專題03三角形中的導角模型-“8”字模型“A”字模型與三角板模型（教師卷）

專題03三角形中的導角模型“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎型）條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結論：2∠P=∠B+∠D例1．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點為，且，，保持不變．為了舒適，需調整的大小，使，則圖中應（填“增加”或“減少”）度．【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關系，進行計算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，同時涉及到了三角形的內角和與對頂角相等的知識；解決本題的關鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數(shù)形結合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【分析】如圖所示，由三角形外角的性質可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內角和公式可求得答案．【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【點睛】本題主要考查的是三角形外角的性質和多邊形的內角和公式的應用，利用三角形外角和的性質將所求各角的和轉化為五邊形的內角和是解題的關鍵例3．（2023·山東德州·八年級?？茧A段練習）如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關系．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）利用三角形內角和定理和對頂角相等即可證明；（2）①根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解．②根據(jù)，可得，，再由三角形內角和定理和對頂角相等，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：在中，，在中，，∵，∴；（2）解：①∵和的平分線和相交于點P，∴，∵①，②，由，得：，即，∵，∴；②∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴），故答案為：．【點睛】本題考查了三角形內角和、有關角平分線的計算，解題的關鍵是靈活運用“8字形”求解．例4．（2023春·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點，連接，，判斷與的大小關系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點的一動點，求證：．【答案】(1)；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊知，，，兩式相加即可得出結論；（2）根據(jù)證即可得出結論；（3）在上取一點，使，連接交于點，證，即，同理證，然后同理（1）得，變形不等式即可得出結論．【詳解】（1）解：，理由如下：，，，即；（2）證明：平分，，在和中，，，；（3）證明：在上取一點，使，連接交于點，是的角平分線，，在和中，，，，同理可證，，，，即，，．【點睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關系和全等三角形的判定和性質等知識是解題的關鍵．例5．（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考期中）閱讀：基本圖形通常是指能夠反映一個或幾個定理，或者能夠反映圖形基本規(guī)律的幾何圖形．這些圖形以基本概念、基本事實、定理、常用的數(shù)學結論和基本規(guī)律為基礎，圖形簡單又具有代表性．在幾何問題中，熟練把握和靈活構造基本圖形，能更好地幫助我們解決問題．我們將圖1①所示的圖形稱為“8字形”．在這個“8字形”中，存在結論．我們將圖1②所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”．在這個“飛鏢形”中，存在結論．

(1)直接利用上述基本圖形中的任意一種，解決問題：如圖2，、分別平分、，說明：．(2)將圖2看作基本圖形，直接利用（1）中的結論解決下列問題：①如圖3，直線平分的外角，平分的外角，若，，求的度數(shù)．②在圖4中，平分的外角，平分的外角，猜想與、的關系（直接寫出結果，無需說明理由）．③在圖5中，平分，平分的外角，猜想與、的關系（直接寫出結果，無需說明理由）．

【答案】(1)見解析(2)①；②；③【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)題干的結論列出，相加得到，繼而得到，即可證明結論；（2）①如圖所示，分作的角平分線交于H，根據(jù)（1）的結論得到，再由角平分線的定義和平角的定義證明，，再根據(jù)題干的結論可推出；②如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結論可知，，同理可得，，則由四邊形內角和定理可得；③由題干的結論可得，由角平分線的定義得到，再求出，由題干的結論可知，由此可得．【詳解】（1）解：∵分別平分，∴，∴，由題干的結論得：，∠，∴，∴，∴，即；（2）解：①如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結論可知，∵分別平分，∴，∵∴，∴，同理可得，由題干的結論可得，∴；

②如圖所示，分作的角平分線交于H，由（1）的結論可知，，同理可得，，∴；③由題干的結論可得，∵平分，平分的外角，∴，∵，∴，由題干的結論可知，∴，∴．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，多邊形內角和定理，準確識圖并運用好“8”字形的結論，然后列出兩個等式是解題的關鍵，用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角更形象直觀．模型2、“A”字模型結論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)平角的定義求出，再利用三角形的外角的性質即可解決問題．【詳解】解：如圖，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形外角的性質、平角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基例2．（2023·綿陽市·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內角和定理求出，根據(jù)平角的概念計算即可．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理的應用，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．例3．（2022·福建泉州·九年級?？计谥校┤鐖D，，若，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質求出∠D，再根據(jù)三角形內角和定理計算即可．【詳解】解：∵，∴∠ABC＝∠D＝45°，∵∠A＝60°，∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°.故選：A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形的對應角相等是解題的關鍵．例4．（2023秋·廣西·八年級專題練習）如圖所示，的兩邊上各有一點，連接，求證．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和證明即可．【詳解】解：和是的外角，．又，．【點睛】本題考查三角形外角的性質，熟知三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．例5．（2023·廣東八年級課時練習）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點，直角頂點D落在的內部，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進而完成解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°90°=90°∴40°90°=50°故選C．【點睛】本題主要考查三角形內角和定理，靈活運用三角形內角和定理成為解答本題的關鍵．例6．（2023秋·河南信陽·八年級校聯(lián)考期末）（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請歸納與的關系是______________；（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的內角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；（2）根據(jù)三角形的內角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；（3）根據(jù)（1）和（2）可知，，根據(jù)，即可；（4）根據(jù)折疊的性質，則，根據(jù)全等三角形的性質，三角形內角和，平角的性質，則，，，再根據(jù)等量代換，即可．【詳解】（1）為直角三角形，，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．

（2）∵，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．（3）由（1）和（2）得，，∵，∴，∴．（4），理由見下：由題意得，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的性質，三角形的內角和和三角形的外角和定理．例7．（2022秋·河北邯鄲·八年級統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；應用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

；(2)如圖（3），“七角星”形，求；(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=；【答案】(1)180°(2)180°(3)360°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質把5個角轉化到一個三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質把7個角轉化到一個三角形中可得答案．（3）根據(jù)三角形外角的性質把8個角轉化到一個四邊形中可得答案．【詳解】（1）解：如圖，由三角形外角的性質可得，，∵，∴，∵，∴，故答案為：180°；（2）如圖，由（1）得，∵，∴．（3）如圖，由三角形外角的性質可得，，，，故答案為：360°．【點睛】本題考查多邊形的內角和與三角形外角的性質，能夠根據(jù)三角形外角的性質進行轉化是解題關鍵．模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023·山西呂梁·聯(lián)考模擬預測）如圖：和是兩塊直角三角尺，兩直角三角尺的斜邊AB、DE在同一直線上，其中，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質求解即可．【詳解】解：∵由題意得，，∴，故選：B【點睛】本題考查了三角形的外角的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握三角形外角的性質，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和．例2．（2023春·安徽·九年級專題練習）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點E，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，利用三角形內角和定理，可求出的度數(shù)，再結合對頂角相等，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：在中，，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查三角形內角和定理以及對頂角，牢記“三角形內角和是”及“對頂角相等”是解題的關鍵．例3.（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點C在的延長線上，點C、F分別為直角頂點，且，，若，則的度數(shù)是（）

A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【分析】由，利用“兩直線平行，內錯角相等”可求出，再利用三角形的外角性質，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴．∵是的外角，∴．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質以及三角形的外角性質，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”及“兩直線平行，內錯角相等”是解題的關鍵．例3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含角的直角三角板的直角頂點在另一個三角板的斜邊上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的外角性質進行求解即可．【詳解】解：如圖，由題意得：，，

，，．故選：D．【點睛】本題考查三角形的外角性質，解答的關鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和．例4．（2023春·陜西渭南·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，一副直角三角板和如圖擺放，，，若，則下列結論：①；②；③；④平分，正確的有．（填序號）

【答案】①②④【分析】如圖，由題意得：，根據(jù)平行線的性質求出，進而可求出，即可判斷③④；根據(jù)三角形的內角和定理、平行線的性質和角的和差求出，即可判斷①；求出，進而可判斷②．【詳解】解：如圖，由題意得：，∵，∴，

∵，∴，∴，，故結論③錯誤；∵，∴，∴平分，故結論④正確；∵，∴，∴，故結論①正確；∵，∴，∴，故結論②正確；故答案為：①②④．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質、三角形的內角和定理以及三角形的外角性質等知識，熟練掌握三角形的相關知識和平行線的判定和性質是解題的關鍵．例5．（2023春·湖南衡陽·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點在上，點在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉（當點落在射線上時停止旋轉），設旋轉時間為秒．

(1)當______秒時，；當______秒時，；(2)在旋轉過程中，與的交點記為，如圖2，若有兩個內角相等，求的值；(3)當邊與邊、分別交于點、時，如圖3，連接，設，，，試問是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)當為6或15或24時，有兩個內角相等(3)是定值，，理由見解析【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉角，結合旋轉速度求出旋轉時間；（2）畫出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉角，再求出值；（3）找出與，，，有關的數(shù)量關系，再把無關的角消去，得出結論．【詳解】（1）如圖，當時，

平分，，，又為的一個外角，，；如圖，當時，，，，，．故答案為：3；21．（2）①如圖，當時，

，，；②如圖，當時，，，，；③如圖，當時，，，綜上所述：當為6或15或24時，有兩個內角相等．（3）是為定值105，理由如下：是的一個外角，是的一個外角，，，又，，，，．【點睛】本題以求三角形旋轉時間為背景，考查了學生對圖形的旋轉變換、平行的性質、垂直的性質和求等腰三角形內角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關鍵，第（3）問找到三個角之間的關系是關鍵．課后專項訓練1．（2023·廣東江門·八年級?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（

）A．540° B．500° C．460° D．420°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內角和定理可得，根據(jù)平角的定義和四邊形內角和可得，同理可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∵，，∴∵∴，同理可得：，∴，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，四邊形內角和定理，熟知四邊形內角和等于是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，已知四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用內外角之間的關系可得．【詳解】解：∵三角形的內角和等于，∴可得和的鄰補角之和等于，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的內外角之間的關系，三角形的內角和等于,解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．3．（2023·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為(

)A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，進而可求出∠ABD＋∠ACD的度數(shù)．【詳解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，在△DBC中，∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．故選：D．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形的內角和為180°，此題難度不大．4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用四邊形內角和為和直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴故選：A．【點睛】此題考查了直角三角形的性質和四邊形的內角和，解題關鍵在于根據(jù)四邊形內角和為和直角三角形的性質求解．5．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角之和求出，，由，求出，再由外角和是即可求出答案．【詳解】解：如圖，，，，，，，，，．

【點睛】本題考查了三角形外角的性質定理、多邊形外角和定理，熟練掌握相關知識是解題關鍵．6．（2023秋·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖標記，然后利用三角形的外角性質得，，再利用互為鄰補角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標記，，，，又，，，，故選C．【點睛】此題考查了三角形的外角性質與鄰補角的意義，熟練掌握并靈活運用三角形的外角性質與鄰補角的意義是解答此題的關鍵．7．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）一副三角板如圖所示放置，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由外角定理知，，將已知角代入求解即可．【詳解】解：如圖，，，∵，∴，故選：A．

【點睛】本題考查三角形外角定理，觀察圖形，由角的位置關系導出角之間數(shù)量關系是解題的關鍵．8．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀⒁粋€直角三角板與一個直尺按如圖所示的方式擺放，若，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，得到，結合得到得度數(shù)．【詳解】∵，，∴，∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，補角，熟練掌握性質是解題的關鍵．9（2022春·廣東揭陽·八年級校考期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關系是．【答案】270°/270度220°/220度180°+∠A【分析】（1）利用了四邊形內角和為360°和直角三角形的性質求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結果．【詳解】解：（1）∵四邊形的內角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°，∴∠1+∠2=360°（∠B+∠C）=360°90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案為：270°；（2）∠1+∠2=360°（∠B+∠C）=360°（180°∠A）=180°+∠A=180°+40°=220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關系是：∠1+∠2=180°+∠A；證明：∠1+∠2=360°（∠B+∠C）=360°（180°∠A）=180°+∠A；故答案為：180°+∠A．【點睛】主要考查了三角形的內角和定理，四邊形內角和定理．熟練掌握三角形的內角和定理、四邊形內角和定理是解題的關鍵．10．（2022·安徽·八年級?？计谥校┤鐖D，若，則．

【答案】/250度【分析】按圖先進行標注，根據(jù)外角性質分別表示出，，，，再根據(jù)，進行求解即可得出最后結果．【詳解】解：如圖，進行標注，

是的一個外角，，是的一個外角，，即，是的一個外角，，，是的一個外角，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形外角性質，圓周角及鄰補角的應用，熟練掌握外角性質是解答本題的關鍵．11．（2022秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，．【答案】/240度【分析】由三角形的外角性質和三角形內角和定理即可得出結果．【詳解】連接，，∴又，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外角性質、對頂角相等以及三角形內角和定理；熟練掌握三角形的外角性質以及三角形內角和定理是解決問題的關鍵．12．（2023春·重慶黔江·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點按順時針方向旋轉，記旋轉角．

(1)在旋轉過程中，當為度時，；當為度時，．(2)當時，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．【答案】(1)，(2)不變，理由見解析【分析】（1）如圖，記與的交點為點，與的交點為點，由，可得，再利用角的和差關系可得答案；如圖，記與的交點為，求解，由角的和差關系可得答案；（2）如圖3，設分別交、于點、，在中，可得，結合，，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，記與的交點為點，與的交點為點，

，

，，

，即，如圖，記與的交點為，

，，，，即，（2）當，，保持不變，理由如下：如圖3，設分別交、于點、，在中，，

，，，，．【點睛】本題考查的是旋轉的性質，平行線的性質，垂直的定義，三角形的外角的性質的應用，熟練的利用旋轉的性質與三角形的外角的性質解題是關鍵．13．（2023春·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．(1)圖1中，的度數(shù)是______．(2)①求圖1中的度數(shù)；②圖2中，，求的度數(shù)．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質求解即可；（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性質求解即可；②由三角板可知，然后根據(jù)平行線的性質得出的度數(shù)，再利用三角形外角的性質求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，故答案為：；（2）解：①∵，，∴；②∵，，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，平行線的性質，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．14．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．(1)若，則______，______，______(2)若，則______．（寫出求解過程）(3)請你猜想一下與所滿足的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)140，90，50；(2)35，過程見解析；(3)，理由見解析．【分析】（1）在中，由和三角形內角和定理求得，在中，由及三角形內角和定理求得，即可求得；（2）按照（1）的過程即可得到答案；（3）在中，．在中，，利用，即可得到答案．【詳解】（1）在中，，，在中，，，；故答案為：140，90，50．（2）在中，，，在中，，，，故答案為：35；（3）與之間的數(shù)量關系為：．理由如下：在中，．在中，．，．【點睛】此題主要考查三角形內角和定理，熟練掌握三角形內角和定理是解決本題的關鍵．15．（20