江蘇省南京市鼓樓區(qū)第五十中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中學(xué)情調(diào)研八年級數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.下列圖形是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用軸對稱圖形的定義分析得出答案．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形的識(shí)別，正確把握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．2.下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6【答案】C【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理．熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，，不能組成直角三角形，故A不符合要求；，不能組成直角三角形，故B不符合要求；，能組成直角三角形，故C符合要求；，不能組成直角三角形，故D不符合要求；故選：C．3.如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查全等三角形判定，先分析已知條件，再根據(jù)三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可，掌握，和等判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可得和中，有一條公共邊，有一組對角相等，A選項(xiàng)，添加后，滿足兩組對邊相等，一組對角相等，但該組對角不是兩組對邊的夾角，無法判定；B選項(xiàng)，添加后，滿足兩組對邊相等，且兩組對邊的夾角相等，根據(jù)可判定；C選項(xiàng)，添加后，滿足一組對邊相等，兩組對角相等，根據(jù)可判定；D選項(xiàng)，添加后，滿足一組對邊相等，兩組對角相等，根據(jù)可判定；故選A．4.如圖，已知，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交于D，P；作一條射線，以點(diǎn)F圓心，長為半徑作弧l，交于點(diǎn)H；以H為圓心，長為半徑作弧，交弧于點(diǎn)Q；作射線．這樣可得，其依據(jù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得出，，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：如圖，連接，，根據(jù)題意得，，，在和中，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在中，為邊上的高，為邊上的中線，，則的長度是（）A.2 B.3 C. D.4【答案】D【解析】【分析】本題考查勾股定理，直角三角形的性質(zhì)；先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可求得，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：在中，，為邊上的中線，，∴，∵，∴，∵為邊上的高，∴，∴由勾股定理得：，∴，∴，故選：D．6.如圖，四個(gè)全等的直角三角形與小正方形拼成的大正方形圖案，如果大正方形的面積為，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么的值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了完全平方公式的變形，算術(shù)平方根．根據(jù)題意確定滿足的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，∴，，∴，故選：D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）7.如圖，，且，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在中，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，全等三角形的性質(zhì)的綜合，理解并掌握三角形的內(nèi)角和等于，全等三角形中對應(yīng)角的度數(shù)相等是解題的關(guān)鍵．8.已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，則斜邊上中線的長是__．【答案】##【解析】【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】解：斜邊長，∴斜邊上中線的長是，故答案為：．9.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，則△ABD的面積為_____________．【答案】18【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再利用三角形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，又平分，，，，的面積是，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10.如圖，把長方形ABCD沿EF對折，若∠1=50°，則∠AEF的度數(shù)等于__.【答案】【解析】【詳解】解：∵把長方形ABCD沿EF對折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故答案為：115°．11.若等腰三角形的一個(gè)外角為，則它的底角為______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形內(nèi)角和定理，即可求解．掌握等腰三角形底角相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵等腰三角形的一個(gè)外角為，∴等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為，當(dāng)?shù)妊切蔚捉菫闀r(shí)，另兩個(gè)角為或，符合題意，當(dāng)?shù)妊切雾斀菫闀r(shí)，兩個(gè)底角為，故答案是：或12.如圖，為等邊三角形．若以BC為直角邊向外作等腰，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，，問題隨之解得．【詳解】∵為等邊三角形，∴，，∵等腰，，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，得出，，是解答本題的關(guān)鍵．13.如圖，在四邊形中，，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面積為30，乙的面積為16，丙的面積為17，則丁的面積為______．【答案】29【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)正方形的面積公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【詳解】如圖，連接AC，由題意得：，在中，，，中，，，則正方形丁的面積為，故答案為：29．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．14.如圖是3×3的正方形網(wǎng)格，要在圖中再涂黑一個(gè)小正方形，使得圖中黑色的部分成為軸對稱圖形，這樣的小正方形有_________________個(gè)．【答案】5【解析】【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：如圖所示：所標(biāo)數(shù)字之處都可以構(gòu)成軸對稱圖形．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，解題的關(guān)鍵是正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)．15.如圖,在，，，，點(diǎn)A到的距離是______________．【答案】12【解析】【分析】過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)D，由勾股定理得出，代入數(shù)據(jù)得出的長，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)D，在和中，由勾股定理得，，即，解得，∴，∴點(diǎn)A到的距離是12，故答案為12．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16.如圖，中，，的面積12．點(diǎn)D、E、F分別是三邊上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為__．【答案】8【解析】【分析】本題考查了軸對稱一最短路線問題、三角形的面積、等邊三角形的判定與性質(zhì)；作，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)可以證明是等邊三角形，連接，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接，對稱性可得周長的最小值為的長，即可求解．【詳解】解：作，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)，如圖，∴，作點(diǎn)E關(guān)于的對稱點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，連接，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F，連接，∴，∴周長的最小值為的長，∵，即，解得：，∴，∴周長的最小值為8，故答案為：8．三、解答題（本大題共10小題，共68分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，△ABC與△DEF中，B、E、C、F在同一條直線上，BE＝CF，∠A＝∠D，，求證：AC＝DF．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△ABC≌△DEF即可證得結(jié)論解答．【詳解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC=DF．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．18.如圖，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m.若每平方米草皮需要200元，則種植這片草皮需要多少元？【答案】種植這片草皮需要234×200=46800元.【解析】【分析】先連接AC，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC,再根據(jù)勾股定理逆定理證明△ACD是直角三角形,然后根據(jù)面積公式計(jì)算．【詳解】解：如圖,連接AC，如圖所示，∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m，∴AC==25m，∵AC=25m，CD=7m，AD=24m，∴AD2+DC2=AC2，∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°，∴S△ABC=×AB×BC=×20×15=150m2，S△ACD=×CD×AD=×7×24=84m2,∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=234m2.所以種植這片草皮需要234×200=46800元．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理和勾股定理逆定理,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握勾股定理及其逆定理．19.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，已知的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）畫出關(guān)于直線l對稱的；（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使的長最短；（不寫畫法，保留畫圖痕跡）；（3）求的面積．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】本題考查了作圖-軸對稱變換，最短路徑問題，網(wǎng)格中求三角形面積；（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和軸對稱的性質(zhì)畫出、、關(guān)于直線的對稱點(diǎn)、、即可；（2）連接交直線l于P，則利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷點(diǎn)P滿足條件；（3）利用割補(bǔ)法求解即可．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求；【小問3詳解】解：的面積為：20.兩個(gè)全等的直角三角板和直角三角板，頂點(diǎn)F在邊上，頂點(diǎn)C、D重合，連接．設(shè)交于點(diǎn)G．，，．請回答以下問題：（1）填空：°，；（2）請用兩種方法計(jì)算四邊形的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】本題考查了勾股定理的證明，三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的性質(zhì)；（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的面積和梯形的面積公式用兩種方法求得四邊形的面積，于是得到結(jié)論．【小問1詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴【小問2詳解】解：∵四邊形的面積，四邊形的面積，∴，即21.如圖，四邊形中，，，E、F分別是的中點(diǎn)．請你猜想與的位置關(guān)系，并給予證明．【答案】【解析】【分析】本題考查直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)；連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，再根據(jù)F是的中點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：連接，如圖，∵，E是的中點(diǎn)，∴，∵，E是的中點(diǎn)，∴，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴22.如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且AE=AB．（1）求證：∠B=2∠C；（2）若AC=10，AD=6，求△ABC的周長．【答案】（1）見解析（2）26【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線和等腰三角形性質(zhì)得出AB=AE=CE，求出∠AEB=∠B和∠C=∠EAC，再根據(jù)外角性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)勾股定理求出CD=8，由已知能推出AB+BC=2DE+2EC=2×8=16，即可得出答案．【小問1詳解】∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∠B=∠AEB，∴∠B=∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C．【小問2詳解】在直角三角形ACD中，∵∠ADC=90°，∴，∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，DE=BE，∴AB+BC=AB+BD+DE+CE=2DE+2CE=2CD=2×8=16，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=16+10=26．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．23.已知，線段a，直線l及l(fā)外一點(diǎn)A，求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，且點(diǎn)B、C在直線l上．【答案】見解析.【解析】【分析】先做線段a的垂直平分線，再過點(diǎn)A作l的垂線AO，O點(diǎn)為垂足，然后以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫弧交l于B、C兩點(diǎn)，則△ABC滿足條件．【詳解】如圖所示，△ABC即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是作圖—復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記作圖的步驟.24.小明在學(xué)習(xí)完“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”，繼續(xù)探索，他猜想“如果三角形的一條角平分線是這個(gè)角對邊上的中線，那么這個(gè)三角形是等腰三角形”并進(jìn)行證明．已知：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC中點(diǎn)．求證：△ABC是等腰三角形．小明的證法：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為點(diǎn)E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵①，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴②．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．請把小明的證法補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證明．【答案】AD平分∠BAC；∠B=∠C．證法2見解析【解析】【分析】根據(jù)題意和全等三角形的判定、等腰三角形的判定可以證明結(jié)論成立．證法2：延長AD至E，使得DE＝AD，利用SAS證明△ACD≌△EBD．推出AC＝BE，∠CAD＝∠DEB，再根據(jù)角平分線的定義，推出∠BAD＝∠DEB，即可證明AB＝AC．【詳解】證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為點(diǎn)E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．故答案為：AD平分∠BAC；∠B=∠C．證法2：延長AD至E，使得DE＝AD，∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，在△ACD與△EBD中，∵AD＝DE，∠CDA＝∠EDB，CD＝BD，∴△ACD≌△EBD．∴AC＝BE，∠CAD＝∠DEB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠DEB，∴AB＝BE，∵AC＝BE，∴AB＝AC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．25.已知：如圖1，射線，點(diǎn)C從M出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，．

（1）當(dāng)?shù)妊切螘r(shí)，求；（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長；（3）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)的過程中，若為鈍角三角形，則的長度范圍是；若為銳角三角形，則的長度范圍是．【答案】（1）3或（2）（3）見解析【解析】【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)；（1）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（3）根據(jù)（2）中即可求解．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C在的垂直平分線上，與條件不合；

【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，∵，，∴，解得；

【小