第02講常用邏輯用語(yǔ)（秋季講義）（人教A版2019）

第02講常用邏輯用語(yǔ)【人教A版2019】模塊一模塊一充分條件與必要條件1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號(hào)表示由p通過(guò)推理可得出q，記作：p?q由條件p不能推出結(jié)論q，記作：條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】：“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.4．從集合與集合之間的關(guān)系上看充分、必要條件設(shè).(1)若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；(2)若，則是的必要條件，是的充分條件；(3)若，則與互為充要條件.【題型1充分條件與必要條件的判斷】【例1.1】（2324高一上·河北唐山·期中）下列結(jié)論中不正確的是（

）A．“x<4”是“x<B．在△ABC中，“AB2+AC．若a,b∈R，則“a2+b2D．“x為無(wú)理數(shù)”是“x2【解題思路】利用集合的包含關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤；利用充分條件、必要條件的定義可判斷B、C選項(xiàng)的正誤.【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，xx<?2x所以“x<4”是“x<?2”的必要不充分條件，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，充分性：若AB2+A所以△ABC為直角三角形，充分性成立；必要性：若△ABC為直角三角形，則“∠BAC為直角”或“∠ABC是直角”或“∠ACB為直角”，所以“AB2+AC2即必要性不成立.因此“AB2+A對(duì)于C選項(xiàng)，充分性：因?yàn)閍2+b2≠0所以a=b=0不成立，所以a、b不全為0，充分性成立；必要性：若a、b不全為0，則a2因此“a2+b2≠0”是“a對(duì)于D選項(xiàng)，充分性：取x=2，則x為無(wú)理數(shù)，但必要性：若x2為無(wú)理數(shù)，則x所以“x為無(wú)理數(shù)”是“x2故選：B.【例1.2】（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）已知x∈R，則“x3>8”是“x>2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由充分條件和必要條件的定義求解即可.【解答過(guò)程】x3>8?x>2，x>2?x>2所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，則“x3>8”是“故選：A.【變式1.1】（2324高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù).例如3.27=3，0.6=0.那么“x?y<1”是“[x]=[y]A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)所給定義以及充分條件與必要條件的定義推導(dǎo)即可.【解答過(guò)程】如果x?y<1，比如x=3.9,y=4.1，則有x?y根據(jù)定義，x=3,即“x?y<1”不是“[x]=[y]如果x=y=n,n∈∴x?y=d1?故“x?y<1”是“[x]=[y]故選：B.【變式1.2】（2324高一上·廣東江門·期中）設(shè)m,n∈R，當(dāng)mn≥0時(shí)m?n=m+n；當(dāng)mn<0時(shí)m?n=m+n.例如?6?4=2，則“a=0，b=?1或a=?1，b=0”是“a?b=?1”的（A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【解題思路】結(jié)合新定義，根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答過(guò)程】當(dāng)a=0，b=?1或a=?1，b=0時(shí)，ab=0，由mn≥0時(shí)m?n=m+n知，a?b=?1+0=?1，當(dāng)a?b=?1時(shí)，根據(jù)定義可知ab≥0，所以a+b=?1，故只要滿足ab≥0且a+b=?1即可，顯然不止a=0，b=?1或a=?1，b=0這種情況，比如a=b=?12，所以“a=0，b=?1或a=?1，b=0”是“a?b=?1”的充分不必要條件.故選：A.【題型2充分條件和必要條件逆向求參問(wèn)題】【例2.1】（2324高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）已知p：?2≤x≤10，q：1?m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤3【解題思路】將p是q的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為BA，然后根據(jù)集合間的包含關(guān)系列不等式求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)A=x?2≤x≤10，因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以BA，所以m>01?m≥?21+m≤10，解得當(dāng)m=3時(shí)，B=x所以0<m≤3.故選：A.【例2.2】（2324高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知不等式x?m<1成立的充分不必要條件是13<x<12A．?∞,?1C．?34,【解題思路】先求出不等式x?m<1的解集，再由集合間的包含關(guān)系即可求出m【解答過(guò)程】解不等式x?m<1可得m?1<x<m+1又不等式x?m<1成立的充分不必要條件是13<x<12即m?1≤13m+1≥經(jīng)檢驗(yàn)不等式兩邊不會(huì)同時(shí)取到等號(hào)，所以m的取值范圍是?1故選：D.【變式2.1】（2324高一下·浙江·期末）已知條件p:|x+1|>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)≥?1 D．a(chǎn)≤?3【解題思路】解不等式得到p:x<?3或x>1，根據(jù)題意得到q是p的充分不必要條件，從而得到兩不等式的包含關(guān)系，求出答案.【解答過(guò)程】由條件p:x+1>2，解得x<?3或因?yàn)?p是?q的充分不必要條件，所以q是p的充分不必要條件，故A=xx>a是B=x則a的取值范圍是a≥1，故選：B．【變式2.2】（2324高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）設(shè)p:x?a≤3，q:2x2+x?1≤0，若p是qA．?52,2 B．?52,2【解題思路】根據(jù)充分必要條件和集合的包含關(guān)系求解即可.【解答過(guò)程】由x?a≤3，解得a?3≤x≤a+3所以p:a?3≤x≤a+3，又由2x2+x?1≤0所以q:?1≤x≤1因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以集合x|?1≤x≤12真包含于所以a?3≤?1a+3≥12經(jīng)檢驗(yàn)，a=?52時(shí)，a=2時(shí)，p:?1≤x≤5，滿足題意；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是?5故選:A.【題型3充要條件的證明】【例3.1】（2324高一上·廣東珠?！るA段練習(xí)）設(shè)a，b，c∈R，求證：關(guān)于x的方程ax2【解題思路】先證明充分性，即由a?b+c=0，得x=?1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根；再證必要性，由【解答過(guò)程】證明：①充分性：即證明關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0由a?b+c=0，得b=a+c，代入方程得ax2+所以，x=?1②必要性：即證明若x=?1是方程a將x=?1代入方程a綜上由①②可知，故關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0【例3.2】（2324高一上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知集合A=x|x2(1)若“?x∈B，x∈A”為假命題，求m的取值范圍；(2)求證：A至少有2個(gè)子集的充要條件是m≤?5，或m≥3．【解題思路】（1）由已知，先求解出集合B=?1,0,1，然后根據(jù)A∩B=?，將集合A分為A=?和A≠?（2）由已知，先有m≤?5或m≥3，證明A至少有2個(gè)子集，即證明充分性，然后再根據(jù)A至少有2個(gè)子集，求解參數(shù)的范圍與m≤?5或m≥3比較即可證明其必要性.【解答過(guò)程】（1）由已知，集合B=x∈Z|因?yàn)椤?∈B，x∈A”為假命題，所以A∩B=?．當(dāng)A=?時(shí)，Δ=m+12當(dāng)A≠?時(shí)，要使A∩B=?，則Δ≥0，?1?A，且0?A，1?A即Δ≥0(?1)2+(m+1)×(?1)+4≠002+(m+1)×0+4≠012綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞（2）證明：充分性：若m≤?5，或m≥3，則A至少有2個(gè)子集．當(dāng)m≤?5，或m≥3時(shí)，Δ=m+12集合A=x|x2必要性：若A至少有2個(gè)子集，則m≤?5或m≥3．若A至少有2個(gè)子集，則A=x|方程x2+m+1x+4=0有解，Δ=必要性得證．綜上，A至少有2個(gè)子集的充要條件是m≤?5或m≥3．【變式3.1】（2324高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)a，b，c分別是三角形ABC的三條邊長(zhǎng)，且a≤b≤c，請(qǐng)利用邊長(zhǎng)a，b，【解題思路】根據(jù)所給條件類比勾股定理得到a2【解答過(guò)程】a2充分性：∵a2+b2>∵a≤b≤c，∴???∠過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由勾股定理，得c==b2+∴△ABC為銳角三角形.必要性：∵△ABC為銳角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°°，過(guò)點(diǎn)A作由勾股定理知，得c==b綜上，△ABC為銳角三角形的一個(gè)充要條件為a【變式3.2】（2324高二上·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知一元二次方程ax（1）若x1=1,x2=?1（2）求證：“x=0是方程ax2+bx+c=0(a≠0,b∈R,c∈R)【解題思路】（1）化簡(jiǎn)Δ=b（2）先證明充分性，再證明必要性得證.【解答過(guò)程】（1）由題得Δ=b2?4ac>0（2）先證明充分性：當(dāng)c=0時(shí)，ax2+bx=0,∴x=0所以x=0是方程ax所以充分性成立；再證明必要性：當(dāng)x=0是方程axa×0所以必要性成立.所以“x=0是方程ax2+bx+c=0(a≠0,b∈R,c∈R)模塊二模塊二全稱量詞與存在量詞1．命題及相關(guān)概念2．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號(hào)?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”3．存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的符號(hào)表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”【注】常用的全稱量詞有：“所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”,表示整體或全部的含義.常用的存在量詞有：“有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的”,表示個(gè)別或一部分的含義.4．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)命題的否定一般地，對(duì)命題p加以否定，就得到一個(gè)新的命題，記作?p，讀作“非p”或“p的否定”.若p是真命題，則?p必是假命題；若p是假命題，則?p必是真命題.(2)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．5．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得其不成立即可，這就是通常所說(shuō)的舉一個(gè)反例.(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)x0使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.【題型4全稱量詞命題與存在量詞命題的真假】【例4.1】（2324高一上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．?x∈R,x2=xC．?x∈Z,|x|∈N D．?x∈R,【解題思路】舉反例否定選項(xiàng)ABD，利用絕對(duì)值定義可得選項(xiàng)C正確.【解答過(guò)程】當(dāng)x=?1時(shí)，x2由x2=3可得，?x∈Z,|x|∈N.故選項(xiàng)C判斷正確；由x2故選：C.【例4.2】（2425高三上·陜西西安·開學(xué)考試）已知命題p：?x∈R，x+x>0；命題q：?x>0，5xA．p和q都是真命題 B．p和?q都是真命題C．?p和q都是真命題 D．?p和?q都是真命題【解題思路】根據(jù)題意，分析命題p、q的真假，進(jìn)而分析選項(xiàng)，可得答案.【解答過(guò)程】當(dāng)x=0時(shí)，x+x=0，所以命題p為假命題，則命題當(dāng)x=25>0時(shí)，5x=x，所以命題q為真命題，則命題所以?p和q都是真命題.故選：C.【變式4.1】（2324高一上·江蘇蘇州·期末）設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：?x∈R，x2+1＜0；p2：?x∈R，x+|x|＞0；p3：?x∈Z，|x|∈N；p4：?x∈R，x2﹣2x+3＝0.其中真命題為（）A．p1 B．p2 C．p3 D．p4【解題思路】根據(jù)含量詞的命題，分析其真假，即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于p1：由于x2+1>0，故?x∈R，xp2：?x∈R，當(dāng)x＜0時(shí)，x+|x|＝0，故該命題為假命題；p3：?x∈Z，|x|是非負(fù)整數(shù)，故|x|∈N，該命題為真命題；p4：?x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在實(shí)根，故該命題為假命題；故選：C.【變式4.2】（2324高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）下列命題中，既是真命題又是全稱量詞命題的是（

）A．至少有一個(gè)x∈Z，使得x2<3成立C．?x∈R，x2=x D．對(duì)任意a，b∈R【解題思路】由定義選擇全稱量詞命題，再判斷真假.【解答過(guò)程】AC為存在量詞命題，BD為全稱量詞命題，菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度不一定相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)任意a，b∈R，都有a2即a2故選：D.【題型5全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】【例5.1】（2324高二下·陜西西安·期末）若命題p:?x∈R,1x?2<0，則?pA．?x∈R,1x?2≥0C．?x∈R,1x?2>0或x=2 D．【解題思路】全稱命題的否定是特稱命題，否定結(jié)論的時(shí)候，注意不等式的解集是否互為補(bǔ)集關(guān)系.【解答過(guò)程】全稱命題的否定為特稱命題，排除BD選項(xiàng)，其中1x?2<0可解得x<2，x<2的否定應(yīng)是A選項(xiàng)中，1x?2≥0可解得故選：C.【例5.2】（2324高一上·天津和平·期末）命題“?x∈R，x2+x+1<0”的否定為（A．?x∈R，x2+x+1≥0 B．?x?RC．?x∈R，x2+x+1≥0 D．?x?R【解題思路】將存在量詞改為全程量詞，結(jié)論中范圍改為補(bǔ)集即可得解.【解答過(guò)程】“?x∈R，x2+x+1<0”的否定為“?x∈R，故選：C.【變式5.1】（2324高一上·青海海東·階段練習(xí)）寫出下列命題的否定，并判斷命題的否定的真假．(1)?x∈R，x4(2)有一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)；(3)任意兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)和底邊對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度相等，那么這兩個(gè)三角形相似．【解題思路】（1）（2）（3）根據(jù)全稱命題、特稱命題的否定寫出相應(yīng)命題的否定，進(jìn)而判斷真假性.【解答過(guò)程】（1）命題的否定為“?x∈R，x4因?yàn)閤4（2）命題的否定為“所有的素?cái)?shù)都不是偶數(shù)”，由2是素?cái)?shù)也是偶數(shù)，可得命題的否定是假命題．（3）命題的否定為“存在兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)和底邊對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度相等，它們不相似”，若這兩個(gè)三角形底邊對(duì)應(yīng)的高的垂足不在同一個(gè)位置，那么這兩個(gè)三角形不相似，可得命題的否定是真命題．【變式5.2】（2324高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知命題p:?1≤x≤2，x≤a2+1，命題q：?1≤x≤2，一次函數(shù)y=x+a(1)若命題p的否定為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p為真命題，命題q的否定也為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）由全稱命題的否定與真假判斷求解即可；（2）由全稱命題與特稱命題的真假判斷求解即可【解答過(guò)程】（1）∵命題p的否定為真命題，命題p的否定為：?1≤x≤2，x>a∴a2∴?1<a<1．（2）若命題p為真命題，則a2+1≥2，即a≥1或∵命題q的否定為真命題，∴“?1≤x≤2，一次函數(shù)y=x+a的圖象在x軸及x軸上方”為真命題．∴1+a≥0，即a≥?1．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,+∞∪【題型6命題與量詞的逆向求參問(wèn)題】【例6.1】（2324高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合A=x?3≤x≤10，B=x(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）由命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，可知B?A，根據(jù)子集的含義解決問(wèn)題；（2）命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，所以A∩B≠?，通過(guò)關(guān)系解決.【解答過(guò)程】（1）由命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，可知B?A，又B≠?，所以2m+1≤3m?22m+1≥?33m?2≤10，解得（2）因?yàn)锽≠?，所以2m+1≤3m?2，得m≥3．因?yàn)槊}q：“?x∈A，x∈B”是真命題，所以A∩B≠?，所以?3≤2m+1≤10，或?3≤3m?2≤10，得?2≤m≤9綜上，3≤m≤9【例6.2】（2324高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合A=x∣6≤x≤20，集合B=x∣x≤2a，命題p:?x∈A,x∈B，命題q:?x∈R(1)若命題p為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解題思路】（1）先根據(jù)p為真命題分析出A∩B≠?，由此求解出a的范圍，然后取對(duì)應(yīng)范圍在實(shí)數(shù)集下的補(bǔ)集即為結(jié)果；（2）考慮命題p,q均為假命題時(shí)a的取值范圍，然后取對(duì)應(yīng)范圍在實(shí)數(shù)集下的補(bǔ)集即為結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）若p為真命題，則A∩B≠?，所以2a≥6，所以a≥3，所以命題p為假命題時(shí)，a的取值范圍為aa（2）當(dāng)q為假命題時(shí)，即“?x∈R,所以Δ=4+4a≥0，所以a的取值范圍為a所以當(dāng)p,q均為假命題時(shí)a的取值范圍為aa所以當(dāng)命題p和命題q至少有一個(gè)為真命題時(shí)a的取值范圍為aa<?1或a≥3【變式6.1】（2024·浙江溫州·一模）已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根；命題q：方程(1)若命題?p為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若命題p，q中有且僅有一個(gè)為真一個(gè)為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)得出命題p為真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，進(jìn)而由命題?p為真求解；（2）由判別式得出q為真時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，再討論p真q假或p假q真，得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答過(guò)程】（1）若方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根，則Δ=因?yàn)槊}?p為真，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞（2）若方程4x2+4m?2x+1=0若p真q假時(shí)，m>2m≤1或m≥3若p假q真時(shí)，m≤21<m<3，解得1<m≤2綜上，得m∈1,2【變式6.2】（2324高一上·湖北黃岡·階段練習(xí)）已知命題p:?x∈R，a2?1x(1)若“?2?3t≤a≤2t?1”是p成立的充分條件，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)若命題p和q有且只有一個(gè)為假，求實(shí)數(shù)a．【解題思路】（1）由命題p為真，求出a的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系，列出不等式求解作答.（2）由命題q為真，求出a的取值范圍，再結(jié)合（1）及已知分情況討論作答.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?x∈R，(a2?1)x2+(a?1)x+4>0當(dāng)a=?1時(shí)，不等式?2x+4>0對(duì)x∈R當(dāng)a2≠1時(shí)，a2?1>0Δ因此命題p為真時(shí)，a<?1715或a≥1，而“?2?3t≤a≤2t?1”是則{a|?2?3t≤a≤2t?1}?{a|a<?17當(dāng)?2?3t>2t?1，即t<?15時(shí)，{a|?2?3t≤a≤2t?1}=?，符合題意，于是當(dāng)?2?3t≤2t?1，即t≥?15時(shí)，2t?1<?1715或所以實(shí)數(shù)t的取值范圍(?∞（2）由（1）知，命題p為真，a<?1715或a≥1，命題q為真時(shí)，Δ′=(2a+1)而命題p和q有且只有一個(gè)為假，即p,q一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，即a<?1715或a≥1并且?3當(dāng)p假q真時(shí)，即?1715≤a<1并且a<?32所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[?3【題型7常用邏輯用語(yǔ)與集合綜合】【例7.1】（2324高一上·上海寶山·階段練習(xí)）已知集合A=(1)判斷8，9，10是否屬于集合A；(2)已知集合B=x|x=2k+1,k∈Z，證明：“x∈A”的充分條件是“x∈B”；但“x∈B”不是“(3)寫出所有滿足集合A的偶數(shù).【解題思路】（1）由8=32?12，9=52?4（2）由2k+1=k+12?k2，結(jié)合集合A的描述知2k+1∈A（3）由集合A的描述：m2?n2=(m+n)(m?n)，討論m，n【解答過(guò)程】（1）8=32?12，9=假設(shè)10=m2?n2，m,n∈由10=1×10=2×5，得m+n=10∴10?A，綜上，有：8∈A，9∈A，10?A；（2）集合B=x|x=2k+1,k∈Z，則恒有∴2k+1∈A，即一切奇數(shù)都屬于A，即x∈B，則必有x∈A；又8∈A，而8?B，即x∈A，推不出x∈B，∴“x∈A”的充分條件是“x∈B”；但“x∈B”不是“x∈A”的必要條件；（3）集合A=x|x=m2①當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m+n,m?n均為偶數(shù)，(m+n)(m?n)為4的倍數(shù)；②當(dāng)m，n一奇一偶時(shí)，m+n,m?n均為奇數(shù)，(m+n)(m?n)為奇數(shù)，綜上，所有滿足集合A的偶數(shù)為4k,k∈Z【例7.2】（2425高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知集合A={x|?2≤x?1≤5}、集合B={x|m+1≤x≤2m?1}（m∈R(1)若A∩B=?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)命題p：x∈A；命題q：x∈B，若命題p是命題q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）分B=?、B≠?討論，根據(jù)交集的運(yùn)算和空集的定義結(jié)合不等式即可求解；（2）根據(jù)充分不必要條件分B=?、B≠?討論，即可求解.【解答過(guò)程】（1）由題意可知A={x|?2≤x?1≤5}={x|?1≤x≤6}，又A∩B=?，當(dāng)B=?時(shí)，m+1>2m?1，解得m<2，當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m?1，m+1>6或2m?1<?1，解得m>5，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(?∞（2）∵命題p是命題q的必要不充分條件，∴集合B是集合A的真子集，當(dāng)B=?時(shí)，m+1>2m?1，解得m<2，當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m?1m+1≥?12m?1≤6（等號(hào)不能同時(shí)成立），解得綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為?∞【變式7.1】（2324高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知集合A=(1)若A∪B≠A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)命題q：“?x∈A，使得x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）考慮A∪B=A的情況，然后求解出m的范圍，最后根據(jù)對(duì)應(yīng)范圍在實(shí)數(shù)集下的補(bǔ)集求解出結(jié)果；（2）根據(jù)條件先分析出A∩B≠?，然后考慮A∩B=?的情況，由此求解出符合條件的m的取值范圍.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)A∪B=A時(shí)，B?A，若B=?，滿足B?A，則m+1<2m?1，解得m>2；若B≠?，因?yàn)锽?A，所以2m?1≥?3m+1<42m?1≤m+1，所以所以A∪B=A時(shí)，m的取值范圍是mm≥?1所以A∪B≠A時(shí)，m的取值范圍是mm<?1（2）因?yàn)椤?x∈A，使得x∈B”是真命題，所以A∩B≠?，當(dāng)A∩B=?時(shí)，若B=?，A∩B=?成立，此時(shí)m+1<2m?1，解得m>2；若B≠?，則有m+1<?3m+1≥2m?1或2m?1≥4m+1≥2m?1，解得所以A∩B=?時(shí)，m的取值范圍是mm<?4或m>2所以命題q為真命題時(shí)m的取值范圍是m?4【變式7.2】（2324高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)集合A=x?1≤x≤2，集合(1)若“?x∈R，x∈(A∩B)”為假命題，求實(shí)數(shù)m(2)若A∩B中有只有三個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由題設(shè)A∩B=?，討論B=?、B≠?分別求出對(duì)應(yīng)參數(shù)范圍；（2）由題意，討論A∩B∩Z=?1,0,1【解答過(guò)程】（1）由題意，知A∩B=?，則①B=?，即2m≥1?m，得m≥1②B≠?，則m<13，此時(shí)有2m≥2或1?m≤?1，解得m≥1，此時(shí)綜上：m的取值范圍為mm≥（2）因A∩Z=?1,0,1,2，故A∩B當(dāng)A∩B∩Z=?1,0,1時(shí)，2m<?11<1?m≤2，解得當(dāng)A∩B∩Z=0,1,2時(shí)，?1≤2m<0綜上：m的取值范圍為m?1≤m<?一、單選題1．（2425高二上·湖南郴州·開學(xué)考試）已知命題甲：“實(shí)數(shù)x，y滿足yx=xy”，乙“實(shí)數(shù)x，y滿足A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】yx【解答過(guò)程】yx但x2=y2不能得到y(tǒng)x=x故甲是乙的充分不必要條件.故選：B.2．（2324高一上·廣東·階段練習(xí)）命題“?x∈1,2,xA．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)≤3 D．a(chǎn)≥5【解題思路】根據(jù)全稱量詞命題為真命題，分離參數(shù)求解出參數(shù)范圍的充要條件，然后根據(jù)充分條件、必要條件的定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)槊}“?x∈1,2,x2?a≤0所以a≥x2max所以命題“?x∈1,2,x對(duì)于A選項(xiàng)，a≥3得不到a≥4，a≥4能得到a≥3，所以a≥3是a≥4的必要不充分條件，所以選項(xiàng)A符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，a≤3得不到a≥4，a≥4也得不到a≤3，所以a≤3是a≥4的既不充分也不必要條件，所以選項(xiàng)C不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，a≥5能得到a≥4，a≥4得不到a≥5，所以a≥5是a≥4的充分不必要條件，所以選項(xiàng)D不符合題意.故選：A.3．（2425高三上·江西·開學(xué)考試）已知命題p:?x∈R,x?1<1，命題A．命題p和命題q都是真命題B．命題p的否定和命題q都是真命題C．命題q的否定和命題p都是真命題D．命題p的否定和命題q的否定都是真命題【解題思路】依次判斷兩個(gè)命題的真假，即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于命題p:?x∈R,x?1<1，當(dāng)x≤0或x≥2時(shí)，x?1≥1對(duì)于命題q:?x∈R,x2?x+1<0，因?yàn)閤綜上可得：命題p的否定和命題q的否定都是真命題，故選：D.4．（2324高一上·重慶·期末）若“x>2a2?3”是“1≤x≤4”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)aA．?2,2 B．?2,2【解題思路】根據(jù)條件，利用充分條件與必要條件的判斷方法即可得得出結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)椤皒>2a2?3所以2a2?3<1，即a故選：B.5．（2024·四川·一模）已知集合A=x?1≤x≤2，B=x?a≤x≤a+1，則“a=1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】當(dāng)a=1時(shí)，B=x?1≤x≤2，此時(shí)A=B，即a=1可以推出若A?B，所以?a≤1a+1≥2，得到a≥1，所以A?B推不出a=1即“a=1”是“A?B”的充分不必要條件，故選：A.6．（2324高一上·上海松江·期末）設(shè)x∈R，用x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y=x稱為“取整函數(shù)”，如：1.6=1，?1.6=?2.現(xiàn)有關(guān)于“取整函數(shù)”的兩個(gè)命題：①集合A=x|x2A．①②都是真命題 B．①是真命題②是假命題C．①是假命題②是真命題 D．①②都是假命題【解題思路】對(duì)于①，分類討論x=0、x=1、?1<x<0、0<x<1和1<x<2五種情況分別求解即可判斷；對(duì)于②，分類討論x為整數(shù)和不為整數(shù)時(shí)原式是否成立，對(duì)于x不為整數(shù)時(shí)，進(jìn)一步分類討論其小數(shù)部分即可.【解答過(guò)程】對(duì)于①：當(dāng)x=0時(shí)，x2當(dāng)x=1時(shí)，x2當(dāng)?1<x<0時(shí)，x2?x當(dāng)0<x<1時(shí)，x2?x當(dāng)1<x<2時(shí)，x2則x=2∈1,2綜上，A=x|對(duì)于②：當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，x+當(dāng)x不為整數(shù)時(shí)，設(shè)x=a+b（a為整數(shù)，0<b<1），當(dāng)0<b<12時(shí)，x+此時(shí)，x+當(dāng)b=12時(shí)，x=a+12，則此時(shí)，x+當(dāng)12<b<1時(shí)，x+此時(shí)，x+綜上，對(duì)于任意x∈R，x故選：A.7．（2425高二上·山西·開學(xué)考試）已知p：?2≤x≤10，q：1?m≤x≤1+m（m>0），若p的充分不必要條件是q，則實(shí)數(shù)mA．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤3【解題思路】將p的充分不必要條件是q轉(zhuǎn)化為兩集合的真包含關(guān)系，然后根據(jù)集合間的包含關(guān)系列不等式求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)A=x?2≤x≤10，因?yàn)閜的充分不必要條件是q，所以B是A的真子集，所以m>01?m≥?21+m≤10，且等號(hào)不同時(shí)成立，解得當(dāng)m=3時(shí)，B=x|?2≤x≤4所以0<m≤3.故選：A.8．（2324高一上·廣東深圳·期中）已知命題p：任意x∈1,2,x2?a≥0，命題q：存在x0∈R,A．?∞,?2 B．?∞,1 C．【解題思路】首先分別求兩個(gè)命題為真命題時(shí)a的取值范圍，取其補(bǔ)集即可得答案.【解答過(guò)程】命題p為真時(shí)a≤x2恒成立，x∈1,2，即a≤x命題q為真時(shí)Δ≥0，即4a2?42?a命題“p且q”是真命題時(shí)，取交集部分，可得a≤?2或a=1，所以命題“p且q”是假命題時(shí)，可得a>?2且a≠1，故選：D.二、多選題9．（2324高二下·河南安陽(yáng)·期末）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．命題“存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上”的否定是真命題.B．命題“對(duì)?x∈Z，x2C．梯形ABCD是等腰梯形的充要條件是AC=BD.D．設(shè)a,b,c∈R，則a2+b2【解題思路】根據(jù)題意，由原命題的真假即可判斷其否定的真假，從而判斷AB，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可判斷CD【解答過(guò)程】對(duì)于A，命題“存在一個(gè)四邊形，它的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上”是真命題，則其否定是假命題，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，命題“對(duì)?x∈Z，x2因?yàn)?到9這10個(gè)數(shù)字的平方數(shù)的個(gè)位都不會(huì)是3，則其否定是假命題，故B正確；對(duì)于C，必要性：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，又因?yàn)锽C=CB，所以△BAC?△CDB，所以AC=BD.充分性：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE//AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)因?yàn)锳D//BE，DE//AC，所以四邊形因?yàn)锳C=BD，所以BD=DE，所以∠E=∠1.又因?yàn)锳C//DE，所以∠2=∠E，所以在△ABC和△DCB中，AC=DB,所以△ABC?△DCB，所以AB=DC.所以梯形ABCD為等腰梯形.所以梯形ABCD為等腰梯形的充要條件是AC=BD，故C正確；對(duì)于D，充分性：若a=b=c，則a?b2即2a2+2故充分性成立；必要性：若a2+b2即a?b2+b?c所以a=b=c，故必要性成立；所以a2+b2故選：BCD.10．（2324高一上·安徽·期中）下列命題中，正確的是（

）A．“a<b<0”是“1aB．“?2≤λ≤3”是“?1≤λ≤3”的必要不充分條件C．“x2≠yD．“x∈(A∪B)∩C”是“x∈(A∩B)∪C”的必要不充分條件【解題思路】A項(xiàng)：利用不等式知識(shí)即可判斷；B，C項(xiàng)：根據(jù)充分條件與必要條件知識(shí)即可判斷；D項(xiàng)：根據(jù)交并集知識(shí)即可判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A項(xiàng)：由“a<b<0”可以推出1a對(duì)于B項(xiàng)：由“?2≤λ≤3”推不出“?1≤λ≤3”，但反之可以，故B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)：由“x2≠y對(duì)于D項(xiàng)：由題意知：(A∪B)∩C是(A∩B)∪C的子集，所以“x∈(A∪B)∩C”可以推出“x∈(A∩B)∪C，但反之不可以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AB.11．（2324高一上·河北·階段練習(xí)）設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，條件A：“開關(guān)S1閉合”；條件B：“燈泡L亮”，則A是B的必要條件的圖為（

A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)充分條件和必要條件的定義求解即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，開關(guān)S1閉合燈亮，反過(guò)來(lái)燈泡L亮，也可能是開關(guān)S∴A是B的充分不必要條件；對(duì)于B，只有一個(gè)開關(guān)，燈如果要亮，開關(guān)S1∴A是B的充要條件；對(duì)于C,∵燈亮必須S1和S2同時(shí)閉合，∴A對(duì)于D，燈一直亮，跟開關(guān)沒(méi)有關(guān)系，∴A是B的既不充分也不必要條件.故選：BC.三、填空題12．（2324高一上·重慶合川·階段練習(xí)）已知命題p:m∈R且m+1≤0，命題q:?x∈R,x2+mx+1≠0恒成立，若p與q不同時(shí)為真命題，則【解題思路】先求出p，q為真命題時(shí)m的取值范圍，可得p與q同時(shí)為真命題時(shí)m的取值范圍，進(jìn)而即得.【解答過(guò)程】當(dāng)命題p為真命題時(shí)，m≤?1，當(dāng)命題q為真命題時(shí)，Δ=m2所以p與q同時(shí)為真命題時(shí)有m≤?1?2<m<2，解得?2<m≤?1故p與q不同時(shí)為真命題時(shí)，m的取值范圍是?∞故答案為：?∞13．（2324高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知集合A={x∈Z|點(diǎn)(x?1,x?a)不在第一、三象限}，集合B=t1≤t<3，若“y∈B”是“y∈A”的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解題思路】由必要條件得A?B，進(jìn)而有A可能為1，2，1,2，結(jié)合集合A的描述列不等式組求對(duì)應(yīng)x范圍，根據(jù)可能集合情況確定參數(shù)范圍即可.【解答過(guò)程】由“y∈B”是“y∈A”的必要條件，即A?B，由A中元素為整數(shù)，故A只可能為1，2，1,2，由點(diǎn)不在第一、三象限，得：x?1≥0x?a≤0或x?1≤0x?a≥0，即x≥1x≤a當(dāng)a<1時(shí)，①無(wú)解，由②得a≤x≤1，此時(shí)A=x∈Za≤x≤1，故A=當(dāng)a≥1時(shí)，由①②得1≤x≤a，此時(shí)A=x∈Z1≤x≤a，因1∈A，只須3?A綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是x0<a<3故答案為：0<a<3.14．（2324高一上·重慶北碚·期中）已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+2≤x≤m2+4}，如果命題“?m∈R,【解題思路】根據(jù)題意，將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為命題“?m∈R,A∩B=?”為真命題，根據(jù)命題的真假得出關(guān)于【解答過(guò)程】因?yàn)槊}“?m∈R,所以命題“?m∈R因?yàn)榧螦={x|0≤x≤a}，當(dāng)a<0時(shí)，集合A=?，符合當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閙2+2≥2，所以由對(duì)?m∈R,A∩B=?，可得m2綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞故答案為：(?∞四、解答題15．（2324高一上·河北保定·期末）已知集合A=xx2?5x?6<0，(1)若“命題p:?x∈A，x∈B”是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若s:x∈B是t:x∈A的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解題思路】（1）由命題p:?x∈A,x∈B是真命題，可知A∩B≠?，又B≠?，可得m的取值范圍；（2）由s:x∈B是t:x∈A的充分不必要條件,得B是A的真子集，又B≠?，可得m的取值范圍.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锽≠?，所以2m?1>m