銳角三角函數(shù)（中考?？伎键c專題）

專題28.18銳角三角函數(shù)（中考?？伎键c專題）

（鞏固篇）（專項練習(xí)）

一、單選題

【類型一】銳角三角函數(shù)

【考點一】（正弦★除弦★★正切）概念辨析

1.（2021?浙江杭州?一模）在△A8C中，ZC=90°,—則（）

AB5

3

A.cosA=-B.sinB=—

55

2.（2020?北京市第三十五中學(xué)模擬預(yù)測）把用AABC三邊的長度都擴大為原來的3倍,

則銳角A的余弦值（）

A.擴大為原來的3倍B.縮小為原來的;

C.擴大為原來的9倍D.不變

【考點二】角（正弦★★余弦★★正切）函數(shù)值

3.（2021?廣東廣州?中考真題）如圖,在RsABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,將

△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AAB'C,使點C'落在A8邊上，連結(jié)85'，則sinNBB'C'的值

為（）

4.（2022?四川宜賓?中考真題）如圖，在矩形紙片488中，AB=5,BC=3,將△BCD

沿BQ折疊到ABEZ）位置，DE交AB于點、F,則cosNAQF的值為（）

E

8「715

A.—B.—C.—D.—

17151715

【考點三】（正弦★★余弦★★正切）函數(shù)值＞??求邊長

5.（2022?山東荷澤?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，A8=2,NABC=60。，M是對

角線8。上的一個動點，CF=BF,則M4+Mr的最小值為（）

A.1B.y/2C.y/3D.2

6.（2022?四川樂山?中考真題）如圖，在RSABC中，ZC=90°,BC=6,點。是

AC上一點，連接BD若tanZA=J,tanZAB￡）=1,則CQ的長為（）

A.2石B.3C.75D.2

【類型二】特殊銳角三角函數(shù)

【考點一】特殊銳角》??函數(shù)值

7.（2021?浙江寧波?中考真題）如圖，在"13C中，N3=45°,ZC=60°,AD，3C于點D,

BD=6若E,尸分別為AB,BC的中點，則EF的長為（）

A立B.更C.1D.—

322

8.（2016?山東濰坊?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程7-應(yīng)x+sina=0有兩個相等的實

數(shù)根，則銳角a等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【考點二】函數(shù)值特殊銳角

9.（2019?湖南懷化?中考真題）已知Na為銳角，且sina=1,則Na=（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

10.（2019?湖北荊州?中考真題）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1,6）,以原點為

中心，將點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到點A,則點A的坐標為（）

A.（6,1）B.（石，T）C.（2,1）D.（0,2）

【考點三】混合運算＞??特殊銳角★★二次根式

11.（2013?湖北孝感?中考真題）式子2cos300-tan450-1一tan60°丫的值是（）

A.26-2B.0C.26D.0

12.（2016?浙江杭州?二模）在實數(shù)血，2兀，叭方，sin45。中，是有理數(shù)的是（）

A.瓜B.2兀C.V=27D.sin450

【考點四】特殊銳角值》??判斷三角形形狀

13.（2022?安徽淮南?模擬預(yù)測）在“BC中，（2cosA-0y+|l-tanB|=0,則“BC

一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

14.（2019?天津天津?中考模擬）如圖，等腰直角AC=BC,Z4CB=90°,

點O在斜邊A8上，且滿足8O:OA=1：6,將ABOC繞C點順時針方向旋轉(zhuǎn)到AAQC的位

置，則NAQC的大小為（）

B.105°

C.120°D.135°

【類型三】解直角三角形

【考點一】解直角三角形＞??直接解直角三角形

15.（2022?河北?順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級中學(xué)一模）如圖，將邊長6cm的正方形紙片沿

虛線剪開，剪成兩個全等梯形.己知裁剪線與正方形的一邊夾角為60。，則梯形紙片中較短

的底邊長為（）

A.（3-/）cmB.（3-2g）cmC.（6-73）cmD.（6-2^）cm

16.（2022?四川?巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）在平面直角坐標系中，直線

y=-瓜+百與x軸交于點A,與y軸交于點8,將iAOB繞。點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖△AO8'

的位置，A的對應(yīng)點恰好落在直線48上，連接89，則88'的長度為（）

3G

【考點二】解非直角三角形觸?轉(zhuǎn)化為直角三角形并解之

17.（2020?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在AABC中，sinB=；,tanC=2,AB=3,

則AC的長為（）

A

A.V2B.當(dāng)C.V5D.2

18.（2019?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，點P是反比例函數(shù)y=A（&wO）的圖象上任意

X

一點，過點尸作軸，垂足為若APOM的面積等于2,則k的值等于（）.

A.-4B.4C.-2D.2

【考點三】解不規(guī)則圖形》??構(gòu)造直角三角形并解之

19.（2020.內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，9c中,ZACB=90°,AB=5,AC=3,

把陽△ABC沿直線BC向右平移3個單位長度得到△48C，則四邊形ABC4的面積是（）

A.15B.18C.20D.22

20.（2019?四川達州?中考真題）如圖，邊長都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如

圖放置，AB與EF在一條直線上，點A與點F重合.現(xiàn)將△EFG沿AB方向以每秒1個單

位的速度勻速運動，當(dāng)點F與B重合時停止.在這個運動過程中，正方形ABCD和AEFG

重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象大致是（）

【類型四】解直角三角形的應(yīng)用

【考點一】解直角三角形＞??仰角★★俯角

21.（2021.重慶.中考真題）如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底8點水平距離150米的C處

有一山坡，斜坡的坡度（或坡比）為i=l：2.4,坡頂。到8c的垂直距離OE=50米（點

4,B,C,D,E在同一平面內(nèi)），在點。處測得建筑物頂4點的仰角為50。，則建筑物AB

的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77；cos50°?0.64；tan50°?1.19）

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

22.（2021?山東泰安?中考真題）如圖，為了測量某建筑物BC的高度，小穎采用了如下

的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的A點出發(fā)，沿斜坡AO行走130米至坡頂。

處，再從。處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至點E處，在E點測得該建筑物頂端C的仰角

為60。，建筑物底端B的俯角為45。，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡AO的坡度

i=l:2.4.根據(jù)小穎的測量數(shù)據(jù)，計算出建筑物8c的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：73?1.732）

A.136.6米B.86.7米C.186.7米D.86.6米

【考點二】解直角三角形>?*方位角

23.（2022?河北石家莊?二模）如圖，某漁船正在海上尸處捕魚，先向北偏東30。的方向

航行10km到4處.然后右轉(zhuǎn)40。再航行56b"到8處，在點A的正南方向，點P的正東方

向的C處有一條船，也計劃駛往B處，那么它的航向是（）

A.北偏東20。B.北偏東30。C.北偏東35。D.北偏東40。

24.（2022?廣東深圳?三模）如圖，在距離鐵軌200米的8處，觀察由深圳開往廣州的“和

諧號”動車，當(dāng)動車車頭在4處時，恰好位于8處的北偏東60。方向上；一段時間后，動車

車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時段動車的運動路程是（）米（結(jié)果

A.100+100^B.200+200^C.100^+100^D.200>/2+200>73

【考點三】解直角三角形>??坡度坡比

25.（2022?廣東?廣州市第一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑

物頂點A的仰角為63.4。，沿山坡向上走到P處再測得該建筑物頂點A的仰角為53。.已知

8C=90米，且8、C、。在同一條直線上，山坡坡度,?=5：12,求此人從所在位置點P走到

建筑物底部8點的路程（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（測傾器的高度忽略不計，參考數(shù)

4

據(jù)：tan53°?-,tan63.4°?2）

A

C.129.2D.127.1

【考點四】解直角三角形其他問題

26.（2021.四川樂山?二模）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED,

從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角a是45°,旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC

是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i=l：則大樓43的高度為（）

（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：夜句.41,V3-1.73,76-2.45）

A.30.4B.36.4C.39.4D.45.4

27.（2022.吉林?長春市綠園區(qū)教師進修學(xué)校二模）如圖，一棵大樹被臺風(fēng)攔腰刮斷，樹

根A到刮斷點尸的距離是4米，折斷部分PB與地面成40。的夾角，那么原來這棵樹的高度

是（）

A.（4+高記|米B.,+焉）米C.（4+4sin40。）米D.（4+4tan40。）米

28.（2022.山東聊城.一模）如圖，豎直放置的桿A8,在某一時刻形成的影子恰好落在

斜坡CD的。處，而此時1米的桿影長恰好為1米，現(xiàn)量得8c為10米，。為8米，斜坡

CD與地面成30。角，則桿A8的高度為（）

A.(6+4?米B.(10+4⑹米C.8米D.10米

二、填空題

【類型一】銳角三角函數(shù)

【考點一】（正弦★除弦★★正切）概念a4辨析

29.（2019?陜西師大附中二模）如圖，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)>=型的

X

圖象上，第二象限內(nèi)的點8在反比例數(shù)yJ的圖象上且。cosA=3.則k的值為

x3

30.（2021?江蘇?宜興市實驗中學(xué)二模）如圖，點8在x的正半軸上，且3AL0B于點8,

k

將線段84繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。到38'的位置，且點8'的坐標為（1』）.若反比例函數(shù)>

（x>0）的圖象經(jīng)過A點，貝心=.

【考點二】角》?（正弦★★余弦★★正切）函數(shù)值

31.（2020?山東荒澤?中考真題）如圖，在"中，ZAC8=90。，點。為AB邊的中點,

連接CD，若BC=4,CD=3,貝iJcosNDCB的值為

32.（2020.江蘇常州?中考真題）如圖，點C在線段A8上，且AC=2BC,分別以AC、

BC為邊在線段A8的同側(cè)作正方形AC￡>E、BCFG,連接EC、EG,則tanNCEG=

【考點三】（正弦★★余弦★★正切）函數(shù)值>??求邊長

33.（2019?四川廣元?中考真題）如圖，AABC中，ZABC=90°,BA=BC=2,將AABC

繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60'得到A￡>￡C,連接BD,則BO?的值是一.

34.（2021?甘肅武威?中考真題）如圖，在矩形A8C3中，E是BC邊上一點、,

乙4￡。=90。,/以。=30。,尸是邊的中點，EF=4cm,則BE=cm.

B

【類型二】特殊銳角三角函數(shù)

【考點一】特殊銳角a*函數(shù)值

35.（2020?上海?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4,BC=7,NB=60。，點。在邊BC

上，8=3,聯(lián)結(jié)A。.如果將△AC。沿直線A￡＞翻折后，點C的對應(yīng)點為點E,那么點E

到直線8。的距離為一.

36.（2020.貴州遵義.中考真題）如圖，對折矩形紙片ABCD使與BC重合，得到折

痕MN,再把紙片展平.E是A。上一點，將AABE沿8E折疊，使點A的對應(yīng)點4落在MN

上.若CZ）=5,則BE的長是.

【考點二】函數(shù)值特殊銳角

37.（2018?四川巴中?中考真題）已知［inA-；|+J（K-tanB）2=（）,那么

ZA+ZB=.

38.（2012?山東濟寧?中考真題）在聞?C中，若/A、/8滿足|8$人一2|+區(qū)也一3）2

=0,則/C=.

【考點三】混合運算＞??特殊銳角★★二次根式

39.（2022.廣西.藤縣教學(xué)研究室一模）（-3）x2+73xV12+sin30°-（p-3）°

40.（2022?山東?濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）計算2cos30。+（；）'的結(jié)果是

【考點四】特殊銳角值判斷三角形形狀

41.（2021?貴州黔東南?二模）在AABC中，（GtanA-3）2+|2cosB-6|=0,則從18C為

三角形.

42.（2021?廣東深圳?一模）若JCOS2A-；+W〃B-四=0,那么"IBC的形狀是

【類型三】解直角三角形

【考點一】解直角三角形》??直接解直角三角形

43.（2022.遼寧大連.中考真題）如圖，對折矩形紙片A8CD,使得AD與BC重合，得

到折痕EF,把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A的對應(yīng)點4落在EF上，并使折痕經(jīng)過

點B,得到折痕BM.連接MF,若MFLBM,AB=6cm,則AD的長是cm.

44.（2022?浙江嘉興?中考真題）如圖，在AABC中，ZABC=90°,ZA=60°,直尺的

一邊與BC重合，另一邊分別交48,AC于點D,E.點B,C,D,E處的讀數(shù)分別為15,

12,0,1,則直尺寬8。的長為.

【考點二】解非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形并解之

45.（2018?江蘇無錫?中考真題）已知AABC中，AB=10,AC=2幣,ZB=30°,則4ABC

的面積等于.

46.（2017?四川綿陽?中考真題）如圖，過銳角A4BC的頂點A作DE〃BC,AB恰好平

分ND4C,A尸平分NE4C交BC的延長線于點F.在AF上取點M,使得AM=1AF,連接

CM并延長交直線DE于點H.若AC=2,△AMH的面積是］,則一^—―的值是_______.

12tanZACH

DAHE

BCF

【考點三】解不規(guī)則圖形》??構(gòu)造直角三角形并解之

3

47.（2010?云南紅河?中考真題）如圖，在△ABC中，ZB=45°,cosZC=5,AC=5a,

則^ABC的面積用含a的式子表示是.

（第15題圖）

48.（2012?黑龍江黑河?中考真題）RtZiABC中，ZA=90°,BC=4,有一個內(nèi)角為60。，

點P是直線AB上不同于A、B的一點，且NACP=30。，則PB的長為.

【類型四】解直角三角形的應(yīng)用

【考點一】解直角三角形?仰角★★俯角

49.（2022?湖北黃石?中考真題）某校數(shù)學(xué)興趣小組開展無人機測旗桿的活動：已知無人

機的飛行高度為30m,當(dāng)無人機飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30。，繼續(xù)飛行20m

到達B處,測得旗桿頂部的俯角為60。,則旗桿的高度約為m.（參考數(shù)據(jù)：百x1.732,

結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）

50.（2022?江蘇南通?中考真題）如圖,8為地面上一點，測得B到樹底部C的距離為10m,

在B處放置1m高的測角儀BD,測得樹頂A的仰角為60。，則樹高AC為m（結(jié)

果保留根號）.

A

【考點二】解直角三角形＞??方位角

51.（2022?貴州黔西?中考真題）如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從4

島向北偏東80。方向的8島直線行駛.測得C島在A島的北偏東50。方向，在B島的北偏西

40。方向.A,B之間的距離為80nmile,則C島到航線AB的最短距離是mnile.（參考

數(shù)據(jù):應(yīng)“4，石"7）

52.（2022?四川綿陽?中考真題）如圖，測量船以20海里每小時的速度沿正東方向航行

并對某海島進行測量，測量船在A處測得海島上觀測點。位于北偏東15。方向上，觀測點C

位于北偏東45。方向上，航行半個小時到達B點，這時測得海島上觀測點C位于北偏西45。

方向上，若C。與A8平行，則CO=海里（計算結(jié)果不取近似值）.

【考點三】解直角三角形＞**坡度坡比

53.（2022?山東泰安?模擬預(yù)測）如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與

地面垂直的古塔A8的高度，他從古塔底部點處前行30m到達斜坡CE的底部點C處，然后

沿斜坡CE前行20m到達最佳測量點。處，在點。處測得塔頂A的仰角為30。，已知斜坡的

斜面坡度i=1:6,且點A,B,C,D,在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測得古塔A8的高度是

54.（2022?山東煙臺?一模）一名高山滑雪運動員沿著斜坡尸C滑行，他在點。處相對大

樹頂端4的仰角為30。，從。點再滑行2亞米到達坡底的C點，在點C處相對樹頂端A的

仰角為45。，若斜坡CF的坡比為，=1:3（點E,C,B在同一水平線上），則大樹AB的高度

米（結(jié)果保留根號）.

【考點四】解直角三角形＞??其他問題

55.（2022.山西太原.二模）如圖1是勞動課上同學(xué)們組裝的一個智能機器臂.水平操作

臺為/,底座AB固定，ABH,AB長度為24cm,連桿BC長度為30cm,手臂CO長度為

28cm,點8,C是轉(zhuǎn)動點，且48,BC與CD始終在同一平面內(nèi).如圖2,轉(zhuǎn)動連桿BC和

手臂CC,當(dāng)NABC=135。，々8=165。時，端點。離操作臺/的高度DE為cm.

56.（2022?河北?石家莊市第四十一中學(xué)二模）操作：如圖，將四邊形紙片A8C。沿過

點A的直線折疊，使得點B落在上的點。處，折痕為AP；再將△PCQ,△A。。分別

沿尸。，4。折疊，此時點C,。落在AP上的同一點R處.請完成下列探究：

-C

(1)NPA。的大小為。；

AB

(2)當(dāng)四邊形4PC。是平行四邊形時QR的值為

參考答案

1.D

【分析】設(shè)AB=5“，BC=3a,則AC=4a,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項排查即可.

解：設(shè)AB=5a,BC=3a,則AC=4”，

則c3A=去AC=合4a=，4故A錯誤；

AB5a5

.“力8=黑=粵=金，故8錯誤；

AB5a5

BC3a3u廠“口

tanA=--=—=-,故。錯塊；

AC4a4

?AC4k4

tanB=—=—=-,故0正確.

BC3k3

故選：D.

【點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運用三角函數(shù)的定義

成為解答本題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.

解：三邊的長度都擴大為原來的3倍，

則所得的三角形與原三角形相似，

二銳角A的大小不變，

二銳角A的余弦值不變，

故選：D.

【點撥】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握相似三角形的

對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】由勾股定理求出AB=10,并利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出AC=AC=6,B'C=BC=8,

NACB'=NC=90。，則可求得8^=4,再根據(jù)勾股定理求出85'=46，最后由三角形函

數(shù)的定義即可求得結(jié)果.

解：在Rt△43c中，ZC=90°,AC=6,8c=8,

由勾股定理得：AB=y]AC2+BC2=>/62+82=10.

,/AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AABV,

，AC'=AC=6,B'C=BC=S,ZAC'8'=NC=90。.

，8C'=AB—AC'=10-6=4.

二在RtABB'C中，由勾股定理得BF=dBC'?+FC'?=>/42+82=46■

BC4y/5

sinZBB'C=

故選：C.

【點撥】本題考查了求角的三角形函數(shù)值，掌握三角形函數(shù)的概念并利用勾股定理及旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明得出

AF=EF,DF=BF,設(shè)AF=EF=x，則BF=5-x,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于尤的方程，解

方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可.

解：?：四邊形48C3為矩形，

：.CD=AB=5,AB=BC=3,ZA=ZC=90°,

根據(jù)折疊可知，BE=BC=3,DE=DE=5,/E=NC=90。，

2A=NE=90。

在^AFD和4EFB中<^AFD=NEFB.

AD=BE=3

^AFD^^EFB(AAS),

AAF=EF,DF=BF,

設(shè)AF=EF=x,則BF=5—x,

在RtABEF中，BF-=EF-+BE2)

即(5-X)2=X2+32,

QQ17

解得：X=|,則Z)F=BF=5_]=W，

…LAD315

.cosZADF——-=—=-,.一

..DF1717,故C正確.

7

故選：c.

【點撥】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角

函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明A4FD咨AEF8,是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】連接AF,則AF的長就是4M+FM的最小值，證明△A8C是等邊三角形，AF

是高線，利用三角函數(shù)即可求解.

解：連接AF,則A/7的長就是4M+FM的最小值.

B

?.?四邊形A8C。是菱形,

：.AB=BC,

又A8c=60°,

Z\A8C是等邊三角形，

CF=BF

.?.F是BC的中點，

C.AFVBC.

則AF=A8?sin60°=2x3=有.

2

即M4+A/F的最小值是6.

故選：C

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定4F的長就是M4+MF

的最小值是關(guān)鍵.

6.C

【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出AC=26，再由勾股定理求出鉆=5,過點。作

113

DEqAB丁點E,依據(jù)三角函數(shù)值可得￡?E=5AE,Z)E=38E,從而得8E=5AE,再由

AE+BE=5^AE=2,DE=l,由勾股定理得4＞石，從而可求出CQ.

解：在RtAABC中，ZC=90°,BC=y/5,

.八BC1

??tanz_A==—

AC2

AC=IBC=2技

由勾股定理得,AB=VAC2+BC-=J（2石y+（石）2=5

過點C作。ElAfi丁點E,如圖，

?DE-1DE1

**AE-2?BE-3?

???DE=；AE,DE=；BE,

：.-AE=-BE

23

3

???BE=-AE

2

*/AE+BE=5,

3

???AE+-AE=5

2

/.AE=2,

DE=1,

在RrAADE中,AD2=AE2+DE2

AD=A/A￡2+D￡2=V22+12=6

,/AD+CD=AC=2底

：.CD=AC-AD=2后-亞=卮

故選：C

【點撥】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長，正確作輔助線求出DE的長

是解答本題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】根據(jù)條件可知△"￡>為等腰直角三角形，則8￡>=AZ),△">(7是30。、60。的直

AT

角三角形，可求出AC長，再根據(jù)中位線定理可知日三自。

解：因為AO垂直2C,

則△48。和△AC。都是直角三角形，

又因為NB=45。,NC=60°,

所以4D=8D=/，

因為sin/C=4￡=蟲，

AC2

所以AC=2,

因為EF為△ABC的中位線，

AT

所以￡尸=受=1,

2

故選：c.

【點撥】本題主要考查了等腰宜角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)

條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】根據(jù)判別式的意義得到公=卜&)2-4s加a=0,從而可求出a的正弦值，然后

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值確定a的度數(shù).

解：關(guān)于x的一元二次方程f-&x+sina=0有兩個相等的實數(shù)根，

二△1-&)-4sina=0,

解得：

：a為銳角，

a=30°.

故選B.

【點撥】本題考查了根的判別式：一元二次方程浸+—+。=0(存0)的根與A=〃-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)

根；當(dāng)AV0時，方程無實數(shù)根.也考查了特殊角的三角函數(shù)值.

9.A

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答.

解：為銳角，且sina=g,

Nc=30。.

故選A.

【點撥】此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡單題目.

10.A

【分析】作AELx軸于E,A'FJ_x軸于尸，再證明A4OE絲AA'OF即可求解.

解：如圖，作AE_Lx軸于E,軸于F.

在RgAOE中，點A的坐標為(1,6),

，OE=GAE=I,

??/AC匚一AEx/3

?tanz_AOE------=.，

OE3

AZAOE=30°,

又???NAOA'=30。，

???ZA,OF=90°-30°-3O°=3O°.

???ZA￡O=NOE4'=90。，ZAOE=AAOA=ZAOF=30°

,/OA=OA,

/.MOE^AA,OF(A4S),

:.OF=OE=6，AF=AE^\,

故選A.

【點撥】本題考查的是正切的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

II.B

【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入后，化簡即可得出答案：

2cos300-tan45°-^(l-tan60())：r=2x^-l-廚=6_]_(6_1)=0.故選B.

解：請在此輸入詳解！

12.C

解：試題分析：選項A,我=2應(yīng)是無理數(shù)，故本選項錯誤；選項B,2兀是無理數(shù)，

故本選項錯誤；選項C,歸=-3是有理數(shù)，故本選項正確；選項D,41145。=也是無理

2

數(shù)，故本選項錯誤.故選C.

考點：實數(shù)：特殊角的三角函數(shù)值.

13.D

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對值的性質(zhì)，得（2cosA-夜y=0,卜tanW=O,

從而得cosA=①，tanB=l,根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得NA=45。，NB=45。；根

2

據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)計算，即可得到答案.

解：:RCOSA—百）+|1-tanB|=0

A（2COSA-V2）3=0,|l-tanB|=0

*e?2COSA-A/2=0，1-tan8=0

/.cosA=,tanB=1

2

AZA=45°,ZB=45°

AZC=180°-ZA-ZB=90°,BC=AC

???△ABC一定是等腰直角三角形

故選：D.

【點撥】本題考查了絕對值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識；解題的關(guān)

鍵是熟練掌握絕對值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

14.B

【分析】連接0Q,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，ZiBCO二△ACQ,則有BO=AQ,

ZB=ZCAQ=ABAC=45°,ZBCO=ZACQ所以ZOAQ=ZOCQ=90。,則有

tanNAQ。=—=—=43，得到ZAQO=60。,又因為OC=CQ,可求出NOQC,即可求ZA0C

的大小.

解：連接OQ,

VAC=BC,Z4CB=90°,

：.ZB=ZBAC=45°f

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，△BCOv^ACQ,

J/B=ZCAQ=45°,OC=CQ,BO=AQ/BCO=ZACQ,

：.ZOCQ=ZACB=90°,ZOAQ=90°,

且NOQC=45。，

/accAOAO[T

,/tanZAQO=----=-----=V3

AQBO'

??.ZAQO=60°f

，ZAQC=105°.

故選B.

【點撥】主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意輔助線

的連接是關(guān)鍵.

15.A

【分析】過M點作于E點，根據(jù)四邊形A3CO是正方形，有AO=C￡>=6,

ZC=ZD=90°,由裁剪的兩個梯形全等，可得4V=MC；再證明四邊形MCQE是矩形，即有

MC=ED,ME=CD=6,進而有4V=ED,在中，解直角三角形可得NE=2Q,則可

得AN=3-6，問題得解.

解：如圖，過M點作用￡_14。于￡點,

???四邊形ABC。是正方形，邊長為6,

：.AD=CD=6fZC=ZD=90°,

???裁剪的兩個梯形全等，

:?AN=MC,

9：MELAD,

???四邊形MCDE是矩形，

:,MC=ED,ME=CD=6,

：.AN=ED,

根據(jù)題意有NMNE=60。,

ME6

，在RtAMNE中,NE==2后,

tanZMNEtanZ60°

，AN+ED=AD—NE=6—2道,

，AN=3-5

即梯形中較短的底為3-G(cm),

故選：A.

【點撥】本題主要考查了正方形的、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識,

根據(jù)梯形全等得出AN=MC是解答本題的關(guān)鍵.

16.B

【分析】先求出點4、B的坐標，可求得。4、0B,進而可求得/O4B=60。，利用旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明AA'OA和△&OB為等邊三角形得到加=08即可

求解.

解：對于y=-百x+6，

當(dāng)x=0時，y=6，當(dāng)y=0時，由0=-6》+6得：x=l>

則4(1,0),B(0,百),

/.OA=\,08=6，

二tanZOAB=—=73,則/048=60°,

OA

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：OA=OA,(2=()B,ZAOA'=/BOB',

AOA是等邊三角形，

/.ZAOA=NBOB'=60.又OB'=OB

二△B'OB是等邊三角形，

，BB'=OB=y/3,

故選：B.

【點撥】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與

性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，證得是等邊三.角形是解答

的關(guān)鍵.

17.B

【分析】過A點作AH_LBC于H點，先由sinZB及AB=3算出AH的長，再由tanZC

算出CH的長，最后在RsACH中由勾股定理即可算出AC的長.

解：過A點作AHJ_BC于H點，如下圖所示：

Al-11

由sinN8=，J].AB=3可知，AH=i?

AB3

AJ-I1

由tan/C=k=2,且A//二l可知，CH=—,

CH2

...在RfAAC〃中，由勾股定理有：AC=yjAH2+CH2=^12+(1)2=^.

故選:B.

【點撥】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識，如果圖形中無直角三角形時，可

以通過作垂線構(gòu)造直角三角形進而求解.

18.A

【分析】根據(jù)三角形的面積公式推出k的值即可.

解：的面積等于2,

.印|=2,

而&<0,

：.k=^.

故選A.

【點撥】本題考查三角形，熟練掌握三角形的面積公式是解題關(guān)鍵.

19.A

【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC邊的長度，四邊形ABCA，的面

枳為平行四邊形ABB，A，和直角三角形A，CB,面積之和，分別求出平行四邊形ABB，A，和直

角三角形的面積，即可得出答案.

解：在RtZXACB中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,

由勾股定理可得：BC=VAB2-AC2=75^=4.

；RtAA'C'B'是由RtZ\ACB平移得來，A'C'=AC=3,B'C'=BC=4,

,

SA.r,n=--AC'B'C'=-x3x4=6)

又?.?BB'=3,A'C'=3,

S四邊形ABB，,丫=BB'XA'C'=3X3=9,

??S四邊形ABCA，=S四邊形ABBW+SAACB,=9+6=15,

故選：A.

【點撥】本題主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四邊形與直角三角形面積的計算，

解題的關(guān)鍵在于判斷出所求面積為平行四邊形與直角三角形的面積之和，目掌握平行四邊形

的面積為底x高.

20.C

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以寫出各段對應(yīng)的函數(shù)解析式，從而可以判斷哪個選項

中的圖象符合題意，本題得以解決.

解：當(dāng)超小2時，s=~(f-tan60)=3廣,即S與t是二次函數(shù)關(guān)系，有最小值(0,0),

22

開口向上，

當(dāng)2<&4時，s=4x(4xsin60°)_(4T)](4T).tan601=3,即S與t是

222

二次函數(shù)關(guān)系，開口向下，

由上可得，選項C符合題意，

故選C.

【點撥】考查動點問題的函數(shù)過圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答.

21.D

【分析】作。尸于F點，得到四邊形OE8尸為矩形，首先根據(jù)坡度的定義以及OE

的長度，求出CE,8E的長度，從而得到。F=BE,再在R/AAQF中利用三角函數(shù)求解即可

得出結(jié)論.

解：如圖所示，作QFL42于F點，則四邊形OEBF為矩形，

，DE=BF=50,

???斜坡C。的坡度(或坡比)為i=l:2.4,

DE5

???在RmCED中，tanZC=—

2.4~CE~~V2

V￡>￡=50,

ACE=120,

.?.BE=BC-CE=150-\20=30,

：.OF=30,

在放△AOF中，ZADF=50°,

AP

tanZAOF=tan50°=—=1.19,

DF

將。尸=30代入解得：A尸=35.7,

.?.AB=A尸+8尸=35.7+50=85.7米，

故選：D.

【點撥】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，理解坡度的定義，準確構(gòu)造直角三角形,

熟練運用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵.

22.A

【分析】作于尸點，EGLBC于G點,根據(jù)坡度求出。尸=50,4尸=120,從而

分別在"EG和ACEG中求解即可.

解：如圖，作￡>F_LA8于F點，EG_LBC于G點,

則四邊形OF8G為矩形，DF=BG,

:斜坡AD的坡度i=1:2.4,

tanZ.DAF=——=—=-----

2.412AF

"：AD=\30,

：.DF=50,AF=\20,

：.BG=DF=50,

由題意，NCEG=60°,NBEG=45。,

.'.△BEG為等腰直角三角形，8G=EG=50,

在RACEG中，CG=GEG=5（