河南省安陽(yáng)第三十五中學(xué) 2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

河南省安陽(yáng)第三十五中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓截直線(xiàn)所得弦的最短長(zhǎng)度為（）A.2 B.C. D.42．橢圓的兩焦點(diǎn)之間的距離為A. B.C. D.3．在等比數(shù)列中，，則等于（）A. B.C. D.4．人教A版選擇性必修二教材的封面圖案是斐波那契螺旋線(xiàn)，它被譽(yù)為自然界最完美的“黃金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋線(xiàn)的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．斐波那契螺旋線(xiàn)的畫(huà)法是:以斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…為邊長(zhǎng)的正方形拼成長(zhǎng)方形，然后在每個(gè)正方形中畫(huà)一個(gè)圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連起來(lái)的弧線(xiàn)就是斐波那契螺旋線(xiàn)．下圖為該螺旋線(xiàn)在正方形邊長(zhǎng)為1，1，2，3，5，8的部分，如圖建立平面直角坐標(biāo)系（規(guī)定小方格的邊長(zhǎng)為1），則接下來(lái)的一段圓弧所在圓的方程為（）A. B.C. D.5．設(shè)，，則與的等比中項(xiàng)為（）A. B.C. D.6．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則離心率（）A. B.C. D.7．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.38．已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或69．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.10．在直三棱柱中，，且，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值是（）A. B.C.2 D.11．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則A. B.2C.3 D.12．在等差數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，則___________.14．已知函數(shù)，則________15．若是直線(xiàn)外一點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，則______16．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)四邊形為矩形，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，且平面，若，.（1）求與平面所成角的大??；（2）在邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，在內(nèi)確定一點(diǎn)，使的值最小，并求此時(shí)的值.18．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)（1）求證:平面平面；（2）求證:平面；（3）求三棱錐體積19．（12分）某大學(xué)藝術(shù)專(zhuān)業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；（2）試估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例20．（12分）如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面BEF內(nèi)；（2）若，，，求直線(xiàn)與平面BEF所成角的正弦值21．（12分）已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且B，A，C成等差數(shù)列.（1）求A的大?。唬?）若，且的面積為，求的周長(zhǎng).22．（10分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知，,且.（1）求角的大小；（2）若，面積為，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，且在圓內(nèi)，進(jìn)而求解最值即可.【詳解】解：將直線(xiàn)化為，所以聯(lián)立方程得所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以點(diǎn)與圓圓心間的距離為，所以圓截直線(xiàn)所得弦的最短長(zhǎng)度為故選：A2、C【解析】根據(jù)題意，由于橢圓的方程為,故可知長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為,那么可知兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此可知兩焦點(diǎn)之間的距離為，故選C考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是將方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)式，然后結(jié)合性質(zhì)得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】根據(jù)，然后與，可得，最后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】在等比數(shù)列中，由所以，又，所以所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，重在計(jì)算，當(dāng)，在等差數(shù)列中有，在等比數(shù)列中，靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.4、C【解析】由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由于每一個(gè)圓弧為四分之一圓，從而可求出下一段圓弧所以圓的圓心，進(jìn)而可得其方程【詳解】解：由題意可知圖中每90°的圓弧半徑符合斐波那契數(shù)1，1，2，3，5，8，…，從而可求出下一段圓弧的半徑為13，由題意可知下一段圓弧過(guò)點(diǎn)，因?yàn)槊恳欢螆A弧的圓心角都為90°，所以下一段圓弧所在圓的圓心與點(diǎn)的連線(xiàn)平行于軸，因?yàn)橄乱欢螆A弧半徑為13，所以所求圓的圓心為，所以所求圓的方程為，故選：C5、C【解析】利用等比中項(xiàng)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，與的等比中項(xiàng)為.故選：C.6、D【解析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，得到，利用離心率公式即可求得答案.【詳解】∵，∴，故，故選：D7、B【解析】由韋達(dá)定理可知，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.8、A【解析】根據(jù)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿(mǎn)足題意；若c=6，則，函數(shù)R上單調(diào)遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.9、D【解析】先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，令解不等式，即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榱?，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.10、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到平面的距離公式，求出點(diǎn)到平面距離的最大值.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則,,,設(shè)點(diǎn),故，，.設(shè)設(shè)平面的法向量為，則即，取，則.所以點(diǎn)到平面距離.當(dāng)，即時(shí)，距離有最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間內(nèi)點(diǎn)到面的距離最值問(wèn)題，屬于中檔題.11、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類(lèi)型，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由的導(dǎo)數(shù)為，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.14、.【解析】將代入計(jì)算，利用和互為相反數(shù)，作差可得，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】解：函數(shù)則.，，作差可得：，即，解得：代入此時(shí)成立.故答案為：.15、【解析】根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以故答案為?16、2【解析】先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)使得.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在，距離為（3）位置答案見(jiàn)解析，【解析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面，然后由線(xiàn)面角的定義得到PC與平面PAD所成的角為，在中，由邊角關(guān)系求解即可.（2）假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿(mǎn)足題設(shè)條件，不放設(shè)，則，再根據(jù)得，進(jìn)而得答案.（3）延長(zhǎng)CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過(guò)E作于E'，利用三點(diǎn)共線(xiàn)，兩線(xiàn)段和最小，得到，過(guò)H作于H'，連結(jié)HB，在中，求解HB即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以，又平面，所以平面，故與平面所成的角為，因?yàn)?，，所以故直線(xiàn)PC與平面PAD所成角的大小為；【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)BC邊上存在一點(diǎn)G滿(mǎn)足題設(shè)條件，不妨設(shè)，則因?yàn)槠矫?，到平面的距離為所以，即因?yàn)榇霐?shù)據(jù)解得，即，故存在點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為；【小問(wèn)3詳解】解：延長(zhǎng)CB到C'，使得C'B=CB，連結(jié)C'E，過(guò)E作于E'，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，故，過(guò)H作于H'，連結(jié)HB，在中，，，所以.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解析】（1）由直線(xiàn)與平面垂直證明直線(xiàn)與平行的垂直；（2）證明直線(xiàn)與平面平行；（3）求三棱錐的體積就用體積公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面，因?yàn)锳B平面，所以平面平面.（2）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG=AC，因?yàn)锳C∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形，所以EG，又因?yàn)镋G平面ABE，平面ABE，所以平面.（3）因?yàn)?AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱錐的體積為：==.考點(diǎn)：本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想19、（1）20人（2）（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的頻率，即可解出；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在[70，80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50，90）頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在樣本中分?jǐn)?shù)在[50，90）的人數(shù)為100×0.9=90(人)，在樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為400×0.95=380(人)，總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人【小問(wèn)2詳解】測(cè)試成績(jī)從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在[70，80）之間，所以估計(jì)測(cè)評(píng)成績(jī)的75%分位數(shù)為【小問(wèn)3詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)、、、AC與BD的交點(diǎn)為O，由直四棱柱的性質(zhì)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定、的坐標(biāo)可得，即可證結(jié)論.（2）由題設(shè)，求出、、的坐標(biāo)，進(jìn)而求得面BEF的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線(xiàn)與平面BEF所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】由題意，，設(shè)，，，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BD，AC所在直線(xiàn)為x，y軸建立如下空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，得，即，因此點(diǎn)在平面BEF內(nèi)【小問(wèn)2詳解】由（1）及題設(shè)，，，，，所以，，設(shè)為平面BEF的法向量，則，令，即設(shè)直線(xiàn)與平面BEF所成角為，則21、（1）（2）【解析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合內(nèi)角和定理得出A的大?。唬?）先由余弦定理，結(jié)合，，得到的關(guān)系式，再由的面積為，得到的關(guān)系式，兩式聯(lián)立可求出，進(jìn)而可確定結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)锽，A，C成等差數(shù)列，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，由余弦定理可得：；又的面積為，所以，所以，所以,所以周長(zhǎng)為.22、（1）；（2）為等邊三角形【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，從而得角A；（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；聯(lián)立①②可求得b＝c＝，從而可判斷△ABC的形狀【詳解】（1）由（2b﹣c）