甘肅省蘭州市第四中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題含解析

甘肅省蘭州市第四中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)增區(qū)間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）2．已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.3．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.4．現(xiàn)有60瓶飲料，編號從1到60，若用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取6瓶進(jìn)行檢驗(yàn)，則所抽取的編號可能為（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，305．已知動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則線段的長度的最小值為（）A. B.4C. D.6．在正方體中，P，Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)B和點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在棱BA和上運(yùn)動至點(diǎn)A和點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，直線PQ與平面ABCD所成角的變化范圍為A. B.C. D.7．當(dāng)我們停放自行車時，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了（）A.三點(diǎn)確定一平面 B.不共線三點(diǎn)確定一平面C.兩條相交直線確定一平面 D.兩條平行直線確定一平面8．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.9．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.10．“且”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11．在平面內(nèi)，A，B是兩個定點(diǎn)，C是動點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計該年進(jìn)口總額為______千億元14．已知正方體的棱長為2，E為線段中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上動點(diǎn)，則（1）的最小值為______；（2）點(diǎn)F到直線DE距離的最小值為______.15．直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)，．若，則弦AB的長是____16．命題“若，則”的否命題為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，（1）證明：；（2）設(shè)平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值18．（12分）已知的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)19．（12分）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式20．（12分）已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)的距離.21．（12分）已知函數(shù)，且a0（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：22．（10分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數(shù)f（x）=xex的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）.故選：D.2、C【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)和作差法判斷大小依次判斷每個選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時，不等式不成立，錯誤；，故錯誤正確；當(dāng)時，不等式不成立，錯誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，作差法判斷大小，意在考查學(xué)生對于不等式知識的綜合應(yīng)用.3、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B4、A【解析】求得組距，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】，即組距為，A選項(xiàng)符合，其它選項(xiàng)不符合.故選：A5、A【解析】求出的最小值，由切線長公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時，最小，而，所以故選：A.6、C【解析】先過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意，得到即為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，設(shè)，推出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗睦庵鶠檎襟w，所以易得平面，因此即為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，設(shè)，則，，因?yàn)閮牲c(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在棱和上運(yùn)動至點(diǎn)和點(diǎn)，所以，因此，所以，因?yàn)?，所以，則，因此.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查求線面角的取值范圍，熟記線面角的定義即可，屬于?？碱}型.7、B【解析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，使得自行車穩(wěn)定,此時自行車與地面的三個接觸點(diǎn)不在同一條線上.【詳解】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時三個接觸點(diǎn)不在同一條線上,所以可以確定一個平面，即地面，從而使得自行車穩(wěn)定.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查不共線的三個點(diǎn)確定一個平面，屬于簡單題.8、D【解析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D9、A【解析】作出可行域，利用代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立可得，即點(diǎn)，代數(shù)式的幾何意義是連接可行域內(nèi)一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在可行域內(nèi)運(yùn)動時，直線的傾斜角為銳角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線的傾斜角最大，此時取最大值，即.故選：A.10、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義和橢圓的標(biāo)椎方程，判斷可得出結(jié)論.【詳解】解：充分性：當(dāng)，方程表示圓，充分性不成立；必要性：若方程表示橢圓，則，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B.11、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12、C【解析】根據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點(diǎn)，由，解得，此時，，當(dāng)時，即，解得，所以，預(yù)計該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6514、①.；②..【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.空一：利用空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合平面兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；空二：根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有.空一：，代數(shù)式表示橫軸上一點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，如下圖所示：設(shè)關(guān)于橫軸的對稱點(diǎn)為，當(dāng)線段與橫軸的交點(diǎn)為點(diǎn)時，有最小值，最小值為；空二：設(shè)，為垂足，則有，，，因?yàn)?，所以，因此，化簡得：，?dāng)時，即時，此時，有最小值，即最小值為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.15、4【解析】由題意得，再結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】由題意得，由拋物線的定義知：，故答案為：4.16、若，則【解析】否命題是對命題的條件和結(jié)論同時否定，同時否定和即可.命題“若，則”的否命題為:若，則考點(diǎn)：四種命題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設(shè)平面MND的一個法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個法向量，因?yàn)?，設(shè)l與平面MND所成角為，則18、（1）（2）【解析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案；（2）求出的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問1詳解】的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，所以.【小問2詳解】，因此時，有理項(xiàng)，有理項(xiàng)是第一項(xiàng)和第七項(xiàng).19、（1），；（2），【解析】（1）設(shè)出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則通項(xiàng)公式可求；（2）根據(jù)題意表示出斜率關(guān)系，然后采用累加法求解出的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，，，由已知，，得，解得或（舍），所以，，由得，所以所以，（2）由直線的斜率為，得，即，由，，，，，可得，所以，當(dāng)時也滿足，所以，20、（1），短軸長為，焦距為；（2）.【解析】（1）由長軸得，再由離心率求得，從而可得后可得橢圓方程；（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)后可得距離【詳解】（1）由已知：，，故，，則橢圓的方程為：，所以橢圓的短軸長為，焦距為.（2）聯(lián)立，解得，，所以，，故21、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)，求解可得導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個實(shí)數(shù)根可求解；②由（1）得2lnxx?，再利用其放縮可得，由此有，問題得證.【小問1詳解】當(dāng)a=1時，函數(shù)因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減；【小問2詳解】（i）由已知可得方程有兩個實(shí)數(shù)根記，則．當(dāng)時，，函數(shù)k(x)是增函數(shù)；當(dāng)時，，函數(shù)k(x)是減函數(shù)，所以，故（ii）易知，當(dāng)x1時，，故．由（1）可知，當(dāng)0x1時，，所以2lnxx?由，得，所以因?yàn)?，所?2、（1）（2）【解析】（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線