猜題03勾股定理（拔尖必刷45題9種題型專項訓練）（原卷版）

第3章勾股定理（拔尖必刷45題9種題型專項訓練）一．由勾股定理探究圖形面積（共5小題）二．由勾股定理求兩條線段平方和（共4小題）三．利用勾股定理證明線段平方關系（共3小題）四．利用勾股定理解決規(guī)律探究問題（共6小題）五．利用勾股定理解決最值問題（共5小題）六．勾股定理與坐標軸綜合應用（共4小題）七．勾股定理的證明方法（共3小題）八．利用勾股定理構建圖形解決實際問題（共4小題）九．利用勾股定理解決幾何體的最短距離問題（共6小題）一．由勾股定理探究圖形面積（共5小題）1．（2023上·江蘇常州·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愒缙诎l(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是數(shù)形結合的重要細帶．數(shù)學家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，連接AH，CF，具中正方形BCIH面積為1，正方形ABFE面積為5，則以CF為邊長的正方形面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．102．（2023上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期中）如圖，陰影部分表示以Rt△ABC的各邊為直徑的三個半圓所組成的兩個新月形，面積分別記作S1和S2．若AC=6，BC=8A．9π B．12.5π C．14 D．243．（2023上·江蘇連云港·八年級連云港市新海實驗中學?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4

A．18 B．20 C．22 D．244．（2023上·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖，Rt△ABC的兩條直角邊BC=6，AC=8．分別以Rt△ABC的三邊為邊作三個正方形．若四個陰影部分面積分別為S1

A．4 B．3 C．2 D．05．（2023上·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側作正三角形ABD、ACE、BCF，圖中四塊陰影部分的面積分別為S1，S2，S3，S二．由勾股定理求兩條線段平方和（共4小題）6．（2023上·遼寧沈陽·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O．若AC⊥BD，AB=4，CD=5，則

7．（2023下·山西大同·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=2，CE=CD=3，△ABC的頂點A在△ECD的斜邊DE上，則AE2+A

8．（2023上·陜西西安·八年級陜西師大附中?？奸_學考試）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB邊上一個動點，連接CD，以CD為直角邊作等腰Rt

(1)如圖1，①求證：AD=BE．②線段AD、DB、(2)如圖2，若AC=BC=5，在動點D運動過程中，當△CDE周長取得最小值時，求此時CD的長．9．（2023下·全國·八年級專題練習）【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．(1)【性質探究】如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，試探究兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)【拓展應用】如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC和AB為直角邊向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，連接DE，若AC=4，AB=5，求DE的長．10．（2023上·浙江·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD與BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．則BP與BQ的關系為（）A．BP2=2BQ2 B．3BP三．利用勾股定理證明線段平方關系（共3小題）11．（2023上·遼寧沈陽·八年級?？茧A段練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，點F是直線AB上一個動點，作等腰Rt△FCP，且∠PCF=90°，連接

(1)找出圖中全等三角形______．(2)如圖求證：FB(3)若AF=2，則PF=______12．（2023下·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，點E在BC邊上（點E不與點B，C重合），連接DE，過點D作DF⊥DE交AC于點F，連接EF

(1)求證：A(2)若AC=7，BC=5，EC=1，直接寫出線段AF的長．13．（2023上·廣東茂名·八年級校考階段練習）如圖，E．F是等腰Rt△ABC的斜邊BC上的兩動點，∠EAF=45°，CD⊥BC且CD=BE

(1)△ABE≌△ACD；(2)EF(3)連接DE，若BC=8，求DE的最小值．四．利用勾股定理解決規(guī)律探究問題（共6小題）15．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第2023個正方形的面積為（

）

A．224044 B．224046 C．16．（2022下·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，∠MON=30°，點B1在邊OM上，且OB1=2，過點B1作B1A1⊥OM交ON于點A1，以A1B1為邊在A1B1右側作等邊三角形A1B1C1；過點C1作OM的垂線分別交OM、ON于點B2、A2，以A2B2為邊在A2B2的右側作等邊三角形△A2

17．（2023上·江蘇無錫·八年級無錫市僑誼實驗中學?？计谥校┱n堂上學習了勾股定理后知道：直角三角形三邊長是整數(shù)時我們稱之為“勾股數(shù)”．王老師給出一組數(shù)讓學生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學生解決．若兩直角邊為a,ba<b，斜邊為c(1)請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、______、______；(2)當a=n（n為奇數(shù)，且n≥3）時，若b=______，c=______時可以構造出勾股數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；(3)當a=n（n為偶數(shù)，且n>4）時，若b=______，c=______時可以構造出勾股數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；(4)構造勾股數(shù)的方法很多，請你尋找當a=20時，c=______．18．（2023下·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）當直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時，我們稱這三個數(shù)為勾股數(shù)，如：3，4，5都是正整數(shù)，且32+42=523，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．(1)當a=11時，求b，c的值(2)判斷10，24，26是否為一組勾股數(shù)？若是，請說明理由．19．（2022下·福建廈門·八年級?？计谥校┮阎猲組正整數(shù)：第一組：3，4，5；第二組：8，6，10；第三組：15，8，17；第四組：24，10，26；第五組：35，12，37；第六組：48，14，50；(1)以上每組中的三個整數(shù)存在某種等量關系且各組符合一定規(guī)律，請依據(jù)規(guī)律寫出第七組數(shù)并驗證存在的等量關系；(2)以任意一個大于2的偶數(shù)為一條直角邊的長，是否一定可以畫出一個直角三角形，使該直角三角形的另兩條邊的長都是正整數(shù)？若可以，請說明理由；若不可以，請舉出反例．五．利用勾股定理解決最值問題（共5小題）20．（2023上·江蘇連云港·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10．將△ABC沿射線BM折疊，使點A與BC邊上的點D重合，E為射線BM上一個動點，當△CDE周長最小時，CE的長為．21．（2023下·廣西柳州·八年級?？计谥校┯幸患茇Q直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內的線或點，∠ABC=90°，點M，N分別在AB,BC上，MN長度始終保持不變．MN=4，E為MN的中點，點D到BA,BC的距離分別為3和2，貓與老鼠的距離DE的最小值為．

22．（2023上·重慶·八年級重慶市商務學校（重慶市第九十四初級中學校）校考階段練習）在△ABC中，AC=2AB，點D為直線BC上一點，AD=AE,∠BAC=∠DAE，連接ED交AC于F．(1)如圖1，F(xiàn)為AC中點，若EF=3，求BD的長；(2)如圖2，延長CB至點M，使得BM=BD，連接AM,CE，求證：AM=CE；(3)如圖3，若∠BAC=90°,∠ADB=45°,DE=2，點P是線段BC上的一個動點，當AP+EP最小時，直接寫出這個最小值．23．（2023上·福建福州·八年級校聯(lián)考期末）如圖1，△ABC，AC=9，AB=10，∠BAC=30°．

(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，點M在邊AC上，點N在邊AB上，求BM+MN的最小值；(3)如圖3，點P是在邊AC上，過點P分別作直線AB、直線BC的對稱點D、E，當△DBE周長最小時，求線段CP的長．24．（2022上·江蘇常州·八年級?？计谥校?shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化，數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的．(1)【思想應用】已知m，n均為正實數(shù)，且m+n=2，求m2+1+n2+4的最小值．通過分析，小明想到了利用下面的構造解決此問題：如圖，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，點E是線段AB上的動點，且不與端點重合，連接CE，①用含m的代數(shù)式表示CE=，用含n的代數(shù)式表示DE=；②據(jù)此寫出m2+1+(2)【類比應用】根據(jù)上述的方法，代數(shù)式x2+25+(3)【拓展應用】①已知a，b，c為正數(shù)，且a+b+c=1，試運用構圖法，畫出圖形，并寫出a2②若a，b為正數(shù)，寫出以a2+b2，4a六．勾股定理與坐標軸綜合應用（共4小題）25．（2023·河北滄州·模擬預測）如圖，已知四邊形OABC在平面直角坐標系中，點A4，0，B第一步：找出四邊形OABC的任一直角頂點，第二步：與直角頂點相對的點為所作直角三角形的斜邊中點，第三步：剩余兩個頂點分別在所作直角三角形兩條直角邊上．佳佳畫出了如圖所示符合要求的直角三角形AEF．

解決下列問題：（1）點F的坐標為；（2）EF的長為；（3）琪琪認為還存在一個符合要求的直角三角形，那么這個直角三角形的斜邊長為．26．（2021下·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）如圖，在平面坐標系中，點A、點B分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=OB，另有兩點C(a,b)和D(b,-a)（a、b均大于0）；

(1)連接OD、CD，求證：∠ODC=45°；(2)連接CO、CB、CA，若CB=2，CO=4，CA=6，求∠OCB的度數(shù)；(3)若點E在線段OA上，且AE=2，CE=5，AC=41，動點P以每秒2個單位的速度從點E出發(fā)沿射線EO方向運動，運動時間為t秒，在點P的運動過程中，△APC能否成為等腰三角形？若能，求出t27．（2019上·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期中）如圖（1），是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）（1）用這樣的兩個三角形構造成如圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2＝c2；（2）用這樣的兩個三角形構造圖3的圖形，你能利用這個圖形證明出題（1）的結論嗎？如果能，請寫出證明過程；（3）當a＝3，b＝4時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點C為線段OA上一點，將△ABC沿著直線BC翻折，點A恰好落在x軸上的D處．①請寫出C、D兩點的坐標；②若△CMD為等腰三角形，點M在x軸上，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標．28．（2023上·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）【復習舊知】

結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是3：而4-1=3；表示-3和2兩點之間的距離是5：而-3-2=5；表示-4和-7兩點之間的距離是3：而一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離公式為│m－n│．

（1）數(shù)軸上表示數(shù)-4的點與表示-1的點之間的距離為________；【探索新知】如圖①，我們在“格點”直角坐標系上可以清楚看到：要找AB或DE的長度，顯然是化為求Rt△ABC或Rt

下面：以求DE為例來說明如何解決．從坐標系中發(fā)現(xiàn)：D-7,5，E4,-3．所以DF=5--3=8，（2）在圖②中：設Ax1,y1AC=____________，BC=____________，AB=____________．得出的結論被稱為“平面直角坐標系中兩點間距離公式”．【學以致用】

請用此公式解決如下題目：（3）已知A-2,3、B4,-5，試求A、（4）已知一個三角形各頂點坐標為A-1,1、B-3,3、29．（2023上·山西太原·八年級校聯(lián)考期中）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，大約有五百多種證明方法，下面是我國三國時期的數(shù)學家趙爽和意大利著名畫家達·芬奇的證明方法．趙爽利用4個全等的直角三角形拼成如圖1所示的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”），其中a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，四邊形ABDE和四邊形CFGH是正方形．

達·芬奇用如圖2所示的方法證明，其中剪開前的空白部分由2個正方形和2個全等的直角三角形組成，面積記為S1；剪開翻轉后的空白部分由2個全等的直角三角形和1個正方形組成，面積記為S任務：(1)下面是小穎利用趙爽弦圖驗證勾股定理的過程，請你幫她補充完整．證明：由圖1，知S正方形ABDE=4S△ABC∵S正方形ABDE=c2，S∴c2=4×1(2)請你參照小穎的驗證過程，利用圖2及圖中標明的字母寫出勾股定理的驗證過程．30．（2023上·山東棗莊·八年級?？茧A段練習）利用圖形整體面積等于部分面積之和可以證明勾股定理．

①如圖（1）所示可以證明勾股定理，因為大正方形面積表示為a+b2，又可表示為c2+4×12ab，所以②美國第20屆總統(tǒng)伽菲爾德利用圖（2）證明了勾股定理，請你用①的方法證明勾股定理；③如圖（3）請你用①的方法證明勾股定理；④如圖（4）請你用①的方法證明勾股定理．31．（2023上·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料，并完成相應任務．勾股定理表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數(shù)學的驕傲，它神秘而美妙，證法多樣，勾股定理的驗證過程多數(shù)采用的方法是“用兩種不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一個圖形的面積”，由于同一個圖形的面積相等，從而得到含a，b,c的恒等式，通過化簡即可完成勾股定理的驗證．數(shù)學上把這種方法稱之為“雙求法”．下面是利用“雙求法”驗證勾股定理的一種思路：如圖1，將兩個全等的直角三角形△ABC與△DAE如圖擺放，其中∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c．連接BD，過點D作BC延長線的垂線，垂足為F．容易得出：DF=CE,∠BAD=90°,S四邊形ABCD(1)任務一：請你根據(jù)上述材料中的思路驗證勾股定理；(2)任務二：請你用“雙求法”解決下列問題：如圖2，△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB邊上的高，若AC=10+2七．勾股定理的證明方法（共3小題）32．（2023上·河南鄭州·八年級?？茧A段練習）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后世也稱“趙爽弦圖”（如左圖所示），實際上，趙爽弦圖與完全平方公式有著密切的聯(lián)系．如圖是由8個全等的直角三角形拼成，其中直角邊分別為a，b，請回答以下問題：(1)如右圖，正方形ABCD的面積是_______，正方形IJKL的面積是_______；（用含a，b的式子表示）；(2)記正方形ABCD的面積、正方形EFGH、正方形IJKL的面積分別為S1,S2,S3，若S33．（2023上·浙江·八年級專題練習）“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．趙爽利用幾何圖形的截、割拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，在驗明勾股定理，為中國古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范．

(1)如圖1所示，是小華制作的一個“趙爽弦圖”紙板，其直角三角形的短直角邊BC的長為1．若中間小正方形黑色的面積占總面積的15，求直角三角形的長直角邊AC(2)小華將剛剛制作的“趙爽弦圖”紙板中的四個直角三角形中長直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學風車”，求這個風車的周長．34．（2023下·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習）課本再現(xiàn)（1）如圖1，四個全等的直角三角形拼成－一個大正方形，中間空白部分也是正方形．已知直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c．課堂上，老師結合圖形，用不同的方式表示大正方形的面積，證明了勾股定理．請證明：a類比遷移（2）現(xiàn)將圖1中的兩個直角三角形向內翻折，得到圖2，若a=3，b=4，則空白部分的面積為．方法運用（3）小賢將四個全等的直角三角形拼成圖3的“帽子”形狀，若AH=3，BH=4，請求出“帽子”外圍輪廓（實線）的周長．（4）如圖4，分別以Rt△ABC的三條邊向外作三個正方形，連接EC，BG，若設S△EBC=S1，S△BCG=S2，S35．（2023下·山西大同·七年級統(tǒng)考開學考試）回看古人數(shù)學成就，領略數(shù)學先賢智慧．認真閱讀并理解下面的材料，完成填空．材料一：勾股定理，被稱為“幾何學的基石”．在一個直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這個結論就是勾股定理．在古時候，我國數(shù)學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．成書于公元前1世紀的《周髀算經(jīng)》中有“勾三股四弦五”的記載，意思是在一個直角三角形中，如果較短直角邊的長度為3，較長直角邊的長度為4，斜邊的長度則為5（如圖1），可根據(jù)勾股定理32材料二：在西方，最早提出并證明勾股定理的是古希臘的畢達哥拉斯，因此也被稱為畢達哥拉斯定理．他根據(jù)勾股定理，在初始的大正方形上，做出了兩個相鄰的小正方形，兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積（如圖2），再以此類推，無限重復地做出各種大小不一的正方形，就形成了茂密的“畢達哥拉斯樹”（如圖3）．

(1)在一個直角三角形中，如果兩條直角邊的長度分別為6厘米和8厘米，根據(jù)勾股定理：62+82=（

(2)如圖4所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的邊長是7厘米，則正方形A、B、C、D的面積和是（

）平方厘米．八．利用勾股定理構建圖形解決實際問題（共4小題）36．（2022上·河南鄭州·八年級校聯(lián)考期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結合的紐帶之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理據(jù)傳當年畢達哥拉斯借助如圖所示的兩個圖驗證了勾股定理，請你說說其中的道理．(2)應用勾股定理①應用場景1——在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點．如圖1，在數(shù)軸上找出表示4的點A，過點A作直線l垂直于DA，在l上取點B，使AB=2，以點D為圓心，DB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點C表示的數(shù)是______．②應用場景2——解決實際問題．如圖2，鄭州某公園有一秋千，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=0.5m，將它往前推2m至C處時，水平距離CD=2m，踏板離地的垂直高度CF=1.537．（2023上·廣東佛山·八年級校聯(lián)考期中）閱讀下面材料：實際問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑為5cm，BC是底面直徑，高AB為5cm，求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線，小明設計了兩條路線．

解決方案：路線1：側面展開圖中的線段AC，如圖（2）所示：這路線一的長度為l1；則l路線2：高AB+底面直徑BC，如圖（1）所示：設路線2的長度為l2：則l為比較l1和l2的大小，我們采用“作差法∵l1∴l(xiāng)1∴l(xiāng)1小明認為應選擇路線2較短．(1)問題類比：小亮對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1cm，高AB為5cm”請你用上述方法幫小亮比較出l1與l(2)問題拓展：請你幫他們繼續(xù)研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為rcm時，高為hcm，螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C，當rh(3)問題解決：如圖（3）為兩個相同的圓柱緊密排列在一起，高為5cm，當螞蟻從點A出發(fā)，沿圓柱表面爬行到C點的兩條路線長度相等時，求圓柱的底面半徑r．（注：按上面小明所設計的兩條路線方式）38．（2023下·黑龍江綏化·八年級?？计谥校榱撕霌P“社會主義核心價值觀”，政府在廣場樹立公益廣告牌，如圖所示，為固定廣告牌，在兩側加固鋼纜，已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米，從D點測得廣告牌頂端A點和底端B點的距離分別是5米和32

(1)求公益廣告牌的高度AB；(2)求∠BDC的度數(shù)．39．（2022下·湖北咸寧·八年級?？计谀┮惠v裝滿貨物的卡車，高2.5米，寬1.6米，要開進上邊是半圓，下邊是長方形的橋洞，如圖所示，已知半圓的直徑為2m，長方形的另一條邊長是2.3(1)此卡車是否能通過橋洞