北京市朝陽(yáng)區(qū)2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題 附解析

2022北京朝陽(yáng)高三一模數(shù)學(xué)一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】D【解析】【分析】將集合、化簡(jiǎn)，再根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可.【詳解】∵集合，集合，∴．故選：D.2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B. C.2 D.【2題答案】【答案】B【解析】【分析】先求出圓心到直線的距離，然后利用半徑、圓心距和弦的關(guān)系可求出弦長(zhǎng)【詳解】解：圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線被圓所截得弦長(zhǎng)為，故選：B3.已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A. B. C. D.3【3題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算性質(zhì)即得．【詳解】∵，，且與的夾角為，∴，∴，∴．故選：A.4.設(shè)，若，，，則（）A. B. C. D.【4題答案】【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】∵，∴，，，∴.故選：C.5.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【5題答案】【答案】C【解析】【分析】由題可得或，即求.【詳解】∵函數(shù)，，∴或，解得.故選：C.6.已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【6題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，利用基本不等式定理與舉特例判斷可得．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有成立，綜上，“”是“”的充分不必要條件，故選：A．7.已知三棱錐，現(xiàn)有質(zhì)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿棱移動(dòng)，規(guī)定質(zhì)點(diǎn)Q從一個(gè)頂點(diǎn)沿棱移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn)為1次移動(dòng)，則該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)3次移動(dòng)后返回到A點(diǎn)的不同路徑的種數(shù)為()A.3 B.6 C.9 D.12【7題答案】【答案】B【解析】【分析】第1步和最后一步位置都A，中間兩步位置可從B、C、D三個(gè)點(diǎn)中選兩個(gè)排列即可.【詳解】可以看成先后順序?yàn)?、2、3、4的四個(gè)座位，第1和第4個(gè)座位都是A，第2和第3兩個(gè)座位從B、C、D三個(gè)字母選兩個(gè)進(jìn)行排列，共種排法.故選：B.8.已知數(shù)列，若存在一個(gè)正整數(shù)使得對(duì)任意，都有，則稱(chēng)為數(shù)列的周期.若四個(gè)數(shù)列分別滿足：①，；②，；③，，；④，則上述數(shù)列中，8為其周期的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【8題答案】【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)列的周期的定義逐項(xiàng)分析即得.【詳解】①∵，∴數(shù)列的周期為，故8也是數(shù)列的周期；②由，，可得故數(shù)列的周期為；③由，，可得，，故數(shù)列的周期為；④由，可得，，故數(shù)列的周期為，所以8也是數(shù)列的周期.故8為其周期的數(shù)列個(gè)數(shù)為2.故選：B.9.如圖1，北京2022年冬奧會(huì)比賽場(chǎng)地之一首鋼滑雪大跳臺(tái)與電力廠的冷卻塔交相輝映，實(shí)現(xiàn)了它與老工業(yè)遺址的有效融合.如圖2，冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面.它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為.在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，則雙曲線的方程近似為（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A. B. C. D.【9題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而結(jié)合題意得，設(shè)，則，再待定系數(shù)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)椋?，，，所以，設(shè)，則點(diǎn)在雙曲線上，所以，，因?yàn)?，，所以，，所以，解得，所?故雙曲線的方程近似為.故選：A10.在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計(jì)劃通過(guò)側(cè)面內(nèi)任意一點(diǎn)將木塊鋸開(kāi)，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是（）A. B. C. D.【10題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作分別交于，在平面內(nèi)，過(guò)作交于，在平面內(nèi)，過(guò)作交于，連接，進(jìn)而根據(jù)題意，∽，設(shè)其相似比為，則，再證明四邊形是矩形，再結(jié)合相似比和二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作分別交于，在平面內(nèi)，過(guò)作交于，在平面內(nèi)，過(guò)作交于，連接，作圖如下，因?yàn)?，則，所以∽，設(shè)其相似比為，則，因?yàn)?，所以在中，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，則，所以，∽，即，因，所以，即，同理∽，即，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以∽，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形是矩形，即，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：B二?填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在答題卡上.11.計(jì)算________．【11題答案】【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】解：.故答案為：.12.已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，若，則___________；___________.【12題答案】【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閯t，將代入得，得，所以，所以.故答案為：；.13.已知直線和是曲線的相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸，則滿足條件的一個(gè)的值是___________.【13題答案】【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)周期求，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求.【詳解】由條件可知，得，當(dāng)時(shí)，，，得，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：（答案不唯一）14.某地進(jìn)行老舊小區(qū)改造，有半徑為60米，圓心角為的一塊扇形空置地（如圖），現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一塊三角形綠地，其中在上，，垂足為，，垂足為，設(shè)，則___________（用表示）；當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，這塊三角形綠地的最大面積是___________.【14題答案】【答案】①.米②.平方米.【解析】【分析】由題可得，結(jié)合條件及面積公式可得，再利用三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】在中，，AP=60米，∴（米），在中，可得，由題可知，∴的面積為：，又，，∴當(dāng)，即時(shí)，的面積有最大值平方米，即三角形綠地的最大面積是平方米.故答案為：米；平方米.15.在平面直線坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，直線：與拋物線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：①的面積是；②點(diǎn)的坐標(biāo)是；③在軸上存在點(diǎn)使；④以為直徑的圓與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【15題答案】【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)題意，進(jìn)而聯(lián)立方程得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的切線方程為，進(jìn)而結(jié)合題意，依次討論求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，聯(lián)立方程得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以點(diǎn)，所以的面積是，故①正確；由于拋物線在軸上方對(duì)應(yīng)的曲線方程為，，所以過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的切線斜率為，所以，過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的切線方程為，即，所以，，故②錯(cuò)誤；假設(shè)在軸上存在點(diǎn)使，則，所以，解得，即存在點(diǎn)使，故③正確；以為直徑的圓的方程為，令得，故其與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，此時(shí)，顯然，故④正確.故答案為：①③④三?解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，.（1）求；（2）再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【16~17題答案】【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，進(jìn)而可得，即得；（2）選①②利用正弦定理可得，又利用誘導(dǎo)公式及和差角公式可得，可得不存在；選①③利用余弦定理及面積公式即得；選②③利用正弦定理可得，再利用面積公式即求.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，又，∴，即，又，∴；【小問(wèn)2詳解】選①②，由，，，∴，，，又，∴不存在；選①③，，，由余弦定理可得，，即，∴，即，∴的面積為；選②③，∵，，，∴，，∴，∴的面積為.17.某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類(lèi)知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測(cè)試，記錄他們的成績(jī)，測(cè)試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）若全校學(xué)生參加同樣的測(cè)試，試估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)（每組成績(jī)用中間值代替）；（2）在樣本中，從其成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用表示其成績(jī)?cè)谥械娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）在（2）抽取的3人中，用表示其成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)，試判斷方差與的大小.（直接寫(xiě)結(jié)果）【17~19題答案】【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，；（3）.【解析】【分析】（1）利用直方圖的性質(zhì)及平均數(shù)的計(jì)算方法即得；（2）由題可知服從超幾何分布，即求；（3）由超幾何分布即得.【小問(wèn)1詳解】由直方圖可得第二組的頻率為，∴全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋骸拘?wèn)2詳解】由題可知成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生共有人，其中中的人數(shù)為5，所以可取0,1,2,3，則，，，，故的分布列為：0123P；【小問(wèn)3詳解】.18.如圖1，在四邊形中，，，，，，分別是，上的點(diǎn)，，，，.將沿折起到的位置，得到五棱錐，如圖2.（1）求證：平面；（2）若平面平面，（i）求二面角的余弦值；（ii）對(duì)線段上任意一點(diǎn)，求證：直線與平面相交.【18~19題答案】【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（i），（ii）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即得；（2）（i）利用坐標(biāo)法即求；（ii）可設(shè)，進(jìn)而可得，利用向量數(shù)量積可得，即得.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，∴，又，∴平面；【小問(wèn)2詳解】（i）由，可知為的平面角，又平面平面，∴，即，又，∴平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，又平面的一個(gè)法向量可取，∴，∴二面角的余弦值為；（ii）由題設(shè)，又，∴，∴，又，∴，又平面的一個(gè)法向量為，由，可得，又，∴，∴直線與平面相交.19.已知，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸重合，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍；（3）設(shè)，在（2）的條件下，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.【19~21題答案】【答案】（1）（2）（3）單調(diào)遞減，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在點(diǎn)處的切線方程為，再結(jié)合題意得，進(jìn)而得答案；（2）由題知在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可；（3）由題知，進(jìn)而判斷的單調(diào)性并進(jìn)而結(jié)合得函數(shù)在上恒成立，進(jìn)而判斷單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與軸重合，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在極值，所以在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，故要使在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)，則，即綜上，，即的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，理由如下：，，，所以，令，則在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由于，所以函數(shù)在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減.20.已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程和離心率；（2）過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.【20~21題答案】【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出后可得橢圓方程并可求離心率.（2）設(shè)，，則可用諸參數(shù)表示，再聯(lián)立直線方程和橢圓方程，并利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)后可得斜率的比值.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)有，故，故橢圓的方程為，故離心率為.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)可得的斜率必存在且不為零，設(shè)，，則，由可得，故，，由可得，故即，且，又，故，21.對(duì)非空數(shù)集，，定義與的和集.對(duì)任意有限集，記為集合中元素的個(gè)數(shù).（1）若集合，，寫(xiě)出集合與；（2）若集合滿足，，且，求證：數(shù)列，，，是等差數(shù)列；（3）設(shè)集合滿足，，且，集合（，），求證：存在集合滿足且.【21~23題答案】【答案】（1），；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1