魯教版八年級數(shù)學(xué)上冊專項素養(yǎng)綜合練(八)旋轉(zhuǎn)中的三種常用模型課件

專項素養(yǎng)綜合練(八)旋轉(zhuǎn)中的三種常用模型模型解讀此模型可看成是將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度

所構(gòu)成的,旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形之間存在兩種情況.類型一手拉手模型模型示例如圖1,△ABD與△ACE為等邊三角形,B,A,E三點共線.

圖1圖2如圖2,△ABD和△ACE為等腰三角形,且AB=AD,AC=AE,B,

A,E三點不共線.1.(2023山東煙臺招遠(yuǎn)期末)△ABC和△ADE都是等邊三角

形.當(dāng)△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,連接BD,CE相交于

點P,連接PA.

圖1圖2(1)請猜想線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.(2)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,其他條件不變,請直

接寫出線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明.解析

(1)PB=PA+PC,證明如下:如圖,在BP上截取BF=PC,連接AF,

∵△ABC,△ADE都是等邊三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,∴△AFP是等邊三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA.(2)PC=PA+PB.類型二半角模型模型解讀當(dāng)一個角包含著這個角的半角,常將半角兩邊的三角形

通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形,從而進(jìn)行等量代換,然

后證明與半角形成的三角形全等.模型示例等邊三角形含半角?∠BDC=120°

等腰直角三角形含半角?BD2+CE2=DE2

正方形含半角?EF=BF+DE

2.(2023山西大同平城校級月考)定義:我們習(xí)慣過等腰三角

形頂角的頂點引兩條射線,使兩條射線的夾角為等腰三角形

頂角的一半,這樣的模型稱為半角模型.常見的圖形為正方

形、正三角形、等腰直角三角形等,在解決“半角模型”的

問題時,旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法.已知,如圖1,四邊形ABCD是正方形,E,F分別在邊BC,CD上,

且∠EAF=45°.(1)在圖1中,連接EF,為了證明結(jié)論“EF=BE+DF”,小亮將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后解答了這個問題,請按小亮的思(1)在圖1中,連接EF,為了證明結(jié)論“EF=BE+DF”,小亮將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后解答了這個問題,請按小亮的思路寫出證明過程.(2)如圖2,當(dāng)∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,試探究EF與

DF,BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2解析

(1)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=

∠DAF,∠ABG=∠ADF,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠BAD=∠ADF=∠ABC=90°,∴∠ABC+∠ABG=180°,∴G,B,C三點在一條直線上,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF,在△AGE和△AFE中,

∴△AGE≌△AFE(SAS),∴GE=EF,∵GE=GB+BE=BE+DF,∴EF=BE+DF.(2)結(jié)論:EF=DF-BE.理由:如圖,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADG,∴△ABE≌△ADG,∴BE=DG,

同(1)可證得△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF=DF-DG=DF-BE.類型三對角互補模型模型解讀(1)如圖1,當(dāng)∠DCE的一邊與AO交于點D時,下列結(jié)論(知二

推二):①∠1=∠2,②∠AOB+∠DCE=180°,③CD=CE,④OE=2NE+

OD.

圖1作法1作法2

(2)如圖2,當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時,下列結(jié)論(知二推二):①∠1=∠2,②∠AOB+∠DCE=180°,③CD=CE,④OE=2NE-

OD.圖2圖2作法1作法23.四邊形ABCD被對角線BD分為等腰直角△ABD和直角△CBD,其中∠BAD和∠BCD都是直角,另一條對角線AC的長

度為2,求四邊形ABCD的面積.解析如圖,將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)90°,得到△ADC',∴∠ADC'=∠ABC,AC=AC',△ABC≌△ADC',∠CAC'=90°,

∴∠CDC'=∠ADC+∠ADC'=∠ADC+