《二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)》

北師大版同步教材精品課件《二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)》【師生活動(dòng)】教師提出問(wèn)題：(1)你能快速說(shuō)出的結(jié)果嗎？教學(xué)設(shè)計(jì)一、情境引入1664年冬,22歲的牛頓在研讀沃利斯博士的《無(wú)窮算術(shù)》時(shí)引發(fā)了許多思考:教學(xué)設(shè)計(jì)一般情況下,當(dāng)n∈N+時(shí),(2)的結(jié)果呢？的結(jié)果呢？教師由此引出課題,板書(shū)題目.學(xué)生口答.設(shè)計(jì)意圖:與數(shù)學(xué)史相結(jié)合引出課題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā),設(shè)置問(wèn)題更能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性.b的組合數(shù)______,因此二、探究新知1.探究的展開(kāi)式問(wèn)題1(1)合并同類(lèi)項(xiàng)之前展開(kāi)式有多少項(xiàng)？(2)展開(kāi)式中有哪些類(lèi)型的項(xiàng),這些項(xiàng)是如何得到的？(3)展開(kāi)式中各項(xiàng)的次數(shù)與二項(xiàng)式的次數(shù)有什么關(guān)系？每一項(xiàng)都可以寫(xiě)成什么樣的形式？問(wèn)題2展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？(即每一類(lèi)型的項(xiàng)的個(gè)數(shù)怎樣計(jì)算?)填一填(1)是從______個(gè)(a+b)中取相乘而得到的,相當(dāng)于從______個(gè)(a+b)中取______個(gè)的系數(shù)是______.(2)ab是從一個(gè)(a+b)中取______,______個(gè)(a+b)中取______相乘而得到的,相當(dāng)于從______個(gè)(a+b)中取______個(gè)b的組合數(shù)______,因此ab的系數(shù)是______.教學(xué)設(shè)計(jì)(3)是從______個(gè)(a+b)中取______相乘而得到的,相當(dāng)于從______個(gè)(a+b)中取______個(gè)b的組合數(shù)______,因此b的系數(shù)是______.(a+b)2的展開(kāi)式用組合數(shù)表示為(a+b)2=______.【師生活動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生詳細(xì)寫(xiě)出用多項(xiàng)式乘法法則得到(a+b)2展開(kāi)式的過(guò)程.學(xué)生動(dòng)手完成教師提示：(1)借助兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析展開(kāi)式中的項(xiàng)數(shù).(2)聯(lián)系組合知識(shí),以取b為例.鼓勵(lì)學(xué)生積極踴躍發(fā)言,教師針對(duì)學(xué)生的思路做出分析和講解.學(xué)生帶著問(wèn)題去觀察展開(kāi)式,引發(fā)思考積極參與互動(dòng),說(shuō)出自己見(jiàn)解.教學(xué)設(shè)計(jì)教師借助多媒體動(dòng)畫(huà)演示全過(guò)程后,引導(dǎo)學(xué)生完成填一填的內(nèi)容.學(xué)生根據(jù)剛才師生互動(dòng)過(guò)程中獲得的知識(shí),獨(dú)立完成填一填內(nèi)容.教師巡視課堂并對(duì)個(gè)別有問(wèn)題的學(xué)生給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).學(xué)生訂正答案并改錯(cuò),同桌交流出錯(cuò)的原因.設(shè)計(jì)意圖:具有導(dǎo)向性的問(wèn)題能指引學(xué)生明確研究方向,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、概括能力;動(dòng)畫(huà)演示可以加深學(xué)生對(duì)展開(kāi)式來(lái)龍去脈的理解,為合作探究作鋪墊;這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從“繁雜計(jì)算之苦”到領(lǐng)悟“分步乘法計(jì)數(shù)原理與組合數(shù)的簡(jiǎn)潔美”,這也是一個(gè)內(nèi)化的過(guò)程.教學(xué)設(shè)計(jì)(1)為什么每一項(xiàng)都是的形式？2.學(xué)生自主探究你能仿照上述過(guò)程,推導(dǎo)一下【師生活動(dòng)】師生共同點(diǎn)評(píng)進(jìn)行完善;學(xué)生自主完成,并展示探究的過(guò)程.設(shè)計(jì)意圖:鞏固已有思想方法,建立猜想二項(xiàng)式定理的認(rèn)知基礎(chǔ).的展開(kāi)式嗎？3.小組合作你能猜想一下的展開(kāi)式并給出證明嗎？(2)為什么含的項(xiàng)的系數(shù)是？=______.請(qǐng)完成以下內(nèi)容：(3)①展開(kāi)式中有______項(xiàng).②各項(xiàng)的次數(shù)______都等于二項(xiàng)式的次數(shù).教學(xué)設(shè)計(jì)③字母a,b的次數(shù)的變化規(guī)律：______.④二項(xiàng)式系數(shù):______.⑤二項(xiàng)式通項(xiàng)______是二項(xiàng)展開(kāi)式中第______項(xiàng).【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生在討論過(guò)程中要明確每一項(xiàng)的形式及相應(yīng)的個(gè)數(shù).教師關(guān)注小組活動(dòng)的完成情況,并進(jìn)行適時(shí)指導(dǎo).學(xué)生先自主探究后再進(jìn)行小組討論.小組展示,其他小組進(jìn)行糾正和補(bǔ)充.多媒體展示答案,并及時(shí)講解巡視課堂過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題.教師給出推導(dǎo)過(guò)程如下:(1)展開(kāi)式每一項(xiàng)的特征教學(xué)設(shè)計(jì)

從n個(gè)因式(a+b)中,若選出個(gè)(a+b),在這k個(gè)(a+b)中只取“b”不取“a”,在余下的(n-k)個(gè)(a+b)中只取“a”不取“b”,這樣得到的乘積都是

根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則,在每個(gè)因式(a+b)中任選其中一項(xiàng)作為因子,只有a和b兩種選擇,即不選a,就選b.先從第1個(gè)因式(a+b)中選一項(xiàng)作為因子,再?gòu)牡?個(gè)因式(a+b)中選一項(xiàng)作為因子,依此類(lèi)推,最后從第n個(gè)因式(a+b)中選一項(xiàng)作為因子.這n個(gè)因子的乘積構(gòu)成一個(gè)單項(xiàng)式.由此可知：展開(kāi)式的每一項(xiàng)由若干個(gè)“a”與若干個(gè)“b”的乘積構(gòu)成,并且a和b的總個(gè)數(shù)為n,若b的個(gè)數(shù)為k,則a的個(gè)數(shù)為n-k,即(k=0,1,2,…,n).(2)同類(lèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù).因此,的同類(lèi)項(xiàng)個(gè)數(shù)為,即的同類(lèi)項(xiàng)個(gè)數(shù)就是從n個(gè)(a+b)中選出k個(gè)(a+b)的組合數(shù).(3)抽象概括,形成結(jié)論的展開(kāi)式中共有(n+1)種不同的同類(lèi)項(xiàng)：教學(xué)設(shè)計(jì)共有(n+1)項(xiàng),其中各項(xiàng)系數(shù)(k=0,1,2,…,n),相應(yīng)的個(gè)數(shù)為(k=0,1,2,…,n).因此,根據(jù)分類(lèi).①加法4計(jì)數(shù)原理,其展開(kāi)式為上式可簡(jiǎn)寫(xiě)成公式①稱(chēng)為二項(xiàng)式定理,等號(hào)右邊的式子稱(chēng)為的二項(xiàng)展開(kāi)式,的二項(xiàng)展開(kāi)式(k=0,1,2,…,n)稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù),式中的用

表示,稱(chēng)為二項(xiàng)展開(kāi)式中第(k+1)項(xiàng),又稱(chēng)為二項(xiàng)式通項(xiàng),記作.二項(xiàng)式定理的說(shuō)明：(1)二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的次數(shù)；(2)二項(xiàng)式中的a,b只是一種符號(hào),可以是任意的數(shù)或式子,只要是兩項(xiàng)的和的n次冪教學(xué)設(shè)計(jì)的形式都可以用二項(xiàng)式定理展開(kāi)；(3)與(4)字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0;字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n;(5)二項(xiàng)式系數(shù)的下標(biāo)為n,上標(biāo)由0遞增至n;(6)二項(xiàng)式通項(xiàng)指的是二項(xiàng)展開(kāi)式中第(k+1)項(xiàng),該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.的值相同,但展開(kāi)式的第k項(xiàng)卻不一定相同;【師生活動(dòng)】教師用多媒體展示,學(xué)生記憶并理解.設(shè)計(jì)意圖：組織學(xué)生分析二項(xiàng)展開(kāi)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),有針對(duì)性地進(jìn)行記憶.在熟練掌握定義的基礎(chǔ)上,激發(fā)學(xué)生的潛能,達(dá)到多思多說(shuō)的目的,進(jìn)一步讓學(xué)生加深對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解.教學(xué)設(shè)計(jì)三、課堂小練1.判斷對(duì)錯(cuò).(1)二項(xiàng)式(2)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的第5項(xiàng)為.(

)的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為.(

)這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在可以解決了嗎？的展開(kāi)式中共有n項(xiàng).(

)(3)二項(xiàng)式2.教學(xué)設(shè)計(jì)【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行細(xì)致的分析,并提醒學(xué)生注意解題步驟的規(guī)范性.學(xué)生獨(dú)立完成.教師通過(guò)多媒體將學(xué)生的答案進(jìn)行展示,錯(cuò)誤時(shí)做出點(diǎn)撥與分析.學(xué)生及時(shí)改錯(cuò).設(shè)計(jì)意圖:強(qiáng)化已有的知識(shí),破解疑惑,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.教學(xué)設(shè)計(jì)四、例題分析例1求例2求例3求例4求的展開(kāi)式中的系數(shù).的展開(kāi)式.的展開(kāi)式.的展開(kāi)式.【師生活動(dòng)】學(xué)生嘗試獨(dú)立完成.教師針對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程進(jìn)行補(bǔ)充完善,規(guī)范板書(shū).例1解.

.例2

解例3解.例4解因?yàn)橹小皒”的指數(shù)為4,所以由二項(xiàng)式通項(xiàng),得.的系數(shù)是-280.

因此,教學(xué)設(shè)計(jì)例題完成后教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“直接展開(kāi)”和“化簡(jiǎn)后展開(kāi)”進(jìn)行對(duì)比.先讓學(xué)生嘗試完成,與全班同學(xué)分享自己的解題過(guò)程.學(xué)生觀察、思考并回答.設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生體會(huì)利用二項(xiàng)式定理模型進(jìn)行計(jì)算,感受數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價(jià)值.教學(xué)設(shè)計(jì)五、課堂小結(jié)1.在本節(jié)課中你學(xué)到了哪些知識(shí),這些知識(shí)是怎樣得到的呢？2.你認(rèn)為學(xué)會(huì)這些知識(shí)的關(guān)鍵是什么？3.在學(xué)習(xí)中又該注意哪些問(wèn)題呢？【師生活動(dòng)】教師觀察學(xué)生的掌握情況;學(xué)生自己總結(jié),對(duì)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理,學(xué)生間相互補(bǔ)充,設(shè)計(jì)意圖:引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程,體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).教學(xué)設(shè)計(jì)六、當(dāng)堂檢測(cè)1.寫(xiě)出2.3.在的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.的展開(kāi)式.的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)是______,第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是______,常數(shù)項(xiàng)是______.【師生活動(dòng)】教師及時(shí)關(guān)注學(xué)生的完成情況,表?yè)P(yáng)完成速度快、正確率高的同學(xué).教師用多媒體展示參考答案后,學(xué)生在小組內(nèi)完成互批互改.設(shè)計(jì)意圖:當(dāng)堂檢測(cè)既能使學(xué)生鞏固本節(jié)課所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),又能使教師及時(shí)了解學(xué)生的掌握情況七、布置作業(yè)教材第171頁(yè)練習(xí)第1~4題.教學(xué)設(shè)計(jì)板書(shū)設(shè)計(jì)(k=0,1,2,…,n),相應(yīng)的個(gè)數(shù)為(k=0,1,2,…,n).因此,根據(jù)分類(lèi).①加法4計(jì)數(shù)原理,其展開(kāi)式為上式可簡(jiǎn)寫(xiě)成公式①稱(chēng)為二項(xiàng)式定理,等號(hào)右邊的式子稱(chēng)為的二項(xiàng)展開(kāi)式,的二項(xiàng)展開(kāi)式(k=0,1,2,…,n)稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù),式中的用

表示,稱(chēng)為二項(xiàng)展開(kāi)式中第(k+1)項(xiàng),又稱(chēng)為二項(xiàng)式通項(xiàng),記作.共有(n+1)項(xiàng),其中各項(xiàng)系數(shù)4.1二項(xiàng)式定理