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2025屆甘肅省宕昌縣第一中高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則公比()A. B.2C.2或 D.42.若函數(shù)f(x)=x2+x+1在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.3.已知函數(shù)(其中)的部分圖像如圖所示,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.4.下列直線中,傾斜角為銳角的是()A. B.C. D.5.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為A.54 B.45C.27 D.816.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則A. B.C. D.7.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.函數(shù)直線與的圖象相交于A、B兩點(diǎn),則的最小值為()A.3 B.C. D.9.已知,則的大小關(guān)系為()A. B.C. D.10.如圖,在平行六面體中,為與的交點(diǎn),若,,,則的值為()A. B.C. D.11.命題“,都有”的否定為()A.,使得 B.,使得C.,使得 D.,使得12.“,”的否定是A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.圓被直線所截得弦的最短長度為___________.14.如圖,一個(gè)小球從10m高處自由落下,每次著地后又彈回到原來高度的,若已知小球經(jīng)過的路程為,則小球落地的次數(shù)為______15.函數(shù)滿足,且,則的最小值為___________.16.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路,湖上有橋(是圓的直徑).規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)、,并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求,線段、上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和(為垂足),測(cè)得,,(單位:百米).(1)若道路與橋垂直,求道路的長;(2)在規(guī)劃要求下,點(diǎn)能否選在處?并說明理由.18.(12分)已知E,F(xiàn)分別是正方體的棱BC和CD的中點(diǎn)(1)求與所成角的大小;(2)求與平面所成角的余弦值19.(12分)已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率是1的直線l,使l被圓C截得的弦AB,以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),若存在,寫出直線l的方程;若不存在,說明理由.20.(12分)某工廠修建一個(gè)長方體無蓋蓄水池,其容積為4800立方米,深度為3米.池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元.設(shè)池底長方形長為x米(1)求底面積,并用含x的表達(dá)式表示池壁面積;(2)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?最低造價(jià)是多少?21.(12分)已知圓的圓心為,且圓經(jīng)過點(diǎn)(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若圓:與圓恰有兩條公切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍22.(10分)已知函數(shù),當(dāng)時(shí),有極大值3(1)求的值;(2)求函數(shù)的極小值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由兩式相除即可求公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,∵其各項(xiàng)均為正數(shù),故q>0,∵,∴,又∵,∴=4,則q=2.故選:B.2、C【解析】若f(x)=x2+x+1在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn),則f'(x)=x2-ax+1在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),且零點(diǎn)不是f'(x)的圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).由x2-ax+1=0,得a=x+.因?yàn)閤∈,y=x+的值域是,當(dāng)a=2時(shí),f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合題意.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故選C.3、B【解析】根據(jù)題圖有且,結(jié)合五點(diǎn)法求參數(shù),即可得的解析式.【詳解】由圖知:且,則,所以,則,即,又,可得,,則,,又,即有.綜上,.故選:B4、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率,再推導(dǎo)出直線的傾斜角即可.【詳解】選項(xiàng)A:直線的斜率,則直線傾斜角為,是銳角,判斷正確;選項(xiàng)B:直線的斜率,則直線傾斜角為鈍角,判斷錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:直線的斜率,則直線傾斜角為0,不是銳角,判斷錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:直線沒有斜率,傾斜角為直角,不是銳角,判斷錯(cuò)誤.故選:A5、B【解析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個(gè)三棱錐而成,直觀圖如圖所示,所以該幾何體的體積為故選B點(diǎn)睛:本題考查了組合體的體積,由三視圖還原出幾何體,由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.6、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合已知條件,求得,進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,故,所以,故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】因但8、C【解析】先求出AB坐標(biāo),表示出,規(guī)定函數(shù),其中,利用導(dǎo)數(shù)求最小值.【詳解】聯(lián)立解得可得點(diǎn).聯(lián)立解得可得點(diǎn).由題意可得解得,令,其中,∴.∴函數(shù)單調(diào)遞減;.因此,的最小值為故選:C【點(diǎn)睛】距離的最值求解:(1)幾何法求最值;(2)代數(shù)法:表示出距離,利用函數(shù)求最值.9、B【解析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減,利用單調(diào)性比較大小【詳解】設(shè)恒成立,函數(shù)在上單調(diào)遞減,.故選:B10、D【解析】將用基底表示,然后利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,且,則為的中點(diǎn),,則.故選:D11、A【解析】根據(jù)命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,命題“,都有”的否定為:,使得故選:A12、D【解析】通過命題的否定的形式進(jìn)行判斷【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題,故“,”的否定是“,”.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】首先確定直線所過定點(diǎn);由圓的方程可確定圓心和半徑,進(jìn)而求得圓心到的距離,由此可知所求最短長度為.【詳解】由得:,直線恒過點(diǎn);,在圓內(nèi);又圓的圓心為,半徑,圓心到點(diǎn)的距離,所截得弦的最短長度為.故答案為:.14、4【解析】設(shè)小球從第(n-1)次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過的路程為m,則由已知可得數(shù)列是從第2項(xiàng)開始以首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得,再設(shè)設(shè)小球第n次落地時(shí),經(jīng)過的路程為,由等比數(shù)列的求和公式建立方程求解即可.【詳解】解:設(shè)小球從第(n-1)次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過的路程為m,則當(dāng)時(shí),得出遞推關(guān)系,所以數(shù)列是從第2項(xiàng)開始以首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,且,設(shè)小球第n次落地時(shí),經(jīng)過的路程為,所以,所以,解得,故答案為:4.15、6【解析】化簡得出,由化簡后根據(jù)均值不等式建立不等式,求解二次不等式即可得解.【詳解】,由得:,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),所以的最小值為6.故答案為:616、【解析】先求出導(dǎo)函數(shù),進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,然后求出切線方程.【詳解】由題意,,,則切線方程為:.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)15(百米)(2)點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求,理由見解析【解析】(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,得圓及直線的方程,進(jìn)而得解.(2)不妨點(diǎn)選在處,求方程并求其與圓的交點(diǎn),在線段上取點(diǎn)不符合條件,得結(jié)論.【小問1詳解】如圖,過作,垂足為.以為坐標(biāo)原點(diǎn),直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉閳A的直徑,,所以圓的方程為.因?yàn)椋?,所以,故直線的方程為,則點(diǎn),的縱坐標(biāo)分別為3,從而,,直線的斜率為.因?yàn)椋灾本€的斜率為,直線的方程為.令,得,,所以.因此道路的長為15(百米).【小問2詳解】若點(diǎn)選在處,連結(jié),可求出點(diǎn),又,所以線段.由解得或,故不妨取,得到在線段上的點(diǎn),因?yàn)?,所以線段上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于圓的半徑5.因此點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求.18、(1)60°;(2).【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可求出異面直線所成角的余弦值,進(jìn)而結(jié)合異面直線成角的范圍即可求出結(jié)果;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可求出求出線面角的正弦值,進(jìn)而結(jié)合線面角的范圍即可求出結(jié)果;【小問1詳解】以AB,AD,所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為,則,,,,所以,,設(shè)與EF所成角的大小為,則,因?yàn)楫惷嬷本€成角的范圍是,所以與所成角的大小為60°【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為,與平面所成角為,因?yàn)椋?,所以,,所以,令,得為平面的一個(gè)法向量,又因?yàn)?,所以,所?9、x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】假設(shè)存在,并設(shè)出直線方程y=x+b,然后代入圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理得到根的關(guān)系,最后利用OA⊥OB即x1x2+y1y2=0,得到參數(shù)b的方程求解即可試題解析:設(shè)直線l的方程為y=x+b①圓C:x2+y2-2x+4y-4=0.②聯(lián)立①②消去y,得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有③因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),所以O(shè)A⊥OB,即x1x2+y1y2=0,而y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2,所以2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,把③代入:b2+4b-4-b(b+1)+b2=0,即b2+3b-4=0,解得b=1或b=-4,故直線l存在,方程是x-y+1=0,或x-y-4=0考點(diǎn):存在性問題【方法點(diǎn)睛】存在性問題,首先應(yīng)假設(shè)存在,然后去求解.對(duì)本題來說具體是:設(shè)出直線方程y=x+b,然后分析幾何性質(zhì)得到OA⊥OB即得到關(guān)于參數(shù)b方程求解即可.解該類問題最容易出錯(cuò)的的地方是,忽視對(duì)參數(shù)范圍的考慮,即直線方程與圓的方程聯(lián)立求解后應(yīng)得到,即求出的b值必須滿足b的范圍,否則無解20、(1)1600,(平方米);(2)池底設(shè)計(jì)為邊長40米的正方形時(shí)總造價(jià)最低,最低造價(jià)為268800元.【解析】(1)根據(jù)題意,由于修建一個(gè)長方體無蓋蓄水池,其容積為4800立方米,深度為3米可得底面積為1600,池壁面積s=.(2)同時(shí)池底每平方米的造價(jià)為150元,池壁每平方米的造價(jià)為120元設(shè)池底長方形長為x米,則可知總造價(jià)s=,x=40時(shí),則.故可知當(dāng)x=40時(shí),則有可使得總造價(jià)最低,最低造價(jià)是268800元.考點(diǎn):不等式求解最值點(diǎn)評(píng):主要是考查了不等式求解最值的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)給定條件求出圓C的半徑,再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交,由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意,圓C的半徑,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是:.【小問2詳解】圓:的圓心,半徑為,因圓與圓恰有兩條公切線,則有圓O與圓C相交,即,而,
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