5.1.2++弧度制 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第五章三角函數(shù)5.1.2弧度制教學(xué)目標(biāo)

了解弧度制,明確1弧度的含義（重點(diǎn)、難點(diǎn)）01

能進(jìn)行弧度與角度的互化（重點(diǎn)）02掌握用弧度制表示扇形的弧長公式和面積公式（重點(diǎn)、難點(diǎn)）03

04弧度制學(xué)科素養(yǎng)

弧度制的概念

數(shù)學(xué)抽象區(qū)域角的表示直觀想象

用弧度制表示角的集合邏輯推理角度制和弧度制的換算、運(yùn)用已知條件處理扇形有關(guān)問題數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)據(jù)分析

數(shù)學(xué)建模弧度制01知識回顧RetrospectiveKnowledge任意角角的擴(kuò)充：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；一條射線繞其端點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角．所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合象限角與軸線角：把角的頂點(diǎn)固定在原點(diǎn)，角的終邊始終與x軸的非負(fù)半軸重合.那么，角α的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角.如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上,這個角稱軸線角.02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

度量長度可以用米、英尺、碼等單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制．

不同的單位制能給解決問題帶來方便.角的度量是否也能用不同的單位制呢？能否像度量長度那樣，用十進(jìn)制的實數(shù)來度量角的大小呢？

我們知道，角可以用度為單位進(jìn)行度量，1度的角等于周角的．這種用度作單位來度量角的單位制叫做角度制．

如圖，射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上的一點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O)的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對應(yīng)于圓心角α．

設(shè)α=n°,OP=r，點(diǎn)P形成的圓弧PP1的長為l

，由初中所學(xué)知識可知：(于是

如圖，在射線OA上任取一點(diǎn)Q(不同于點(diǎn)O)，OQ=r，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)Q所形成的圓弧QQ1的長為l，l與r的比值是多少?我們能得出什么結(jié)論？探究【結(jié)論】可以發(fā)現(xiàn)，圓心角α所對的弧長與半徑的比值，只與α的大小有關(guān)．也就是說，這個比值隨α的確定而唯一確定．這就啟發(fā)我們，可以利用圓的弧長與半徑的關(guān)系度量圓心角．弧度制的定義：

我們規(guī)定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度，記作1rad，讀作1弧度．

我們把半徑為1的圓叫做單位圓，如圖，在單位圓O中，AB的長度等于1，∠AOB就是1弧度的角．(BAO1rad根據(jù)上述規(guī)定：在半徑為r的圓中，弧長為l的的弧所對的圓心角為αrad，那么有：

其中，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)．當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)一周后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，就可以得到弧度數(shù)大于2π或者小于－2π的角．這樣就可以得到弧度為任意大小的角．

一般地，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．一般地，只需根據(jù)

兩邊同除以180兩邊同除以π就可以進(jìn)行角度和弧度的換算了．【例1】

把67°30′化成弧度．

今后用弧度制表示角時，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，而只寫該角所對應(yīng)的弧度數(shù)，例如角α=2，就表示α是2rad的角；

角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系：每個角都有唯一的實數(shù)(等于這個叫的弧度)；同樣地，每個實數(shù)也都有唯一一個對應(yīng)的角(弧度數(shù)等于這個實數(shù)).常見特殊角的角度與弧度對應(yīng)表：【練習(xí)】把下列角度化成弧度．【練習(xí)】把下列弧度化成角度．(1)關(guān)鍵:抓住互化公式π

rad=180°是關(guān)鍵;(2)角度化弧度時,應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度;(3)角度化為弧度時,其結(jié)果寫成π的形式,沒特殊要求,切不可進(jìn)行近似計算,也不必將π化為小數(shù);(4)注意角度制和弧度制不能混用.角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法:其中R是圓的半徑，α(0<α<π)為圓心角，l是扇形的弧長，S是扇形的面積．（1）

；

（2）

；

（3）

．【例2】利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：【練習(xí)】圓的一段弧長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)是

.

03拓展提升ExpansionAndPromotion【練習(xí)】如圖，一扇形所在的圓的半徑為1，且該扇形的周長為4，則這個扇形所含弓形（圖中的陰影部分）的面積為

.

04歸納總結(jié)SumUp弧度制的定義

我們規(guī)定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度，記作1rad，讀作1弧度.

兩邊同除以180兩邊同除以π角度制和弧度制換算弧度角公式：弧長公式：

扇形面積公式：05課后作業(yè)HomeworkAfterClass2.若一扇形的圓心角為72°，半徑為20，則扇形的面積為