2025屆福建省師范大學附屬中學數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆福建省師范大學附屬中學數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在拋物線上，橫坐標為4的點到焦點的距離為5，則p的值為（）A. B.2C.1 D.42．圓與圓的位置關系是()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離3．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.4．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.4C. D.5．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.6．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標是（）A. B.C. D.8．已知雙曲線左右焦點為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若線段的中垂線過點，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.9．過點且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A. B.C. D.211．已知是雙曲線：的右焦點，是坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.12．已知函數(shù)在上可導，且，則與的大小關系為A. B.C. D.不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“五經(jīng)”是《詩經(jīng)》、《尚書》、《禮記》、《周易》、《春秋》的合稱，貴為中國文化經(jīng)典著作，所載內(nèi)容及哲學思想至今仍具有積極意義和參考價值.某校計劃開展“五經(jīng)”經(jīng)典誦讀比賽活動，某班有、兩位同學參賽，比賽時每位同學從這本書中隨機抽取本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則、兩位同學抽到同一本書的概率為______.14．曲線在點處的切線方程為__________15．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____16．如圖三角形數(shù)陣：123456789101112131415……按照自上而下，自左而右的順序，2021位于第i行的第j列，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若，求曲線在處的切線方程（2）討論函數(shù)的單調(diào)性18．（12分）某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統(tǒng)對各廠一個月內(nèi)排出污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數(shù)關系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.19．（12分）過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B；（1）求直線AB的方程；（2）若M為圓上的一點，求面積的最大值20．（12分）已知函數(shù)的圖像在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）若不等式在恒成立，求的取值范圍.21．（12分）已知等比數(shù)列{}的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，，數(shù)列{}的前n項和，且.（1）求{}和{}的通項公式；（2）設，記數(shù)列{}的前n項和為.求證：.22．（10分）已知數(shù)列的前n項和為,且,,數(shù)列滿足，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列{}的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由方程可得拋物線的焦點和準線，進而由拋物線的定義可得，解之可得值【詳解】解：由題意可得拋物線開口向右，焦點坐標，，準線方程，由拋物線的定義可得拋物線上橫坐標為4的點到準線的距離等于5，即，解之可得.故選：B.2、B【解析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差關系即可判斷兩圓位置關系.【詳解】由得圓心坐標為，半徑，由得圓心坐標為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.3、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.4、D【解析】求出導數(shù)，由導數(shù)確定函數(shù)在上的單調(diào)性與極值，可得最小值【詳解】，所以時，，遞減，時，，遞增，所以是在上的唯一極值點，極小值也是最小值．故選：D5、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時，y==故選A點睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導公式要記熟6、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，令，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個異號零點，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時，，時，，且，所以，即，所以的范圍故選：D7、C【解析】根據(jù)空間里面點關于面對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標是.故選：C.8、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率【詳解】由題意又則有：可得：，，中，中．可得：解得：則有：故選：C9、A【詳解】因為所求直線垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎題.10、D【解析】由已知條件可得，，…，即是周期為3的數(shù)列，即可求.【詳解】由題設，知：，，，…，∴是周期為3的數(shù)列，而的余數(shù)為1，∴.故選：D.11、A【解析】由條件建立a，b，c的關系，由此可求離心率的值.【詳解】設，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.12、B【解析】由,所以.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】計算出、兩位同學各隨機抽出一本書的結(jié)果種數(shù)，以及、兩位同學抽到同一本書的結(jié)果種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】、兩位同學抽到的結(jié)果都有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，、兩位同學各隨機抽出一本書，共有種結(jié)果，而、兩位同學抽到同一本書的結(jié)果有種，故所求概率為.故答案為：.14、【解析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可【詳解】由題，當時，，故點在曲線上求導得：，所以故切線方程為故答案為：15、【解析】聯(lián)立直線得，由無公共點得，進而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.16、69【解析】由圖可知，第行有個數(shù)，求出第行的最后一個數(shù)，從而可分析計算出，即可得出答案.【詳解】解：由圖可知，第行有個數(shù)，第行最后一個數(shù)為，因為，所以第行的最后一個數(shù)為2016，所以2021位第行，即，又，所以2021位第行第5列，即，所以.故答案為：69.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見解析【解析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合切點可得切線方程；（2）求導后，分別在、和的情況下，根據(jù)的正負可得的單調(diào)性.【小問1詳解】當時，，，，又，在處的切線方程為：，即；【小問2詳解】，令，解得：，；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，若或，則；若，則；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，若或，則；若，則；在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.18、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據(jù)已知條件即可容易求得函數(shù)關系式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)關系式，令，求得函數(shù)值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意，得：當時，；當時，；當時，.即.【小問2詳解】因為，故，故該廠應繳納污水處理費1400元.19、（1）（2）【解析】（1）求出以為直徑的圓的方程，結(jié)合已知圓的方程，將兩圓方程相減可求得兩圓公共弦所在直線方程；（2）求出圓上的點M到直線AB的距離的最大值，求出，利用三角形面積公式求得答案.【小問1詳解】圓的圓心坐標為，半徑為1，則的中點坐標為，，以為圓心，為直徑的圓的方程為，由，得①，由，得②，①②得：直線的方程為；【小問2詳解】圓心到直線的距離為故圓上的點M到直線的距離的最大值為，而,故面積的最大值為.20、（1）（2）【解析】（1）由求得的值.（2）由分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)求得的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，因為函數(shù)的圖像在點處取得極值，所以，，經(jīng)檢驗，符合題意，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以在恒成立，即對任意恒成立.令，則.設，易得是增函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則，所以.21、（1）（2）證明見解析【解析】設等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，解得．由，利用通項公式解得，可得．由數(shù)列的前項和，且，時，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，，，成等差數(shù)列，，即，化為：，解得，，即，解得，數(shù)列的前項和，且，時，，化為：，，數(shù)列是每項都為1的常數(shù)列，，化為【小問2詳解】證明：，數(shù)列的前項和為，22、（1）；；（2）【解析】（1）求數(shù)列的通項公式主要利用求解，分情況求解后要驗證是否滿足的通項公式，將求得的代入整理即可得到的通項公式；（2）整理數(shù)列的通項公式得，依據(jù)特點采用錯位相減法求和試題解析：（1）∵，∴當時，.當時，.∵時，滿足上式，∴.又∵，∴