的順序用光滑曲線連接所描的點(diǎn)．【考點(diǎn)總結(jié)】五、函數(shù)自變量取值范圍的確定確定自變量取值范圍的方法：1．自變量以分式形式出現(xiàn)，它的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù)．2．當(dāng)自變量以二次方根形式出現(xiàn)，它的取值范圍是使被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)；以三次方根出現(xiàn)時(shí)，它的取值范圍為全體實(shí)數(shù)．3．當(dāng)自變量出現(xiàn)在零次冪或負(fù)整數(shù)次冪的底數(shù)中，它的取值范圍是使底數(shù)不為零的實(shí)數(shù)．4．在一個(gè)函數(shù)關(guān)系式中，同時(shí)有幾種代數(shù)式，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)是各種代數(shù)式中自變量取值范圍的公共部分．【考點(diǎn)】一、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征例1、在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)(2x＋1，x－2)在第四象限，則x的取值范圍是()．A．x＞－eq\f(1,2)B．x＜2 C．x＜－eq\f(1,2)或x＞2D．－eq\f(1,2)＜x＜2解析：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1>0，,x－2<0，))解得－eq\f(1,2)＜x＜2.答案：D掌握平面直角坐標(biāo)系中各象限及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，構(gòu)造不等式(組)是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法．【考點(diǎn)】二、距離與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系例2、如圖，直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，其中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，則△ABC的面積為_(kāi)_________平方單位．解析：利用數(shù)軸得出B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,3)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，然后利用割補(bǔ)法，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)與距離的關(guān)系求出△ABC的面積．答案：5【考點(diǎn)】三、函數(shù)圖象的應(yīng)用例3、如圖，一只螞蟻從O點(diǎn)出發(fā)，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行一周，設(shè)螞蟻的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，螞蟻到O點(diǎn)的距離為s，則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為()．解析：本題是典型的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，通過(guò)對(duì)圖形的觀察，可以看出s與t的函數(shù)圖象應(yīng)分為三段：(1)當(dāng)螞蟻從點(diǎn)O到點(diǎn)A時(shí)，s與t成正比例函數(shù)關(guān)系；(2)當(dāng)螞蟻從點(diǎn)A到點(diǎn)B時(shí)，s不變；(3)當(dāng)螞蟻從點(diǎn)B回到點(diǎn)O時(shí)，s與t成一次函數(shù)關(guān)系，且回到點(diǎn)O時(shí)，s為零．答案：C利用函數(shù)關(guān)系和圖象分析解決實(shí)際問(wèn)題，要透過(guò)問(wèn)題情境準(zhǔn)確地尋找出問(wèn)題的自變量和函數(shù)，探求變量和函數(shù)之間的變化趨勢(shì)，合理地分析變化過(guò)程，準(zhǔn)確地結(jié)合圖象解決實(shí)際問(wèn)題．【考點(diǎn)】四、函數(shù)自變量取值范圍的確定例4、函數(shù)y＝eq\f(\r(x＋2),x－2)的自變量x的取值范圍是()．A．x≥－2且x≠2 B．x＞－2且x≠2 C．x＝±2 D．全體實(shí)數(shù)解析：要使函數(shù)有意義，必須同時(shí)滿足二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不能為零，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－2≠0，))解得x≥－2且x≠2.答案：A求函數(shù)自變量的取值范圍，往往通過(guò)解不等式或不等式組來(lái)確定．因此，掌握一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，是求函數(shù)自變量取值范圍的基礎(chǔ)，同時(shí)要學(xué)會(huì)這種轉(zhuǎn)化的思想方法．

專(zhuān)題10一次函數(shù)【考點(diǎn)總結(jié)】一、一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義一般地，如果y＝kx＋b(k，b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù)．特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，一次函數(shù)y＝kx＋b就成為y＝kx(k是常數(shù)，k≠0)，這時(shí)y叫做x的正比例函數(shù)．【考點(diǎn)總結(jié)】二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．一次函數(shù)的圖象(1)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，b)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)，0))的一條直線．(2)正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)和(1，k)的一條直線．2．一次函數(shù)圖象的性質(zhì)一次函數(shù)y＝kx＋b，當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，y隨x的增大而減小．【考點(diǎn)總結(jié)】三、一次函數(shù)解析式的確定常用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法的一般步驟是：1．設(shè)出函數(shù)解析式；2．根據(jù)已知條件求出未知的系數(shù)；3．具體寫(xiě)出這個(gè)解析式．【考點(diǎn)總結(jié)】四、一次函數(shù)與方程、方程組及不等式的關(guān)系1．y＝kx＋b與kx＋b＝0直線y＝kx＋b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直線y＝kx＋b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．y＝kx＋b與不等式kx＋b＞0從函數(shù)值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集為使函數(shù)值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范圍；從圖象的角度看，由于一次函數(shù)的圖象在x軸上方時(shí)，y＞0，因此kx＋b＞0的解集為一次函數(shù)在x軸上方的圖象所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍．3．一次函數(shù)與方程組兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是它們的解析式所組成的二元一次方程組的解；以二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是兩個(gè)二元一次方程所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)．【考點(diǎn)】一、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1、點(diǎn)P1(x1，y1)和點(diǎn)P2(x2，y2)是一次函數(shù)y＝－4x＋3圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且x1＜x2，則y1與y2的大小關(guān)系是()．A．y1＞y2B．y1＞y2＞0 C．y1＜y2D．y1＝y(tǒng)2解析：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝－4x＋3中k＜0，根據(jù)其性質(zhì)，y隨x的增大而減?。援?dāng)x1＜x2時(shí)，y1＞y2.答案：A解有關(guān)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與性質(zhì)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：①一次函數(shù)圖象分布特征與k，b的符號(hào)之間的關(guān)系；②一次函數(shù)圖象的增減性與k的符號(hào)之間的關(guān)系；③一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及圍成的圖形的面積等．【考點(diǎn)】二、求一次函數(shù)解析式例2、婁底至新化高速公路的路基工程分段招標(biāo)，市路橋公司中標(biāo)承包了一段路基工程，進(jìn)入施工場(chǎng)地后，所挖筑路基的長(zhǎng)度y(m)與挖筑時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請(qǐng)根據(jù)提供的信息解答下列問(wèn)題：(1)求在0≤x＜2的時(shí)間段內(nèi)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求在x≥2時(shí)間段內(nèi)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)用所求的函數(shù)解析式預(yù)測(cè)完成1620m的路基工程，需要挖筑多少天？解：(1)當(dāng)0≤x＜2時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx，∴40＝k.∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝40x(0≤x＜2)．(2)當(dāng)x≥2時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(115＝3k＋b，,255＝7k＋b，))解之，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝35，,b＝10.))∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝35x＋10(x≥2)．(3)當(dāng)y＝1620時(shí)，35x＋10＝1620，x＝46.答：需要挖筑46天．確定一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，可先設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)條件確定關(guān)系式中未知的數(shù)．根據(jù)圖象，由兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可確定一次函數(shù)關(guān)系式，正比例函數(shù)只需一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【考點(diǎn)】三、一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系例3、如圖，已知函數(shù)y＝ax＋b和y＝kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖象可得二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是__________．解析：如圖所示，二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解就是直線y＝ax＋b與直線y＝kx的交點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)就是方程組的解，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2.))答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2))兩個(gè)函數(shù)圖