專題02直線方程（考題猜想易錯必刷36 題15 種題型）（教師版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題02直線方程（易錯必刷36題15種題型專項訓(xùn)練）題型大集合點斜式方程綜合應(yīng)用截距式方程綜合應(yīng)用一般式直線理論直線與坐標(biāo)軸圍成面積含參直線過定點點到直線距離最值型平行線距離最值范圍對稱：點關(guān)于直線對稱對稱：光學(xué)性質(zhì)對稱：最小值對稱：兩點距離公式幾何意義對稱：將軍飲馬型對稱：疊紙型直線關(guān)于直線對稱直線綜合題型大通關(guān)一．點斜式方程綜合應(yīng)用（共3小題）1．（22-23高二上·北京·期中）已知直線，直線l2是直線l1繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的直線．則直線l2的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求得的斜率，利用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，則，，故，又點在直線上，故直線的方程為，整理得：.故選：D.2．（21-22高二上·新疆省直轄縣級單位·期中）已知的三個頂點，則的高CD所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出，進而得到，再由點斜式寫出直線方程即可.【詳解】由題意知：，則，故CD所在的直線方程為，即.故選：D.3．（21-22高一上·江蘇南通·期中）已知點到和的距離相等，則的最小值為A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】首先求得線段的垂直平分線的方程，由此求得的關(guān)系式，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】因為點到和的距離相等，所以點在線段的垂直平分線上，且過AB的中點，，垂直平分線的斜率為，由點斜式得，所以垂直平分線的方程為：即，因為，且，所以.所以的最小值為，故選：D.【點睛】本小題主要考查線段垂直平分線方程的求法，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.截距式方程綜合應(yīng)用（共3小題）4．（23-24高二上·廣東東莞·期中）直線經(jīng)過點，在軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出直線方程，求得其在在軸上的截距，建立不等式，解出即可.【詳解】設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，令，得，故直線在軸上的截距為，令，得或者，故選：5．（23-24高二上·陜西榆林·期中）直線經(jīng)過點，在軸上的截距為，在軸上的截距為，且滿足，則直線的斜率為（

）A．2 B． C． D．或【答案】C【分析】由題意設(shè)直線的方程為，列出關(guān)于的方程組，求解即可.【詳解】由題意設(shè)直線的方程為，則①，又，∴②，由①②解得，或，，又由知，則，，則直線的斜率為．故選：C．6．（21-22高二上·江蘇南通·期中）過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線有（

）A．4條 B．2條 C．3條 D．1條【答案】C【分析】考慮截距為0，截距相等且不為0，截距互為相反數(shù)且不為0，求出相應(yīng)的方程，得到答案.【詳解】當(dāng)截距為0時，設(shè)直線方程為，將代入，求得，故方程為；當(dāng)截距不為0時，①截距相等時，設(shè)方程為，將代入，即，解得：，故方程為；②截距互為相反數(shù)時，設(shè)直線方程為，將代入，即，解得：，故方程為；一條是截距為0，一條是截距相等(不為0)，一條是截距互為相反數(shù)(不為0)，共3條.故選：C三．一般式直線理論（共2小題）7．（21-22高二上海浦東新·期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（

）A．存在唯一的實數(shù)δ，使點N在直線上B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過線段M，N的中點；D．若，則點M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長線相交；【答案】A【分析】根據(jù)題意對一一分析，逐一驗證．【詳解】解：對于，化為：，即點，不在直線上，因此不正確．對于，，則，即過，兩點的直線與直線的斜率相等，又點，不在直線上，因此兩條直線平行，故正確；對于，，則，化為，因此直線經(jīng)過線段的中點，故正確；對于，，則，則點，在直線的同側(cè)，故正確；故選A【點睛】本題考查了直線系方程的應(yīng)用、平行直線的判定、點與直線的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．8．（21-22高二上·北京·期中）設(shè)，為不同的兩點，直線.記，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①不論為何值，點都不在直線上；②若，則過的直線與直線相交；③若，則直線經(jīng)過的中點.A．0個 B．1個C．2個 D．3個.【答案】C【分析】①通過分母不為0，確定，可以判斷①的對錯；②③通過對條件整理變形，利用直線的相關(guān)性質(zhì)判斷.【詳解】因為，分母不為0，所以，所以不論為何值，點都不在直線上，①正確；當(dāng)時，設(shè)，（），則，為直線上的兩個點，顯然直線與直線平行，故過的直線與直線不會相交，②錯誤；當(dāng)時，設(shè)，整理得：，因為，，所以的中點坐標(biāo)為，故若，則直線經(jīng)過的中點.③正確；正確的個數(shù)為2個故選：C四．直線與坐標(biāo)軸圍成面積（共4小題）9．（2022高三·全國·期中）直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】令，可得；令，可得，可得，，解出即可．【詳解】解：令，可得；令，可得，，，解得，且．故選：．【點睛】本題考查了直線的截距意義、三角形的面積計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（21-22高二上·安徽·期中）過點且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4的直線的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)直線的斜率為，得到，分別求得直線在坐標(biāo)軸上的截距，根據(jù)題意列出方程，即，分類討論，即可求解.【詳解】由題意知，所求直線的斜率一定存在，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，即，令，可得；令，可得，因為過點且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4，可得，整理得，當(dāng)時，可得，解得；當(dāng)時，可得，解得或，所以滿足條件的直線方程共有3條.故選：C.11．（22-23高二上·河南期中）已知直線l過點，且分別交兩直線于x軸上方的兩點，O點為坐標(biāo)原點，則面積的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．20【答案】A【分析】判斷直線斜率存在并設(shè)直線l的方程為，求出兩點的橫坐標(biāo)，表示出三角形的面積，并化簡，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知直線l的斜率一定存在，斜率設(shè)為k，則直線l的方程為，分別與聯(lián)立可得兩點的橫坐標(biāo)：，故，兩點都在x軸的上方，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故面積的最小值為8，故選：A．12．（21-22高二下·江蘇南京·期中）直線中，．若l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于10，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．16【答案】B【解析】根據(jù)題意求出三角形的面積，找到滿足的條件，列舉即可解出．【詳解】因為，所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，于是，若時，沒有這樣的滿足條件；若時，；若時，；若時，，所以這樣的直線的條數(shù)為7．故選：B．【點睛】本題主要考查直線的截距式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．五．含參直線過定點（共2小題）13．（23-24高二上·河北石家莊·期中）不論k為任何實數(shù)，直線恒過定點，若直線過此定點其中m，n是正實數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求出的關(guān)系，然后利用基本不等式求出的最小值.【詳解】由直線，得：，即恒過點，因為直線過此定點，其中m，n是正實數(shù)所以，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；故選：B14．（2023高二上·全國·期中）已知，滿足，則直線必過定點（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用已知條件消去，令的系數(shù)為0即可.【詳解】由，得，代入直線方程中，得，即，令，解得，所以該直線必過定點.故選：D六．點到直線距離最值型（共3小題）15．（2023高二上·江蘇·期中）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（）A．； B．；C．； D．；【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到直線過定點，若使得到直線的距離最大，則，求得，得到，進而得到直線方程.【詳解】由直線，可得化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，若要到直線的距離最大，只需，此時點到直線的最大距離，即為線段的長度，可得，又由直線的斜率為，因為，可得，可得，故此時直線的方程為，即，經(jīng)檢驗，此時，上述直線的方程能夠成立.故選：C.16．（23-24高二上·北京海淀·期中）點到直線的距離最大時，直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由直線方程確定定點，根據(jù)時點線距離最大，求出直線的斜率，進而可得直線的斜率，進而寫出直線的方程.【詳解】由直線的方程整理可得：，可得直線恒過定點，所以，當(dāng)時，到直線的距離最大，可得直線的斜率為，即，所以直線的方程為，即．故選：．17．（23-24高二上·全國·期中）若動點分別在直線和上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由題意，知點M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出的值，再利用點到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意，知點M在直線與之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，則，即，∴點M在直線上，∴點M到原點的距離的最小值就是原點到直線的距離，即.故選：A.平行線距離最值范圍（共2小題）18．（22-23高二上·四川成都·期中）已知，兩點的坐標(biāo)分別為，，若兩平行直線，分別過點A，B，則，間的距離的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線之間的距離轉(zhuǎn)化為一直線上的點到平行線之間的距離，可結(jié)合圖形分析，間的距離的最大值為，即可求得.【詳解】解：由題可知，，如圖，兩平行直線，分別過點A，B，因為，所以，間的距離即點到直線的距離，由圖可知，當(dāng)，垂直時，，間的距離取最大值，即最大值為，又由兩點間的距離公式可知，.故選：D．19．（21-22高二上·黑龍江哈爾濱·期中）夾在兩平行直線與之間的圓的最大面積等于A． B． C． D．【答案】B【解析】夾在兩平行直線之間的面積最大的圓與這兩條直線都相切，求出直徑即可得到面積【詳解】兩平行直線與之間的距離：，夾在兩平行直線與之間的圓半徑最大值為2，所以該圓的面積為.故選：B【點睛】此題考查求兩條平行直線之間的距離，關(guān)鍵在于熟記距離公式正確求解.八．對稱：點關(guān)于直線對稱（共2小題）20．（23-24高二上·安徽·期中）已知在中，頂點，點在直線上，點在軸上，則的周長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對稱將三角形的周長轉(zhuǎn)化為四點共線問題，求出兩點之間距離即可.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，點關(guān)于軸的對稱點為，連接交于，交軸于，則此時的周長取最小值，且最小值為，與關(guān)于直線對稱，，解得，易求得，，即周長的最小值為.故選：.21．（22-23高二上·江蘇南京期中）已知的一條內(nèi)角平分線的方程為，兩個頂點為、，則頂點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】計算出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，可求得直線的方程，聯(lián)立直線、的方程，可得出點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，線段的中點為，則點在直線上，所以，，即，①因為直線與直線垂直，直線的斜率為，則，②聯(lián)立①②可得，，即點，，所以，直線的方程為，由題意可知，點為直線、的交點，聯(lián)立，解得，因此，點的坐標(biāo)為.九．對稱：光學(xué)性質(zhì)（共2小題）22．（23-24高二上·福建三明·期中）已知，從點射出的光線經(jīng)y軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到點，則光線所經(jīng)過的路程為（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】利用光線反射定理結(jié)合點關(guān)于直線的對稱點即可求得光線所經(jīng)過的路程.【詳解】直線的方程為，點關(guān)于y軸的對稱點為，設(shè)點E關(guān)于直線的對稱點為，則，解之得，則設(shè)點射出的光線交y軸于點C，交直線于點D，則光線所經(jīng)過的路程為故選：C23．（23-24高二上·安徽·期中）如圖，已知某光線從點射出，經(jīng)過直線上的點B后第一次反射，此反射光線經(jīng)過直線上的點C后再次反射，該反射光線經(jīng)過點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】分別求出點關(guān)于的對稱點為以及點關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)，然后根據(jù)光的反射原理，即可得出答案.【詳解】設(shè)點關(guān)于的對稱點為，則有，解得，所以，.又點關(guān)于的對稱點為，根據(jù)光的反射原理，可知點與點，均在直線上，所以．故選：D.十．對稱：最小值（共2小題）24．（23-24高二上·河南洛陽·期中）已知直線分別與軸交于兩點，若直線上存在一點，使最小，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作點關(guān)于直線對稱的點，連接交直線于點，求出坐標(biāo)即可.【詳解】由題直線分別與軸交于兩點，則，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，所以，則直線，聯(lián)立，所以.故選：A25．（23-24高二上·四川達州·期中）已知直線：和點，點，點P是直線上一動點，當(dāng)最小時，點P的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出A關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)，求出直線方程，與已知直線方程聯(lián)立即可求解.【詳解】依題意，設(shè)關(guān)于直線的對稱點，所以，解得，所以，由直線的對稱性知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，即取到最小，由及知直線的方程為，聯(lián)立，解得，即.所以最小時，點P的坐標(biāo)是.故選：C十一．對稱：兩點距離公式幾何意義（共3小題）26．（23-24高二上·河北·期中）已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C．108 D．117【答案】A【分析】將轉(zhuǎn)化為動點到，兩點距離之和，再結(jié)合直線的對稱問題，即可解決距離和的最小值.【詳解】∵∴該式表示直線l：上一點到，兩點距離之和的最小值．易知P，Q兩點在l的同一側(cè)，設(shè)點P關(guān)于l對稱的點，則，解得，∴，故．故選：A.27．（23-24高二上·河南新鄉(xiāng)·期中）的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意將所求問題轉(zhuǎn)化為上一點到兩點的距離之和的最小值，可求出點關(guān)于直線的對稱點為，可得答案.【詳解】因為表示直線上一點到兩點的距離之和．設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，所以，解得，即，所以，即的最小值為.故選：C.

28．（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為動點Px,y到定點和的距離之和的最小值問題，然后求出點A關(guān)于的對稱點為，結(jié)合圖形可解.【詳解】因為，所以，目標(biāo)式表示動點Px,y到定點和的距離之和.點Px,y在直線上，設(shè)點A關(guān)于的對稱點為，則，解得，由對稱性可知，，當(dāng)三點共線時等號成立，所以，的最小值為.故選：C十二．對稱：將軍飲馬型（共2小題）29．（22-23高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】A【分析】作圖，求出點關(guān)于直線對稱的點，再由兩點間的距離公式即可得解．【詳解】如圖，

設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．30．（22-23高二上·河北石家莊·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求最小（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將已知變形設(shè)出，，則為點分別到點，的距離之和，則，即可根據(jù)兩點間距離計算得出答案.【詳解】，，設(shè)，，，則為點分別到點，的距離之和，點關(guān)于軸的對稱點的坐標(biāo)為，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時取等號，故選：B.十三．對稱：疊紙型（共2小題）31．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點和點重合，點和點重合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點關(guān)于折線對稱，先求出折線方程，再根據(jù)與關(guān)于折線對稱求出即可.【詳解】設(shè)點和，線段中點為點,折線即為線段的中垂線，則，，所以，直線的斜率為，則折線斜率為2，所以折線方程為：，由題知與關(guān)于折線對稱，則兩點中點在直線上且兩點連線與直線垂直，所以化簡得，解得，所以.故選：A32．（22-23高二上·浙江杭州·期中）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點與點重合，點與點重合，則（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由對稱，求出折痕所在直線方程，兩個方程相同，列方程組可求未知數(shù).【詳解】假設(shè)折痕所在直線的斜率不存在，由點與點可得折痕所在直線的方程為，由點與點可得折痕所在直線的方程為，故舍去；由點與點可得折痕所在直線的斜率不為0，由點與點關(guān)于折痕對稱，兩點的中點坐標(biāo)為，兩點確定直線的斜率為，則折痕所在直線的斜率為，所以折痕所在直線的方程為：，即，由點與點關(guān)于折痕對稱，兩點的中點坐標(biāo)為，兩點確定直線的斜率為，則折痕所在直線的斜率為，所以折痕所在直線的方程為：，即，則有，解得.所以故選：D十四．直線關(guān)于直線對稱（共2小題）33．（21-22高二上·湖北武漢·期中）已知直線：與關(guān)于直線對稱，與平行，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】點關(guān)于直線的對稱點為可得的方程，再根據(jù)相互平行