高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)專(zhuān)題05圓錐曲線中的向量問(wèn)題(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題05圓錐曲線中的向量問(wèn)題(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)題型一：垂直關(guān)系向量化1．（2024上·貴州安順·高二統(tǒng)考期末）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)恒滿足：點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．2．（2024上·天津?qū)幒印じ呷y(tǒng)考期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，直線，的斜率分別為，，且，求證：（i）；（ii）直線過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）已知橢圓，，分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為左頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的最小值是焦距的．(1)求橢圓的離心率；(2)直線過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)，與橢圓C交于P，O兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限）．且面積的最大值為，①求橢圓C的方程；②若直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓恒過(guò)右焦點(diǎn)．題型二：向量坐標(biāo)化1．（2024上·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)和直線:，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知，過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，若，求的斜率的值.2．（2024上·天津西青·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)為，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)C滿足，點(diǎn)B在橢圓上（異于橢圓的項(xiàng)點(diǎn)），直線與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)M，且M為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.3．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求直線的斜率．題型三：利用向量求角1．（2024上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求證：.2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）已知雙曲線與直線：（）有唯一的公共點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，在第一象限.(1)探求參數(shù)，滿足的關(guān)系式；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.題型四：利用向量證明三點(diǎn)共線問(wèn)題1．（2022上·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線：的一條漸近線的斜率為，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線（斜率存在且不為0）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn).2．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.(1)求的方程；(2)若直線l的方程為，點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（與M不重合）在橢圓上，求t的值；(3)設(shè)，直線PA與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，若點(diǎn)C，D和點(diǎn)三點(diǎn)共線，求k的值.3．（2023上·江蘇連云港·高三?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·上海·高二上海市育才中學(xué)?？计谀┮阎?，點(diǎn)滿足．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)記動(dòng)點(diǎn)軌跡為曲線，直線交曲線于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)，求的值．5．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在上．(1)求的方程．(2)設(shè)是雙曲線的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn).試探究：是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2024上·江蘇無(wú)錫·高二無(wú)錫市第一中學(xué)校考期末）已知雙曲線的離心率為，上焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為2．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線交雙曲線上支于，兩點(diǎn)．在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的的距離為3，離心率為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.8．（2024上·上?！じ叨？计谀┮阎p曲線．(1)求上焦點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的上支上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)到的距離的最小值，并求此時(shí)的坐標(biāo)；(3)若為雙曲線的上頂點(diǎn)，直線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），，求實(shí)數(shù)的值．9．（2024上·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┰O(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上.過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.已知拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，位于點(diǎn)之間.若拋物線在點(diǎn)處的切線與切線相交于點(diǎn).求證：(1)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn);(2)的外接圓過(guò)定點(diǎn).專(zhuān)題05圓錐曲線中的向量問(wèn)題(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)題型一：垂直關(guān)系向量化1．（2024上·貴州安順·高二統(tǒng)考期末）已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)恒滿足：點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解即可；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得出韋達(dá)定理，再代入計(jì)算得即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由題設(shè)及拋物線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡為以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為拋物線，故點(diǎn)P的軌跡C的方程為：．（2）由（1）得，曲線C的方程為：．由題設(shè)可知，直線l的斜率必不為0，故設(shè)，由得：．設(shè)，，則，．所以，，故．2．（2024上·天津?qū)幒印じ呷y(tǒng)考期末）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，直線，的斜率分別為，，且，求證：（i）；（ii）直線過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，設(shè)出直線，直線，聯(lián)立，得到，聯(lián)立，得，通過(guò)計(jì)算得，即可證明；再計(jì)算出，從而得出直線的方程，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）（i）由（1）知，設(shè)直線，直線，由，消得到，得到，，所以，由，消得到，得到，，所以，故，，所以，故，（ii）由（i）知，所以直線的方程為，整理得到，所以直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為.3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）已知橢圓，，分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為左頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的最小值是焦距的．(1)求橢圓的離心率；(2)直線過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)，與橢圓C交于P，O兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限）．且面積的最大值為，①求橢圓C的方程；②若直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓恒過(guò)右焦點(diǎn)．【答案】(1)(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)距離的最小值與焦距的關(guān)系列方程，從而求得離心率.（2）①設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式求得三角形面積的表達(dá)式，根據(jù)三角形面積的最大值求得，從而求得橢圓的方程.②求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由證得以為直徑的圓恒過(guò)右焦點(diǎn)．【詳解】（1）先求橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最小值：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，則，所以，二次函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，所以二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.由題意可得，∴，橢圓的離心率為.（2）①由（1）可知，，∴，設(shè)橢圓方程為，法一：由題意可知直線的斜率顯然不為0，設(shè)直線方程為：，，，聯(lián)立，消去x整理得，由題意知恒成立，則，，則，令，則，∴，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最大值，，∴，∴，，，橢圓方程為：．法二：當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，由題知，，此時(shí)，設(shè)PQ：，聯(lián)立，得，設(shè)，，由題意知恒成立，，，，令，∴，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，∴，?∴，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，代入中，得，∴，∴面積的最大值為，∴，橢圓方程為.②法一：由（i）知，，∴，?，∴直線的方程為：，直線的方程為：，∴，，∴，，由，得，，，∴，∴，∴以為直徑的圓恒過(guò)右焦點(diǎn)．法二：由（i）知，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，有，，直線，令，得，同理，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，∴，，∴直線的方程為：，直線的方程為：，∴，，∴，，由，，，∴，∴，∴以為直徑的圓恒過(guò)右焦點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】求解橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值或最小值，可設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求得最值.求解橢圓中三角形面積的最值有關(guān)問(wèn)題，可先求得面積的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法來(lái)求最值.題型二：向量坐標(biāo)化1．（2024上·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)和直線:，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)已知，過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，若，求的斜率的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，用坐標(biāo)表示出已知關(guān)系化簡(jiǎn)即得；（2）設(shè)，直線方程為代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，再由向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出的關(guān)系，結(jié)合越來(lái)可求得值．【詳解】（1）設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)得:.（2）設(shè)：，與聯(lián)立得，，因?yàn)?，則定點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則該直線與橢圓必有兩交點(diǎn)，所以因?yàn)椋?，即，所以③，由①③得，將④⑤代入②，得，化?jiǎn)得，，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，再根據(jù)向量關(guān)系式，從而解出，最后得到關(guān)于的方程，解出即可.2．（2024上·天津西青·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)為，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)C滿足，點(diǎn)B在橢圓上（異于橢圓的項(xiàng)點(diǎn)），直線與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)M，且M為線段的中點(diǎn)，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由橢圓定義得，，由此即可得解.（2）由題意得，，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合求出斜率即可得解.【詳解】（1）由題意得，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，又，所以，由題意，點(diǎn)B在橢圓上（異于橢圓的項(xiàng)點(diǎn)），所以直線斜率存在且不為0，設(shè)，直線和橢圓方程聯(lián)立得，得，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)橹本€與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，即為中點(diǎn)，則，，，，因?yàn)椋?，得，因?yàn)?，所以?所以直線或.3．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且，求直線的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓離心率為可知，所以橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓的方程即可求解；（2）設(shè)直線的方程并將其方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及求解.【詳解】（1）由可知，，則，即，則橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程可得，解得，，故橢圓的方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，且，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，，化簡(jiǎn)得，解得或，，，由可知，所以，，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以直線的斜率為.題型三：利用向量求角1．（2024上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用拋物線的焦半徑公式，可求得p的值，即得答案；（2）設(shè)出直線CD的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.得，解得，故拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，由，得，，.

，，即直線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故.2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）已知雙曲線與直線：（）有唯一的公共點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，在第一象限.(1)探求參數(shù)，滿足的關(guān)系式；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，因只有一個(gè)切點(diǎn)從而可得，從而求解.（2）將直線分別與雙曲線的兩漸近線方程聯(lián)立求出，，由（1）可求出，即，分別求出，，，從而可求解.【詳解】（1）聯(lián)立方程，整理得.由，且是雙曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，可得，則，即為參數(shù)，滿足的關(guān)系式.

結(jié)合圖象，由點(diǎn)在第一象限，可知，且.所以，的關(guān)系式滿足.（2）由題可得雙曲線的左焦點(diǎn)，漸近線為.聯(lián)立方程，解得，即；聯(lián)立方程，解得，即.結(jié)合，且由式可變形為，解得，可得.要證，即證，即證，即證，即證.由，得.根據(jù)直線的斜率公式，，，，則，，可得，因此，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用直線與雙曲線方程聯(lián)立后利用，從而求得和點(diǎn)坐標(biāo)，然后由直線分別與雙曲線的兩漸近線聯(lián)立求出坐標(biāo)，要證，從而可求解.題型四：利用向量證明三點(diǎn)共線問(wèn)題1．（2022上·陜西咸陽(yáng)·高二咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線：的一條漸近線的斜率為，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線（斜率存在且不為0）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到，，再由三點(diǎn)共線得到，代入即可得解.【詳解】（1）∵雙曲線的方程為：，∴雙曲線的漸近線方程為，設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，，∴雙曲線的方程為.（2）由（1）知，雙曲線的右焦點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，，，則，聯(lián)立，消去得，顯然有且，化簡(jiǎn)得且，則，，故，，∵，，三點(diǎn)共線，∴，則，∴，又，∴，∴，∴，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，∴直線的方程為：，∴直線經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，斜率為k的直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.(1)求的方程；(2)若直線l的方程為，點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（與M不重合）在橢圓上，求t的值；(3)設(shè)，直線PA與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，若點(diǎn)C，D和點(diǎn)三點(diǎn)共線，求k的值.【答案】(1)(2)(3).【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸，離心率及求出橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，列出方程組，求出，代入橢圓方程，求出值，舍去不合要求的值；（3）設(shè)和直線PA的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，同理設(shè)，得到，根據(jù)三點(diǎn)共線得到方程，求出答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，所以，，所以，所以.故橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，則，由N在橢圓P上，可得，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)M重合，舍去，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，滿足要求.（3）設(shè)，，，，則，.又，所以，所以，則，同理可求得.又，則，.由點(diǎn)C，D和點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，則，可得，則.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，處理三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共圓，或兩直線傾斜角互補(bǔ)或相等問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)轉(zhuǎn)化為斜率之和為0或斜率相等或轉(zhuǎn)化為向量來(lái)進(jìn)行解決，進(jìn)而列出方程，代入計(jì)算即可.3．（2023上·江蘇連云港·高三?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的直線的方程為．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．【答案】(1)(2)證明詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)求得橢圓的離心率.（2）求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法證得三點(diǎn)共線.【詳解】（1）依題意，，所以離心率.（2）直線的斜率為，由（1）得，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，在橢圓上，所以，，則，所以，所以三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】求解三點(diǎn)共線的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為來(lái)進(jìn)行求解，也可以轉(zhuǎn)化為來(lái)進(jìn)行求解.求解點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)在于中點(diǎn)和斜率，根據(jù)這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可求得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ杏胖袑W(xué)?？计谀┮阎?、，點(diǎn)滿足．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)記動(dòng)點(diǎn)軌跡為曲線，直線交曲線于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，求出、的值，即可得出點(diǎn)的軌跡方程；（2）將直線的方程與點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，分析可知，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值.因此，點(diǎn)的軌跡方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，同理可得，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)，則，即，整理可得，又因?yàn)?，解?2．（2024上·天津·高二天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期末）已知?圓：（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)向量垂直滿足的坐標(biāo)關(guān)系求解.【詳解】（1）由題意可得所以，所以橢圓方程為；（2）由題意可得直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，，，所以，所以，故，,所以，所以，所以，解得，故直線的方程為.

3．（2024上·天津河北·高三統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為，且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連接，交橢圓于點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)得，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系即可得方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理求坐標(biāo)，根據(jù)已知確定坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求，即可證.【詳解】（1）由題設(shè)，，得，橢圓的方程為.（2）由（1）知，由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，又，將代入，得，則.所以，為定值.4．（2024·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積得到關(guān)系式，結(jié)合離心率以及求解出，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)向量共線表示出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)關(guān)系，再利用點(diǎn)差法結(jié)合已知坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)從而得到關(guān)于的表示，根據(jù)橢圓的有界性可求的范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則依據(jù)得，整理得，又，故，得，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即重合，顯然不成立，所以，所以，即，又，得，又，故，且，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.5．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在上．(1)求的方程．(2)設(shè)是雙曲線的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn).試探究：是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)？若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，或，使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由漸近線方程與點(diǎn)在雙曲線上待定即可得方程；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，滿足條件.設(shè)，，分別表示直線，令，得坐標(biāo)，將以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為條件，利用韋達(dá)定理代入變形為關(guān)系式，不受影響，求值即可.【詳解】（1）由題意可知：，解得，故雙曲線C的方程為：（2）由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，又點(diǎn)及點(diǎn)均在軸上，若存在定點(diǎn)，滿足以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)在軸上.故假設(shè)存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).雙曲線的左頂點(diǎn)，由題意知直線不垂直于軸，故設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，∴，，解得，又直線的方程為，代入，同理，直線的方程為，代入.要使以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則.∴，∴，解得，或故存在定點(diǎn)，或，使得以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).

6．（2024上·江蘇無(wú)錫·高二無(wú)錫市第一中學(xué)?？计谀┮阎p曲線的離心率為，上焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為2．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線交雙曲線上支于，兩點(diǎn)．在軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)離心率、雙曲線的漸近線以及點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程，可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程與交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程寫(xiě)出韋達(dá)定理，進(jìn)而建立方程，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)殡x心率為且雙曲線，則①，（2）易知直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得，顯然，且，由韋達(dá)定理得，，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立，不妨設(shè)，此時(shí)，即，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上，軸上存在點(diǎn)，使恒成立．7．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的的距離為3，離心率為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率、焦點(diǎn)到漸近線的距離為3及求出可得答