2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）已知，且線段是、的比例中項(xiàng)，那么為A． B． C． D．2．（4分）下列四組數(shù)中，不能組成比例的是A．0.2，0.3，0.4，0.6 B．2，4，6，8 C．，，5，2 D．，，，3．（4分）拋物線的圖象經(jīng)過平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且其對稱軸為直線，那么平移后所得拋物線的解析式為A． B． C． D．4．（4分）如圖，已知，，那么下列比例式中錯誤的是A． B． C． D．5．（4分）如圖，點(diǎn)是斜邊上異于，的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線截，使截得的三角形與相似，滿足這樣條件的直線共有A．1條 B．2條 C．3條 D．4條6．（4分）如圖，平行四邊形的對角線、相交于，如果△△，那么的比值為A． B． C．2 D．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．8．（4分）如圖，正五角星中包含了許多黃金三角形，許多線段之間構(gòu)成了黃金比，如點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．已知厘米，那么厘米．9．（4分）上海南站到杭州東站的距離約為190千米，在比例尺為的地圖上，這兩地的圖上距離為厘米．10．（4分）如果拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，那么它的開口方向．11．（4分）已知拋物線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，那么的值等于．12．（4分）在△中，若厘米，厘米，則這個三角形的重心到的距離是厘米．13．（4分）如圖，，，，，則．14．（4分）如圖，矩形中，，，若將矩形折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，求折痕的長．15．（4分）已知：在△中，，為斜邊上的高，如果，，那么．16．（4分）如圖，在△中，，，，延長至點(diǎn)，使△相似于△，則．17．（4分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1，△的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)、、、、、、是△邊上的7個格點(diǎn)，請?jiān)谶@7個格點(diǎn)中任意選取3個點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與△相似，符合題意的三角形共有個．18．（4分）如圖，已知△中，，，，平分，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別記為、，如果點(diǎn)落在射線上，那么的長度為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）已知：如圖，點(diǎn)、在△的邊上，點(diǎn)在邊上，且．（1）若，，，求的長；（2）若，求證：．20．（10分）已知：如圖，在△中，，平分，且．求證：．21．（10分）已知：如圖，在△中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．（1）求的長；（2）求點(diǎn)到的距離．22．（10分）如圖，在△中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，與過點(diǎn)且垂直于的直線相交于點(diǎn)（1）求的值；（2）求的值．23．（12分）如圖，已知菱形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、、，交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：．24．（12分）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，已點(diǎn)的坐標(biāo)是，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)在軸上方拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．25．（14分）如圖，在邊長為6的正方形中，點(diǎn)為邊上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），，交對角線于點(diǎn)，交對角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）如圖1，聯(lián)結(jié)，求證：△△，并寫出的值；（2）聯(lián)結(jié)，如圖2，若設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）當(dāng)為邊的三等分點(diǎn)時，求的長度．

參考答案一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）已知，且線段是、的比例中項(xiàng)，那么為A． B． C． D．解：，，是、的比例中項(xiàng)，，，，，即，故選：．2．（4分）下列四組數(shù)中，不能組成比例的是A．0.2，0.3，0.4，0.6 B．2，4，6，8 C．，，5，2 D．，，，解：．由于，即，因此選項(xiàng)不符合題意；．在2，4，6，8中，不存在兩個數(shù)的積等于另兩個數(shù)的積，因此選項(xiàng)符合題意；．由于，即，因此選項(xiàng)不符合題意；．由于，因此選項(xiàng)不符合題意；故選：．3．（4分）拋物線的圖象經(jīng)過平移后的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且其對稱軸為直線，那么平移后所得拋物線的解析式為A． B． C． D．解：根據(jù)題意設(shè)經(jīng)過平移后的拋物線為，其對稱軸為直線，，，平移后的拋物線為，故選：．4．（4分）如圖，已知，，那么下列比例式中錯誤的是A． B． C． D．解：，，△△，△△，△△，，，，．，，，．故選：．5．（4分）如圖，點(diǎn)是斜邊上異于，的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線截，使截得的三角形與相似，滿足這樣條件的直線共有A．1條 B．2條 C．3條 D．4條解：由于是直角三角形，過點(diǎn)作直線截，則截得的三角形與有一公共角，所以只要再作一個直角即可使截得的三角形與相似，過點(diǎn)可作的垂線、的垂線、的垂線，共3條直線．故選：．6．（4分）如圖，平行四邊形的對角線、相交于，如果△△，那么的比值為A． B． C．2 D．解：四邊形是平行四邊形，，△△，，，，，；故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）已知，那么．解：由，得，，故答案為：．8．（4分）如圖，正五角星中包含了許多黃金三角形，許多線段之間構(gòu)成了黃金比，如點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．已知厘米，那么2厘米．解：五角星是正五角星，厘米，是線段的黃金分割點(diǎn)，，即，解得厘米．故答案為：2．9．（4分）上海南站到杭州東站的距離約為190千米，在比例尺為的地圖上，這兩地的圖上距離為1.9厘米．解：190千米厘米，（厘米），故答案為：1.9．10．（4分）如果拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，那么它的開口方向上．解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，解得：開口向上，故答案為上．11．（4分）已知拋物線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，那么的值等于．解：拋物線解析式為，拋物線的對稱軸，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，，，解得，故的值等于，故答案為：．12．（4分）在△中，若厘米，厘米，則這個三角形的重心到的距離是2厘米．解：如圖，過點(diǎn)作于，厘米，△是等腰三角形，三角形的重心在上，設(shè)高為厘米，根據(jù)勾股定理，，則，厘米，根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得，到的距離是：（厘米），故答案為：2．13．（4分）如圖，，，，，則3．解：，（平行線分線段成比例），，，故答案為：3．14．（4分）如圖，矩形中，，，若將矩形折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)重合，求折痕的長．解：連接．點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，即垂直平分，，，．又四邊形為矩形，，，．設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，且為中點(diǎn)，，．．，．同理．即．15．（4分）已知：在△中，，為斜邊上的高，如果，，那么．解：在△中，，，，，，，，，．16．（4分）如圖，在△中，，，，延長至點(diǎn)，使△相似于△，則12．解：，△相似于△，，，，故答案為：12．17．（4分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1，△的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)、、、、、、是△邊上的7個格點(diǎn)，請?jiān)谶@7個格點(diǎn)中任意選取3個點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與△相似，符合題意的三角形共有6個．解：設(shè)網(wǎng)格的邊長為1．則，，．連接，，，．，△△．同理可找到△，△，△，△，△和△相似，共6個．故答案為：6．18．（4分）如圖，已知△中，，，，平分，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別記為、，如果點(diǎn)落在射線上，那么的長度為．解：，，，，將△繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得△，，，，，平分，，，，，△△，，，，，，，，，，△△，，，故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）已知：如圖，點(diǎn)、在△的邊上，點(diǎn)在邊上，且．（1）若，，，求的長；（2）若，求證：．【解答】（1）解：，△△，，，，，，，；（2）證明：，，，，．20．（10分）已知：如圖，在△中，，平分，且．求證：．【解答】證明：，，又，△△，，平分，，，又，，．21．（10分）已知：如圖，在△中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．（1）求的長；（2）求點(diǎn)到的距離．解：如圖，（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，在△中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，，，，在△中，，，．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，．點(diǎn)到的距離為．22．（10分）如圖，在△中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，與過點(diǎn)且垂直于的直線相交于點(diǎn)（1）求的值；（2）求的值．解：（1），，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，△△，，．（2）△△，，，，．23．（12分）如圖，已知菱形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、、，交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：．【解答】（1）證明：于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，△△，，，，四邊形是菱形，，，，；（2）解：，，，，，△△，，，，△△，，四邊形是菱形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，．24．（12分）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，已點(diǎn)的坐標(biāo)是，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)在軸上方拋物線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)是軸上一動點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似，求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解（1）拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)，，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式是；（2），，點(diǎn)在軸上方，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，得（舍去）或，當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，易得△為的銳角三角形，所以△也是銳角三角形，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，，，，，，①如果，則，，即點(diǎn)，②如果則，，即點(diǎn)．25．（14分）如圖，在邊長為6的正方形中，點(diǎn)為邊上的