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文檔簡介
學(xué)習(xí)目標(biāo)1.構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).2.進一步熟練指數(shù)、對數(shù)運算,加深對公式成立條件的記憶.3.以函數(shù)觀點綜合理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù).1.知識網(wǎng)絡(luò)2.要點歸納(1)分數(shù)指數(shù)冪①=eq\f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1).②=(a>0,m,n∈N*,且n>1).(2)根式的性質(zhì)①(eq\r(n,a))n=a.②當(dāng)n為奇數(shù)時,eq\r(n,an)=a;當(dāng)n為偶數(shù)時,eq\r(n,an)=|a|=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a,a≥0,,-a,a<0.))(3)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(4)指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logaN=b?ab=N(a>0,且a≠1,N>0).(5)對數(shù)的換底公式logaN=eq\f(logmN,logma)(a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,N>0).推論:bn=eq\f(n,m)logab(a>0,且a≠1,m,n>0,且m≠1,n≠1,b>0).(6)對數(shù)的四則運算法則若a>0,且a≠1,M>0,N>0,則①loga(MN)=logaM+logaN;②logaeq\f(M,N)=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).類型一指數(shù)、對數(shù)的運算例1化簡:(1)×÷eq\r(105);解原式==2-1×103×=2-1×=eq\f(\r(10),2).(2)2log32-log3eq\f(32,9)+log38-.解原式=log34-log3eq\f(32,9)+log38-=log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))-=log39-9=2-9=-7.反思與感悟指數(shù)、對數(shù)的運算應(yīng)遵循的原則指數(shù)式的運算首先注意化簡順序,一般負指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù),根式化為分數(shù)指數(shù)冪運算,其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.對數(shù)運算首先注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化,前后要等價,熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式,換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.跟蹤訓(xùn)練1計算80.25×eq\r(4,2)+(eq\r(3,2)×eq\r(3))6+log32×log2(log327)的值為________.答案111解析∵log32×log2(log327)=log32×log23=eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg2)=1,∴原式=×+22×33+1=21+4×27+1=111.類型二數(shù)的大小比較例2比較下列各組數(shù)的大小:(1)27,82;解∵82=(23)2=26,由指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增知26<27即82<27.(2)log20.4,log30.4,log40.4;解∵對數(shù)函數(shù)y=log0.4x在(0,+∞)上是減函數(shù),∴l(xiāng)og0.44<log0.43<log0.42<log0.41=0.又冪函數(shù)y=x-1在(-∞,0)上是減函數(shù),∴eq\f(1,log0.42)<eq\f(1,log0.43)<eq\f(1,log0.44),即log20.4<log30.4<log40.4.(3),log2eq\f(1,3),eq\f(1,3).解0<<20=1.log2eq\f(1,3)<log21=0.eq\f(1,3)>eq\f(1,2)=1.∴l(xiāng)og2eq\f(1,3)<<eq\f(1,3).反思與感悟數(shù)的大小比較常用方法:(1)比較兩數(shù)(式)或幾個數(shù)(式)大小問題是本章的一個重要題型,主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及差值比較法與商值比較法的應(yīng)用.常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法.(2)當(dāng)需要比較大小的兩個實數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時,可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.(3)比較多個數(shù)的大小時,先利用“0”和“1”作為分界點,即把它們分為“小于0”,“大于等于0小于等于1”,“大于1”三部分,再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.跟蹤訓(xùn)練2比較下列各組數(shù)的大?。?1)log0.22,log0.049;解∵log0.049=eq\f(lg9,lg0.04)=eq\f(lg32,lg0.22)=eq\f(2lg3,2lg0.2)=eq\f(lg3,lg0.2)=log0.23.又∵y=log0.2x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴l(xiāng)og0.22>log0.23,即log0.22>log0.049.(2)a1.2,a1.3;解∵函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1),當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時在R上是增函數(shù);當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時在R上是減函數(shù),而1.2<1.3,故當(dāng)a>1時,有a1.2<a1.3;當(dāng)0<a<1時,有a1.2>a1.3.(3)30.4,0.43,log0.43.解30.4>30=1,0<0.43<0.40=1,log0.43<log0.41=0,∴l(xiāng)og0.43<0.43<30.4.類型三指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的綜合應(yīng)用命題角度1函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)=a·2x+b·3x,其中常數(shù)a,b滿足ab≠0.(1)若ab>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.解(1)當(dāng)a>0,b>0時,因為a·2x,b·3x都單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a<0,b<0時,因為a·2x,b·3x都單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.①當(dāng)a<0,b>0時,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>-eq\f(a,2b),解得x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2b)));②當(dāng)a>0,b<0時,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x<-eq\f(a,2b),解得x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2b))).反思與感悟指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是使用頻率非常高的基本初等函數(shù),它們經(jīng)過加、減、乘、除、復(fù)合、分段,構(gòu)成我們以后研究的函數(shù),使用時則通過換元、圖象變換等手段化歸為基本的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)來研究.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)若函數(shù)f(x)的最小值為-2,求a的值.解(1)要使函數(shù)有意義,則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-x>0,,x+3>0,))解得-3<x<1,∴定義域為(-3,1).(2)函數(shù)可化為f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].∵-3<x<1,∴0<-(x+1)2+4≤4.∵0<a<1,∴l(xiāng)oga[-(x+1)2+4]≥loga4.由loga4=-2,得a-2=4,∴a==eq\f(1,2).命題角度2函數(shù)圖象及應(yīng)用例4如圖,函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}答案C解析借助函數(shù)的圖象求解該不等式.令g(x)=y(tǒng)=log2(x+1),作出函數(shù)g(x)圖象如圖.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=2,,y=log2x+1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=1.))∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集為{x|-1<x≤1}.反思與感悟指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象既是直接考查的對象,又是數(shù)形結(jié)合求交點,最值,解不等式的工具,所以要能熟練畫出這三類函數(shù)圖象,并會進行平移、伸縮,對稱、翻折等變換.跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則下列函數(shù)圖象正確的是()答案B解析由題意得y=logax(a>0,且a≠1)的圖象過(3,1)點,可解得a=3.選項A中,y=3-x=(eq\f(1,3))x,顯然圖象錯誤;選項B中,y=x3,由冪函數(shù)圖象可知正確;選項C中,y=(-x)3=-x3,顯然與所畫圖象不符;選項D中,y=log3(-x)的圖象與y=log3x的圖象關(guān)于y軸對稱.顯然不符.故選B.1.化簡eq\f(2lglga100,2+lglga)為()A.1 B.2C.3 D.0答案B解析eq\f(2lglga100,2+lglga)=eq\f(2lg100·lga,2+lglga)=eq\f(2[lg100+lglga],2+lglga)=2.2.在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的圖象可能是()答案D解析顯然a>0且a≠1.若0<a<1,則只有D符合.若a>1,只有B中y=xa符合,但B中g(shù)(x)不符合.3.函數(shù)f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與函數(shù)g(x)=|x|在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性為()A.都是增函數(shù)B.都是減函數(shù)C.f(x)是增函數(shù),g(x)是減函數(shù)D.f(x)是減函數(shù),g(x)是增函數(shù)答案D解析f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在x∈(-∞,0)上為減函數(shù),g(x)=|x|為偶函數(shù),x∈(0,+∞)時g(x)=x為減函數(shù),所以在(-∞,0)上為增函數(shù).4.已知P=,Q=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3,R=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3,則P,Q,R的大小關(guān)系是()A.P<Q<R B.Q<R<PC.Q<P<R D.R<Q<P答案B解析由函數(shù)y=x3在R上是增函數(shù)知,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3,由函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)知,>2-3=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3,所以P>R>Q.5.函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1與x軸交點的個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1與x軸交點個數(shù)即為函數(shù)y=|log0.5x|與y=eq\f(1,2x)圖象的交點個數(shù).在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|log0.5x|,y=eq\f(1,2x)的圖象(圖略),易知有2個交點.1.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)極為重要的內(nèi)容,函數(shù)思想和函數(shù)方法貫穿整個高中數(shù)學(xué)的過程,對本章的考查是以基本函數(shù)形式出現(xiàn)的綜合題和應(yīng)用題,一直是??疾凰サ臒狳c問題.2.從考查角度看,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)概念的考查以基本概念與基本計算為主;對圖象的考查重在考查平移變換、對稱變換以及利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力;對冪函數(shù)的考查將會從概念、圖象、性質(zhì)等方面來考查.課時作業(yè)一、選擇題1.函數(shù)f(x)=eq\f(1,lnx+1)+eq\r(4-x2)的定義域為()A.[-2,0]∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2]C.[-2,2] D.(-1,2]答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1>0,,lnx+1≠0,,4-x2≥0,))得-1<x≤2,且x≠0.即x∈(-1,0)∪(0,2].2.已知x,y為正實數(shù),則()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx·2lgy答案D解析2lgx·2lgy=2lgx+lgy=2lg(xy).故選D.3.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+log22-x,x<1,,2x-1,x≥1,))則f(-2)+f(log212)等于()A.3B.6C.9D.12答案C解析因為-2<1,log212>log28=3>1,所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,f(log212)=2log212-1=2log212×2-1=12×eq\f(1,2)=6,故f(-2)+f(log212)=3+6=9,故選C.4.下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=|ln(2-x)|在其上為增函數(shù)的是()A.(-∞,1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-1,\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(3,2))) D.[1,2)答案D解析方法一當(dāng)2-x≥1,即x≤1時,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此時函數(shù)f(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減.當(dāng)0<2-x≤1,即1≤x<2時,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此時函數(shù)f(x)在[1,2)上單調(diào)遞增,故選D.方法二f(x)=|ln(2-x)|的圖象如圖.由圖象可得,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2)上為增函數(shù),故選D.5.已知f(x)是函數(shù)y=log2x的反函數(shù),則y=f(1-x)的圖象是()答案C解析因為f(x)是函數(shù)y=log2x的反函數(shù),所以f(x)=2x,所以y=f(1-x)=21-x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-1,其函數(shù)圖象可由函數(shù)y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象向右平移1個單位長度得到,故選C.6.設(shè)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且它在[0,+∞)上單調(diào)遞增,若a=f
,b=f
,c=f(-2),則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a(chǎn)>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a答案C解析因為1=eq\r(2)<eq\r(3)<2=2,0<eq\r(2)<eq\r(3)=1,所以0<logeq\r(3)eq\r(2)<eq\r(3)<2.因為f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(eq\r(2))<f(eq\r(3))<f(2).因為f(x)是偶函數(shù),所以a=f
=f(-eq\r(3))=f(eq\r(3)),b=f
=f(-eq\r(2))=f(eq\r(2)),c=f(-2)=f(2).所以c>a>b.7.當(dāng)x∈(1,2)時,不等式(x-1)2<logax恒成立,則a的取值范圍是()A.(0,1) B.(1,2)C.(1,2] D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))答案C解析設(shè)f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使當(dāng)x∈(1,2)時,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需x∈(1,2)時,f1(x)=(x-1)2的圖象在f2(x)=logax的圖象的下方即可.當(dāng)0<a<1時,由圖象知顯然不成立;當(dāng)a>1時,如圖,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的圖象在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,∴1<a≤2,故選C.二、填空題8.若函數(shù)f(x)=xln(x+eq\r(a+x2))為偶函數(shù),則a=________.答案1解析f(x)為偶函數(shù),則ln(x+eq\r(a+x2))為奇函數(shù),所以ln(x+eq\r(a+x2))+ln(-x+eq\r(a+x2))=0,即ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.9.已知=eq\f(4,9)(a>0),則a=________.答案4解析∵=eq\f(4,9)(a>0),∴()=eq\f(4,9)=2,∴eq\f(1,2)a=2,∴a=4.10.若函數(shù)y=(3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是________.答案(-8,-6]解析令g(x)=3x2-ax+5,其對稱軸為直線x=eq\f(a,6).依題意,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)≤-1,,g-1>0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤-6,,a>-8.))11.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x),x≥0,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,x<0,))則f(f(-4))=______.答案4解析f(-4)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))-4=16,又f(16)=eq\r(16)=4,∴f(f(-4))=4.12.若函數(shù)f(x)=2|x-a|(a∈R)滿足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上單調(diào)遞增,則實數(shù)m的最小值等于________.答案1解析∵f(1+x)=f(1-x),∴y=f(x)關(guān)于直線x=1對稱,∴a=1.∴f(x)=2|x-1|在[1,+∞)上單調(diào)遞增.∴[m,+∞)?[1,+∞).∴m≥1,即m的最小值為1.13.如圖,矩形ABCD的三個頂點A,B,C分別在函數(shù)y=x,y=,y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x的圖象上,且矩形的邊分別平行于兩坐標(biāo)軸.若點A的縱坐標(biāo)為2,則點D的坐標(biāo)為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,4)))解析由圖象可知,點A(xA,2)在函數(shù)y=x的圖象上,所以2=xA,xA=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2=eq\f(1,2).點B(xB,2)在函數(shù)y=的圖象上,所以2=,xB=4.點C(4,yC)在函數(shù)y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x的圖象上,所以yC=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))4=eq\f(1,4).又xD=xA=eq\f(1,2),yD=y(tǒng)C=eq\f(1,4),所以點D的坐標(biāo)為eq\b\lc\
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