2021高考數(shù)學押題預測例題詳解+歷年考情分析

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2021高考數(shù)學押題預測例題詳解+歷年考情分析

一、三角函數(shù)大題和數(shù)列大題

歷年考情：

在全國I卷中每年只考一個，不考的那一個一般用一道或兩道小題代替.三角函

數(shù)大題側(cè)重于考解三角形，重點考查正、余弦定理，小題中側(cè)重于考查三角函數(shù)

的圖象和性質(zhì).數(shù)列一般考求通項、求和.數(shù)列應(yīng)用題已經(jīng)多年不考了，總體來

說數(shù)列的地位已經(jīng)降低，題目難度小。

理科數(shù)學2016、2017、2018、2019連續(xù)四年沒有考查數(shù)列解答題,都是以選

擇填空形式出現(xiàn)。

解三角形問題除了直接利用正余以定理和三角變換的公式（sin（a+3）=sinC=cos（J+3）=-cosC這類

用的較多）需要重點掌握外，還需要了解邊角互化的本質(zhì)（外接圓2及）；多個三角形中利用多次正弦或

余弦定理相結(jié)合（互補角、互余角、比值、加減）；作平行線（已知某邊上一點的位置關(guān)系時候較多）；

面枳比值（已知角平分線時候較多）；銳角三角形三個角都要限制為銳角；鈍角三角形要求最大角的余弦

小于0；題目條件要充分互相結(jié)合進行求解，設(shè)未知數(shù)和代換思想很重要。

解三角形中的最值問題（bc.b+c,/+J,周長,面積）余弦定理和基本不等式（而＜（"+6）’4亡三）

42

要相互結(jié)合，解答題不要忘記等號成立的條件。

等差等比用通項公式和前n項公式，等比問題學會作比值化簡；構(gòu)造法要掌握類型特點；證明等差等

比先做差或商，推導常數(shù)；先下等差等比的結(jié)論再用等差等比的通項和性質(zhì)；特別注意鼠和的關(guān)

系，怎=長11.、，兩個方向都可以轉(zhuǎn)化；分組求和'裂項相消法和錯位相減法要看清通項的形式；

奇偶項問題找清楚項數(shù)很關(guān)鍵，可令，1=2礴〃=2為+1;不等式問題可以利用函數(shù)思想，特別注怠

“21；數(shù)列增減問題，作差判斷正負，a*i-a.>0(<0)。，

2021高考押題：

3

例82、在△.45。中，內(nèi)角4B、。所對的邊長分別是a、b、c,已知。5汕3=兒。5乂，cosB=-.

(1)求cosC的值；(2)苕。=15,。為邊上的點，S.2.W=BD,求。?的長.a

(1)—(2)：.CD=13^

10

例83、在&4BC中，角H,B,。的對邊分別為"，b,c.已知bsinB-asin4=c.，

(I)求證：=(H)若。=/，C=￡,求的面積.e

(1)略(2),S皿=卜。皿5=:)<心；凡岳巴3=當.”

例84、已知&4BC中，內(nèi)角.4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2a=3c.~

(I)若tanB=2tanC,求5;(口)若&必。的面積為3后國4=3道，求的周長.。

"T

(1)8=9…5(2)A/1BC的周長為a-b-c=5/一VT5.1

例85、在M3C中，角.4,B,C的對邊分別為eb,"且SWn：?=28s2(H-5)+7.一

(I)求角。的大??；(口)若點。為BC中點，且加=2",a=4,求M3C的面積.”

(1)(2)=—^sinC=—X4X4X2^=4-73.“

例86、在213c中，內(nèi)角一4,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知皿修-'-我sin(B+當=0,

且WnH,sinB,2sinC同港比數(shù)歹(J.”

(I)求角8;(II)若&+。=動(幺€尺)，求2的值.e

⑴二?、瓢撕?一

例87、已知數(shù)列｛a〃｝滿足上工=1,且@=1.(1)證明:數(shù)列金+1｝為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列｛工+2〃｝的前〃項和

On+1an。篦

Sn.l

(1)證明略(2)"(詈),。+產(chǎn)=2〃+1+必2田

例88、已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,公比g>l,且q+1為q,%的等差中項，S；=14.“

(I)求數(shù)列｛aj的通項公式(H)記?=a<og：4,求數(shù)列色)的前”項和3

解：(1)二4=2".(2)7；=(?-1).2**1+2.P

例、設(shè)數(shù)列｛嗎的前"項和為已知

89S",q=1,S,.1=4a+2(〃eV),e

(1)設(shè)久=4T-2q,證明數(shù)列也｝是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列SJ的通項公式.一

解：⑴暗(2)4=(3"1)?2-：(“,『).“

例、設(shè)為數(shù)列｛/｝的前〃項和，且

90S”4=1,n^1=(n+2)S?+n(n+l)(“

(1)證明：數(shù)列｛2+1｝為等比數(shù)列；(2)求，=Si+S?+….一

n

(1)略(2)?；=(〃—1)-2，+2-西爐。

,、123n

例91、已知數(shù)列SJ滿足二一口-…一1weJV*.*

2%-1

(I)求數(shù)列MJ的通項公式；(n)令*=s_i)：(a_i)：,數(shù)列色｝的前"項和為了，求證：4<1.

(I)0=〃+1(n)1

例92、已知數(shù)列M｝的前〃項和為S,,滿足：a=1,1]-1=S,-4,數(shù)列他｝為等比數(shù)列f滿足bi,

a=；<a,??eAr.a

(I)求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項公式；a

(H)若數(shù)列｛_」_｝的前"項和為甲，數(shù)列砂｝的前〃項和為7,試匕困甲與2的大小.-

解：(I)a,=?；b=(ly；(n)憶<4?“

二、立體幾何大題

歷年考情：

9年高考，每年1題.第1問多為證明平行垂直問題，第2問多為求二面角

或直線與平面所成的角，常用空間向量法求解。

輔助線；建系。

2021高考押題：

例93、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA1AD,底面四邊形.4BCD為直角梯形，3=zBC,.40/BC,

Z3CD=90°,￡為線段PB上一點.1

(I)若/=則在線段P5上是否存在點一W,使得平面PCD?若存在，請確定M點的位置；若

不存在，請說明理由；

(口)己知力=2,JD=1,若異面直線21與CD成90°角，二而角5-PC-。的余弦值為求CD

的長.a

【解忻】解：(I)平面PCD.-

理由如下：如圖取CN=gCB,連接AN,AN.可得加!CN,AD=CN,:.四邊形ADCN為平行四邊

形，，W/CD,N分別為尸3,CN的三等分點，二亮VR?...面4WV/面PCD,1

二出"/平面PCD.a

(D)如圖，過工作交3c與N,設(shè)CD=a.i

貝(]/(0,0,0),N(a,0,0),P。,0,2),D(0,1,0)|.C(a,1,0)5P=(0.-l12),DC=(a,0,0),^

Im?DP=-v-r2z=0____

設(shè)面P女的法向班灰r=。=八(°,犯C-T2),CN=(0T。)..

fn?CP=-ax,-v,-2Z]=0

設(shè)面PNC的法向量為為=(x,,儲,二J.1=萬=(2,0。).《

In,CN="Vj=0

皿向?。籢77=^n'=2.二8的長為2.

三、解析幾何大題

歷年考情：

9年高考，每年1題.特點：全國工卷中，載體用過拋物線和橢圓！不側(cè)重兩

類圓推曲線的整合，只側(cè)重于直線與圓錐曲線的聯(lián)系.圓錐曲線一定過方法關(guān)、

運算關(guān).其實近幾年的圓錐曲線題目更側(cè)重于運算.方法還是比較常規(guī)的.為什

么這樣呢？這與命題人的苦衷有關(guān)系，因為圓錐曲線是壓軸題，壓軸題不能簡單,

簡單了肯定不行.但太難、或是思維量太大又怕把很多人拒之門外，所以又不敢

出思維量太大的題目，最后就只剩下運算了，誰有能耐誰就能算出來，沒有能耐

就算不出來，但不能說題目難。

圓錐曲線的定義很重要，性質(zhì)要學會聯(lián)系；設(shè)直線聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)關(guān)系

（韋達定理）得出結(jié)論。

2021高考押題：

例94、動點尸到定點廠(0J)的距高比它到直線J=-2的距離小1,設(shè)動點尸的軌跡為曲線C過點下的

直線交曲線C于48兩個不同的點，過點48分別作曲線C的切線，且二者相交于點例.-

(1)求曲線C的方程；(2)求證：萬防=0;(3)求-例的面積的最小值.1

【解忻】(1)由已知，動點尸在直線.1'=-2上方，條件可轉(zhuǎn)化為動點尸到定點?(0J)的距離等于它到

直線J=T距離，二動點P的軌跡是以尸(0」)為焦點，直淺丁=-1為準線的拋物線,故其方程為x2=4y.

=4r

(2)證：設(shè)直送.18的方程為：y=&+l,由「，得：/-4"-4=0,〃

V=Ax4-l

設(shè)3(%JB),則與+&=4左，XX=-4.由『=4]-得：j=-■

AB4

二./=《x,二直線的方程為：.①，1

242

11、

38河的方班：j'一Z場2=彳&(z》一出)…②，.

：(右一七)=；(匕-XB)X+!(￡-V),即》=:!k^5.=2左，.

將*=*'旦代入=:-%:滬土產(chǎn)廣儲,.

1、---/、—，、、

-'y=-xAxB=-1,故M（2左一1）,，A￡F=（-2￡2）,.13=（4一打左（與一.0））,n

二^BMF=-2無（出-n）+2左3一匕）=0,二次一赤.

（3）的由（2）知，點財?shù)健霰氐木嚯x”=口陽=2而淳,，

?■?|-^8|=以同+忸下|=11+n+2=左（a+&）+4=4左：+4,1

二S=4例d=：x4（M+l）x2而淳=4（鋁+爐>4,1

二當上=0時，&IBM的面積有最小值4.

例95、已知動直線‘：)'=%(入+3)伏*0)與丁軸交于點月，過點.4作直線JBL,交'軸于點8,點。滿足

AC=3AB,C的軌跡為E.e

(I)求E的方程；，

(U)已知點尸(1,0),點G(2,0),過尸作斜率為用的直線交E于時，N兩點，延長A石，NG分別交E于

P,。兩點，記直線股的斜率為依，求證：)為定值.，

H-

【解忻】解：⑺動直線/：尸/-3)3*0)與丁軸交于點火0,3盼，“

???直線二直線.43的方程為：＞=-%+3左，交x軸于點3(39,0).3

設(shè)C(xj),點C滿足胃=3屈，二。，丁-3普=3(3吃-3*)..-.x=9^,產(chǎn)力無.0

消去方可得：/=4x(x*0).即為C的軌跡方程E.，

3)證明：設(shè)M,N,P,。的坐標依次為(為，工)。=1,2,3,4).”

?|\=a+1,,“

直線MV的方程為：x=0+l,聯(lián)立。=4x，化為：r-4a'-4=0,:.yi+yi=4tiy,y2=-4,，

?fx=wy+2,

設(shè)直線A站的方程為：、=沖'+2,聯(lián)立］=依，化為：F-8陽-8=0,“

88

二.5=-S,二八=——.同理可得：*=——.”

Jl必

..七―】44_A_A

''七一均J；v-v,^=7TT-二色_心一久一丁：一$_。為定值.”

——---2;Jj+"T""-----------------------------------/

四、概率統(tǒng)計大題

歷年考情：

9年高考，每年1題.第1問多為統(tǒng)計問題，第2問多為分布列、期望計算

問題；特點：實際生活背景在加強.頻率分布直方圖、莖葉圖、回歸分析、獨立

性檢驗、正態(tài)分布等都有可能考。以往概率統(tǒng)計大題一般在第18題或19題考,

2018年放在第20題考與導數(shù)結(jié)合，2019年放在第21題考與數(shù)列結(jié)合，這是

一個信號。

線性回歸的公式要理解含義學會代入數(shù)據(jù)，?正態(tài)分布要理解對稱性；二項分布和

超幾何分布要區(qū)別開；二項分布數(shù)學期望和方差可以直接用公式求解。

2021高考押題：

例96、某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售,已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的

廢品率只有兩種可能10%或者20%,兩種可能對應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100

元，廢品不值錢.現(xiàn)處理價格為每箱8400元，遇到廢品不予更換,以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為

決策依據(jù).”

(I)在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；~

(口)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機從一箱中抽取2件產(chǎn)品迸行檢驗.1

⑺若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%,記抽到的展品數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望；

5)若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有T牛是廢品，判斷是否可以購買.

【解忻】解：(I)在不開箱檢瞼的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值為：a

^=100x(1-02)x100x05-100x(1-0.1)x100x0.5=8500>8400，二在不開箱檢驗的情況下，可以購買,―

(口)⑺X的可能取值為0,1,2,a

P(X=0)?C?x0.2°x0.8：=0.64,P(X=1)=C：x0-2!x0-8!=032,P(X=2)=C：x0-8:x0?2°=0.04,

二X的分布列為：一

V2

pa

0.64-0.32Q0.0*

￡(^)=0x0.64-1x0.32*2x0.04=0.4,

(”)設(shè)事件乂：發(fā)現(xiàn)在抽取檢險的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，一

貝(J尸(A)=x02x0.8x0.5-C；x0.1x0.9x0.5=0251-

一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價格的期望值為V，貝曠7=8000,9000,=

nP(AR)CJx0.2x0.8x0.5

事件耳：抽取的廢品率為20%的一箱，則P(〃=8000)=P(5|H)=F^=I—K-----=0工4,」

P(A)

_P(AB-)C(x0.1x0.9x0.5

事件紇：抽取的廢品率為10%的一箱，則P(〃=900)=P(房|閻=^^=一—------=0.36,，

r\A)U.Z>

/.￡(7)=8000x0.64-9000x0.36=8360<8400,(

.已發(fā)現(xiàn)在抽取檢臉的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購買.~

例97、袋中裝有黑色球和白色球共7個，從中任取2個球都是白色球的廨為:.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中

輪流摸出1個球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸_____摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后終止.每

個球在每一次被摸出的機會都是等可能的，用-Y表示摸球終止時所需摸球的次數(shù).1

(1)求隨機變量X的分布列和均值E(X);(2)求甲摸到白色球的概率.一

、C'1

【解析】解：設(shè)袋中白色球共有I個，xeN?且x》2,則依題意知==亍，“

x(x-l)

所以即/一x—6=0,解彳導x=3(x=-2舍去).”

2^1

(1)袋中的7個球，3白4黑，隨機變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.

P(Jf=l)=4=1,P(X=2)=舉=￡p(x=3)=竽=假p(》=4)=號.，式

47'Ar7/d3)，⑷3〉，

父人1

P（X=5）=于=方.隨機變量X的分布列為J

X7

12Q324^5~

P0A

尹35

所以E（J0=lx2-2X2-3X9-4X_L+5X_L=2.

所以77353535

（2）記事件/為“甲摸到白色球”，則事件H包括以下三個互斥事件：。

4="甲第1次摸球時摸出白色球"；4="甲第2次摸球時摸出白色球”；，

4="甲第3次摸球時摸出白色球”.。

D/,、及3D/,、4461

依題意知，"4）=下=7，=-3~=35/=77~=351衛(wèi)

所以甲摸到白色球的概率為P（A）=P（4）-P（W）-P（4）=,+盤-宗=11.e

例98、某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定

"合格"、"不合格”兩個等級，同時對相應(yīng)等級進行量化："合格"記5分，"不合格”記0分.現(xiàn)隨

機抽取部分學生的成績，統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示：?

等級不合格-合格-

得分[20,40)*[40,60)4[60,80)[80r100)

xP*

殿:6g24^

（I）若測試的同學中，分數(shù)段［20,40）、［40,60）、［60,80）、［80,100］內(nèi)女生的人數(shù)分別為2人、

8人、16人、4A,完成2x2列聯(lián)表，并判斷：是否有90%以上的把握認為性^與安全意識有關(guān)？一

（H）用分層抽樣的方法，從評定等級為"合格"和"不合格”的學生中，共選取10人進行座談，現(xiàn)再

從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為X,求X的分布列及數(shù)學期望E（X）;」

（皿）某評估機構(gòu)以指標瓦石，其中5X）表示X的方差）來評估該校安全教育活動的成效，若

刊對.7,則認定教育活動是有效的；否則認定教育活動無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方亳在（H）的條件下,

判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？

附表及公式：小尹署哉修，其中』—.

P位，k0)Q0.1510.1020.05P0.025^0.01(P

2.072^2.7063.841Q5.024-6.635a

是否合格做卜不合格-合格-總計二

男生」9

女生口P

總計49

VA??

￡jm

0.02------

0.C15------

0.01—

0204。6c8010Cx

【解折】解：（I）由頻率分布直方圖可知，得分在RO,40）的頻率為0905x20=0」，故抽取的學生答

卷總數(shù)為六=60,.-1=60x0.2=12/x-18,~

性別與合格情況的2x2列聯(lián)表為：-

是否合格，不合格-合格-小計~

性別一

男生214^16330二

女生Q220730。

小計224-36-60二

^^60x(14x20-10x16/=10<2706

30x30x24x369

即超循誤概率不超過兜％的前提下，不能認為性SU與安全測試是否合格有關(guān).....-

（口）"不合格"和"合格"的人數(shù)比例為X&：36=2:3,因此抽取的10人中“不合格"有4人，”合

格"有6人，所以X可能的取值為20、15、10、5、0,“

P（X=20）噌$尸-1>=簧哈Pg0）=警V

P（丫=5）=等=5，9（工=0）=3=擊

1010.X的分布列為：。

2(P1531U5Q(p

IPIPAP

1421735210

KU1E<5=20XA-15XA-10X2-5XA-0XJ_=12

所以-1421735210

（in）由（n）知：”

:::::

Z）（A9=（20-12）xl,（15-12）xA-（10-12）x1-（5-12）x_L-（0-12）x5L=16

E⑶123

Al=-----=—=—>U.Z

D8164.故我們認為該校的安全教育活動是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.........

五、函數(shù)與導數(shù)大題

歷年考情：

函數(shù)與導數(shù)大題9年高考，每年1題.函數(shù)載體上：對數(shù)函數(shù)很受"器重"！

指數(shù)函數(shù)也較多出現(xiàn)！兩種函數(shù)也會同時出現(xiàn)！但是，無論怎么考，討論單調(diào)性

永遠是考杳的重點，而且緊緊圍繞分類整合思想的考查.在考查分離參數(shù)還是考

查不分離參數(shù)上，命題者會大做文章！分離（分參）還是不分離（部參），的確

是一個問題??！一般說來，主要考杳不分離問題（部參）。

另外，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化也不容忽視，如函數(shù)零點的討論.函數(shù)題設(shè)問靈活，多

數(shù)考生做到此題，時間緊，若能分類整合，搶一點分就很好了.還有，靈活性問

題：有些情況下函數(shù)性質(zhì)是不用導數(shù)就可以"看出"的，如增函數(shù)+增函數(shù)=增

函數(shù)，復合函數(shù)單調(diào)性,顯然成立的不等式，放縮法等等，總之,導數(shù)是很重要,

但是有些解題環(huán)節(jié)，不要"吊死"在導數(shù)上，不要過于按部就班！還有，數(shù)形結(jié)

合有時也是可以較快得到答案的，雖然應(yīng)為表達不嚴謹不得滿分，但是在時間緊

的情況下可以適當使用.

導數(shù)題強調(diào)用，用就是導數(shù)的應(yīng)用，即用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與極值.主要

包括：導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、用導數(shù)解決不等式問題、

恒成立問題、分離參數(shù)以及式子的變形與調(diào)整、構(gòu)造函數(shù)等等.在命題的載體上,

即使用何種函數(shù)上，命題者的函數(shù)是如何構(gòu)造出來的？首先確定是多項式函數(shù)、

還是指對函數(shù)、分式函數(shù)、根式函數(shù)，指對函數(shù)是單獨的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),

還是指對函數(shù)組合在一起，一個省份往往是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)交替出現(xiàn).在很

大程度上是先有的導函數(shù)，再有是原函數(shù).再把原函數(shù)適當調(diào)整，這樣就出現(xiàn)了

式子的調(diào)整與變形.調(diào)整變形是最難的一個環(huán)節(jié)??！分離參數(shù)是從方法的需要,

式子的調(diào)整是在原函數(shù)的基礎(chǔ)上適當變形所致。

2021高考押題：

例99、已知函數(shù)加）=七.一

（1）當時，求曲線八x）在（0,{0））處的切線方程；（2）求函數(shù)人x）的單調(diào)區(qū)間.-

【解析】解：當。=1時，八2=三，則"x）=*^.又/（0）=B=-l，"°）=3等=-2,“

所以/x）在（0,八0））處的切線方程為J'-（T）=-2（x-0）,即j=-2x-l；*

（2）由函數(shù)八x）=m，得：/（x）=」

當。=0時，八幻=舟<0,又函數(shù)的定義域為恒-D,所以"x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（一力（Wo）..

當a,0時，令<（》）=0,即。_0_1）=0,解得x=”，P

當a>0時，.v=—>1,所以_T（x）,八x）隨K的變化情況如下表

n

(-x,l)Q

1-(1,—(----.+00)-

aaa

-p-P一Q

無定義.04

/(X)P

減函數(shù),二’減因數(shù)」極小值-增函數(shù)」

所以以X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(TO])，(1,—),單調(diào)遞增區(qū)間為(佇上”)，1

aa

當。<0時，A=—<1,所以所以7\x),/(x)隨X的變化情況如下表1

/4+1、、(5)。

(f——)-3

aa

八x)Q-P一7

(P無定義」

加)一

增函數(shù)」極大值」減函數(shù)」減函數(shù)」

所以與X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-應(yīng)文口)，單調(diào)遞減區(qū)間為(生11,1),(1,^00).1

aa

例100、已知因數(shù)，(x)=J-a(x-ln?.。

X

(1)當。<0時，試求/(X)的單調(diào)區(qū)間；(2)若/(X)在(0,1)內(nèi)有極值，試求。的取值范圍.

1、e^x-l)1e'(x-l)-ox(x-l)(ex-or)(x-l)

1)f(x)=---———aQ-一)=-------------------=----------------?

X"XX*XT

當大。時，對于Vxe?+8),e*一辦>0恒成立，

所以/''(x)>0,x>l}f(x)<0,0<x<l.

所以單調(diào)熠區(qū)間為(L+x),單調(diào)減區(qū)間為(0:1).

(2)若/(x)在(0」)內(nèi)有極值，貝在xe(0」)內(nèi)有解.〃

令/"(x)=^——?空D=0,x-ov=0,a=J.設(shè)g(x)=3xe(0,l),，

XeXX

所以g'(x)=1'：二",當xe(0」)時，g<x)<0伽位，所以g(x)單調(diào)遞減.”

又因為g(D=e,又當xf0時，gCOf+<?,即g(x)在xe(0,l)上的值域為(e,楨)，

所以當a>e時，一呼—)。。有解..

設(shè)H(x)=e-ax,則目'(x)=e、-a<0xe((H),所以E(x)在xe(0」)單調(diào)遞減.，

因為H(0)=l>0,HQ)=e-a<0,，

所以H(x)=e'ax在xe(0,l)有唯一解與.一

所以有：一

X/(0,與)。而Q(%1)3

H(x)>+?0~-P

-P(P+S

/劍極小值-

所以當a>e時，/(x)在(01)內(nèi)有極值且唯一.3

當Xe時，當xe(0」)時，/(x)>0恒成立，/(x)單調(diào)遞置不成立.一

綜上，a的取值范圍為(e,M).*

例101、設(shè)圖數(shù)/（x）=B--x-瓦（x-3-x：）.*

（I）求函數(shù)八X）的極值點個數(shù)；1

【解忻】解：（I）???/（X）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故只需考慮xe（0,~°）上的極值點的個數(shù),

nA（）=（1x（x-*Xx_亭

/W=------.----，*-、）、，ft（x）=-----7―

/十廠也十X：

故xe（Q§時，力'。）＜0,3）遞減，xw咚,xo）時，介'。）＞0,〃。）遞胤故介電〈用0）=0,

取1=質(zhì)，3@="-1＞0,故在（《，一）上存在唯一的I使得。8,）=0,一

故7W在（0劣）遞減，在8,?）遞增，又八X）是奇函數(shù)，1

故八X）在（一?-。）遞增，在（一兀，%）遞減，在（L,+切遞胤故八X）的極值點共2個；1

六、選修4-4和選修4-5

歷年考情：

9年高考，是作為2個選做大題之一出現(xiàn)的，選修4-4主要考查兩個方面：一是

極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，二是極坐標方程的簡單應(yīng)用，難度較小。選修

4-5主要考絕對值不等式的解法（出現(xiàn)頻率太高了，應(yīng)當高度重視），偶爾也考

基本不等式.全國卷很少考不等式小題，如果說考的話，可以認為在其它小題中

考一些解法之類的問題.不等式作為一種工具，解題經(jīng)常用到，不單獨命小題顯

然也是合理的.不等式的證明一般考在函數(shù)導數(shù)綜合題中出現(xiàn)。

求不等式解集要分類討論；研究含參的最值或恒成立問題要學會分段函數(shù)思想，最好結(jié)合分段函數(shù)的圖像

（折線圉）；可以用絕對值不等式的性質(zhì)時，可以直接求最值或范圍（料-例4k±6區(qū)同+即；最值

問題要看形式?jīng)Q定可不可以用基本不等式。

2021高考押題：

例102、已知.一

（1）當。=1時，求不等式/。）＞1的解集；（2）若xe（0」）時不等式"x）＞x成立，求。的取值范圍.

2?x>1

當。=1時，/(x)=|x-l|-|x-l|=^2x-iCx^l,由/G)>1,二

【解析】解:(1)

{%L或空；

-23X<-1

解彳導x＞g,故的解9（g,?）,/

(2)當xe(0，l)時桎式/x)>x的，二x>0,即x-1-|a-l|-x>0,即

222-

/.-1<ax-1<1/.0<ot<2,vx6(0,1),/.a>0,0<x<-，。<二??,一>2,0<小2,一

4''''a9xx*'

故0的取值范圍為（0,2],

例103、已知函數(shù)〃x)=|3x+2|.”

(1)|^^/(x)<4-|x-l|；i

(2)已知物+“=1(皿〃>0),若k-a|-/(x)<L+L(a>0)恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

mn

【解析】⑴不等式/?(刈<4-卜一1|可化為：|3x+2|+|x-l|<40.

242

當xv-j時，?JV9-3x-2-x+l<4,解得一￡<x<一§j

當_：<:<1,①式為3x+2-x+l<4,解得一:4x

當x>】時,①式為3x+2+x-l<4,無解.

綜上所述，不等式〃x)<4一|x-l|的解集為

(2)解：—+-=—+-|(w+n)=2+—+—>4,u

mn\mnJmn

■$-^(x)=|x-a|-/(x)=|x-a|-|3x+2|='

222/

二X=一：時，gd)+a，期根式頓立，只需g(x)ax=1+V4,1

/10,<101

即on<W<，二實數(shù)取值范圍是J,二.一

例104、已知不等式山一1|+|2*-2。-3的解集是.4.1

(I)求集管a；(H)設(shè)X,.1'€避，對任意。€五，求證：^(||x-a|-|v-a||)<x:-r.

[Or]解：(I)當時,棺式哪為l-2x-2-2x<x-3,解得0<x<g；-

當;時，根為2x-l-2-2x<x-3,曲導上咫；一

當x>l時，不等j餓形為2x-l-2x-2<x-3,解得l<x<2；a

練上得以=住1°<、<2}.~

（口）"，ywH，.?.0<x,J<2,?Rx-3-4-a”（ia-a）-G+a）Hx-yl,一

」0<x,j<2，—><2,中_],|<2，二""-"1"'—"*?,d

..二工》2區(qū)L2Xy,,

二l|x—a|Tj'_a||<《一',即邛（|x+a|-|j-aD<x：+y：.d

'yx\yx

例105、已知函數(shù)/（x）=|x-刑Hx-2刑的最大值為九其中加>0.~

db'

（I）求加的值；（口）若JbeR,曲>0,出+廣=?M,求證：—+—>1.e

Da

f-37M.x^m

［解答］解：

（I）?.?m>Q,：./（x）=|x-m|-|x+2?M|='；-2x-m,-2m<x<m（

|3mfX4-2?M

當-2小時，TTx)取得最大值3洲.Aw=l.d

crbla，一04(a:^b2)-2crb21_,

(II)證明：由(I)得，cf^b1=1,--------------；—=--------；---------^—-lab.v

baababab

?：<r=X^lab,當且僅當a=°時等號成立.二0<。欠3,令力(/)=：-%,°<%；，貝！I%)在(0,芻

上單調(diào)遞減，二咐》七)=1,二當。<限!時，3-為除1,二