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-2025學(xué)年南京市六校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)合調(diào)研試卷全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一?單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.3 D.52.設(shè)為實(shí)數(shù),已知直線,若,則()A.6 B. C.6或 D.或33.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為6,則實(shí)數(shù)等于()A. B. C.12 D.4.已知,則()A. B. C. D.35.設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn),且的面積為8,則()A. B. C.1 D.6.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C. D.7.如圖,兩個(gè)相同的正四棱臺(tái)密閉容器內(nèi)裝有純凈水,,圖1中水面高度恰好為棱臺(tái)高度的,圖2中水面高度為棱臺(tái)高度的,若圖1和圖2中純凈水的體積分別為,則()A. B. C. D.8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論:“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線,切線方程為.”設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,過(guò)且垂直于軸的直線與的一個(gè)交點(diǎn)為,過(guò)作橢圓的切線,若切線的斜率與直線的斜率滿足,則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.二?多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.國(guó)慶期間,某校開(kāi)展“弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化,傳承中華文明”主題活動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽.賽前為了解學(xué)生的備賽情況,組織對(duì)高一年級(jí)和高二年級(jí)學(xué)生的抽樣測(cè)試,測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)處理后,得到如下頻率分布直方圖,則下面說(shuō)法正確的是()A.B.高一年級(jí)抽測(cè)成績(jī)的眾數(shù)為75C.高二年級(jí)抽測(cè)成績(jī)的70百分位數(shù)為87D.估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均分低于高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均分10.已知,是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,,,則 B.若,,,則C若,,,則 D.若,,,則11.已知圓C:,以下四個(gè)命題表述正確的是()A.若圓與圓C恰有3條公切線,則B.圓與圓C的公共弦所在直線為C.直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)D.點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為,且的中點(diǎn)為,若定點(diǎn),則的最大值為6三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.12.從分別寫(xiě)有的五張卡片中任取兩張,則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為_(kāi)_____.13.已知為橢圓上的點(diǎn),,則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_________.14.已知,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),若恒成立,則正整數(shù)的最小值是__________.四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng).16.如圖,圓柱中,是一條母線,是底面一條直徑,是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)若,求二面角余弦值.17.某校為了厚植文化自信?增強(qiáng)學(xué)生愛(ài)國(guó)情懷,特舉辦“中國(guó)詩(shī)詞精髓”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),比賽中只有兩道題目,比賽按先題后題的答題順序各答1次,答對(duì)題得2分,答對(duì)題得3分,答錯(cuò)得0分.已知學(xué)生甲答對(duì)題的概率為,答對(duì)題的概率為,其中,學(xué)生乙答對(duì)題的概率為,答對(duì)題的概率為,且甲乙各自在答兩題的結(jié)果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為,得3分的概率為.(1)求的值;(2)求比賽后,甲乙總得分不低于8分的概率.18.已知圓過(guò)點(diǎn),圓心直線上,且直線與圓相切.(1)求圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn).若為線段的中點(diǎn),求直線的方程.19.已知橢圓離心率為分別為橢圓的左?右頂點(diǎn),?分別為橢圓的左?右焦點(diǎn),.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)與軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)(在軸的兩側(cè)),記直線,的斜率分別為.(i)求的值;(ii)若,問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn),若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn);若不過(guò)定點(diǎn),說(shuō)明理由.2024-2025學(xué)年南京市六校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)合調(diào)研試卷全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一?單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知,,所以.故選:B2.設(shè)為實(shí)數(shù),已知直線,若,則()A.6 B. C.6或 D.或3【答案】A【解析】【分析】由兩條直線的一般式方程平行的條件求解即可.【詳解】因?yàn)?,所以,解得:?當(dāng)時(shí),,平行;當(dāng)時(shí),,可判斷此時(shí)重合,舍去.故選:A3.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距為6,則實(shí)數(shù)等于()A. B. C.12 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立方程,解之即可求解.【詳解】由題意知,,又,所以,即實(shí)數(shù)的值為12.故選:C4.已知,則()A B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式和同角的商關(guān)系可得,結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算即可求解.【詳解】由,得,即,所以.故選:B5.設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn),且的面積為8,則()A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形的面積公式可得,由圓心到直線的距離,再利用點(diǎn)線距公式建立方程,解之即可.【詳解】由三角形的面積公式可得,得,由,得,所以為等腰直角三角形,所以圓心到直線的距離為,由點(diǎn)到直線的距離公式得,解得.故選:C6.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由點(diǎn)坐標(biāo),得到坐標(biāo),代入直線方程即可.【詳解】設(shè)點(diǎn),因?yàn)?,所以,代入直線方程可得:,化簡(jiǎn)可得:.所以的軌跡方程為.故選:C7.如圖,兩個(gè)相同的正四棱臺(tái)密閉容器內(nèi)裝有純凈水,,圖1中水面高度恰好為棱臺(tái)高度的,圖2中水面高度為棱臺(tái)高度的,若圖1和圖2中純凈水的體積分別為,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)棱臺(tái)的體積公式,求出,即可解出.【詳解】設(shè)四棱臺(tái)的高度為h,在圖1中,中間液面四邊形的邊長(zhǎng)為5,在圖2中,中間液面四邊形的邊長(zhǎng)為6,則,所以.故選:D.8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論:“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線,切線方程為.”設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,過(guò)且垂直于軸的直線與的一個(gè)交點(diǎn)為,過(guò)作橢圓的切線,若切線的斜率與直線的斜率滿足,則橢圓C的離心率為()A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件,求出點(diǎn)的坐標(biāo),再求出切線與直線的斜率,列式求解即可.【詳解】依題意,,由代入橢圓方程得,不妨設(shè),則切線,即,切線的斜率,直線的斜率,則,所以.故選:C二?多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.國(guó)慶期間,某校開(kāi)展“弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化,傳承中華文明”主題活動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽.賽前為了解學(xué)生的備賽情況,組織對(duì)高一年級(jí)和高二年級(jí)學(xué)生的抽樣測(cè)試,測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)處理后,得到如下頻率分布直方圖,則下面說(shuō)法正確的是()A.B.高一年級(jí)抽測(cè)成績(jī)的眾數(shù)為75C.高二年級(jí)抽測(cè)成績(jī)的70百分位數(shù)為87D.估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均分低于高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均分【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)頻率分步直方圖?樣本的數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識(shí)判斷即可.【詳解】對(duì)于A:由,解得,正確;對(duì)于B:由頻率分布直方圖可知高一年級(jí)抽測(cè)成績(jī)的眾數(shù)為75,正確;對(duì)于C:因?yàn)椋?,,所?0百分位數(shù)是,故錯(cuò)誤;對(duì)于D:高一年學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為分;高二年學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為分,因?yàn)?,故正確;故選:ABD10.已知,是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是()A.若,,,則 B.若,,,則C.若,,,則 D.若,,,則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用空間線線、線面、面面垂直或平行關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A,由,得存在過(guò)直線的平面與平面相交,令交線為,則,而,,則,,因此,A正確;對(duì)于B,由,,,得是平行直線或異面直線,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由,得存在過(guò)直線的平面與平面相交,令交線為,則,由,得,又,則,因此,C正確;對(duì)于D,,,,當(dāng)都平行于的交線時(shí),,D錯(cuò)誤.故選:AC11.已知圓C:,以下四個(gè)命題表述正確的是()A.若圓與圓C恰有3條公切線,則B.圓與圓C的公共弦所在直線為C.直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)D.點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為,且的中點(diǎn)為,若定點(diǎn),則的最大值為6【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可判斷A;由兩圓方程相減即為兩圓公共弦所在直線方程,即可判斷B;求出直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo),得到定點(diǎn)在圓內(nèi),故直線與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn),即可判斷C;易知直線AB恒過(guò)定點(diǎn),由得出點(diǎn)M的軌跡,結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可判斷D.【詳解】A:由題意得:的圓心為,半徑為,該圓與圓有3條公切線,則兩圓外切,所以,解得,故A錯(cuò)誤;B:兩圓的圓心分別為,半徑分別為和2,則,所以兩圓相交,與相減得:,故圓與圓C的公共弦所在直線為,故B正確;C:變形為,令,解得,即直線恒過(guò)點(diǎn),由于,點(diǎn)在圓M內(nèi),所以與圓M恒有兩個(gè)公共點(diǎn),故C正確;D:如圖,圓,半徑為2,則圓C與y軸相切,切點(diǎn)為原點(diǎn),即為,易知直線恒過(guò)點(diǎn),又為的中點(diǎn),則,所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓,圓心為,半徑為1,又,所以的最大值為,故D正確.故選:BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵點(diǎn)在于直線AB恒過(guò)定點(diǎn),由得出點(diǎn)M的軌跡為圓.三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.12.從分別寫(xiě)有的五張卡片中任取兩張,則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】由古典概型概率計(jì)算公式直接求解.【詳解】從五張卡片中任取兩張共有,兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)有,共4種,所以概率.故答案為:13.已知為橢圓上的點(diǎn),,則線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】記線段的長(zhǎng)度為,表達(dá)的函數(shù),利用,;,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值.【詳解】設(shè),記線段的長(zhǎng)度為,是橢圓上任意一點(diǎn),設(shè),,,所以:.由于,故時(shí),有最小值,且的最小值,故答案為:14.已知,點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),若恒成立,則正整數(shù)的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】求出直線AC的方程,設(shè).由,列不等式,利用判別式法求出t的范圍,即可求解.【詳解】由題意知直線AC的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)D是直線上的動(dòng)點(diǎn),所以可設(shè).因?yàn)?,所以,化?jiǎn)得:對(duì)任意x恒成立,所以,化簡(jiǎn)得,解得或,結(jié)合t為正整數(shù)得:t的最小值為4.故答案為:4四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)二倍角公式,結(jié)合正弦定理邊角互化,即可求解,(2)根據(jù)面積公式可得的值,結(jié)合余弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?根據(jù)正弦定理,得,因?yàn)?,所?又,所以.【小問(wèn)2詳解】在中,由已知,因?yàn)橛捎嘞叶ɡ砜傻?,?,即,又,所以.所以的周長(zhǎng)周長(zhǎng)為.16.如圖,圓柱中,是一條母線,是底面一條直徑,是的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【解析】【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)可得又,結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理即可證明;(2)如圖,確定是二面角的平面角,利用定義法求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭且粭l母線,所以平面,而平面則因?yàn)槭堑酌嬉粭l直徑,C是的中點(diǎn),所以,即,又平面且,所以平面,而平面,則平面平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè),則,因?yàn)镃是的中點(diǎn),為底面圓心,所以平面,作,交于點(diǎn)連接,由可知,是二面角的平面角.則,即,在直角中,.所以.故二面角的余弦值為.17.某校為了厚植文化自信?增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷,特舉辦“中國(guó)詩(shī)詞精髓”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),比賽中只有兩道題目,比賽按先題后題的答題順序各答1次,答對(duì)題得2分,答對(duì)題得3分,答錯(cuò)得0分.已知學(xué)生甲答對(duì)題的概率為,答對(duì)題的概率為,其中,學(xué)生乙答對(duì)題的概率為,答對(duì)題的概率為,且甲乙各自在答兩題的結(jié)果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為,得3分的概率為.(1)求的值;(2)求比賽后,甲乙總得分不低于8分的概率.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)由概率乘法公式列出等式求解即可.(2)記甲得分為i分的事件為,乙得分為i分的事件為,從而得到不低于8分的事件為,再結(jié)合概率加法、乘法公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得,解得.【小問(wèn)2詳解】比賽結(jié)束后,甲?乙個(gè)人得分可能為.記甲得分為i分的事件為,乙得分為i分的事件為,相互獨(dú)立,記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E,則,且彼此互斥.易得.,所以所以兩輪投籃后,甲總得分不低于8分的概率為.18.已知圓過(guò)點(diǎn),圓心在直線上,且直線與圓相切.(1)求圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn).若為線段的中點(diǎn),求直線的方程.【答案】(1)
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