魯教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章分式與分式方程4第一課時(shí)分式方程及其解法課件

第二章分式與分式方程4分式方程第一課時(shí)分式方程及其解法知識(shí)點(diǎn)1分式方程的概念基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.(2023山東泰安岱岳十五中月考)下列方程:①x2-2x=

;②

-1=

;③x4-2x2=0;④

x2-1=0.其中是分式方程的是

(

)A.①②③

B.①②

C.①③

D.①②④B解析方程①②是分式方程.故選B.知識(shí)點(diǎn)2分式方程的解法2.(2023遼寧大連中考)將方程

+3=

去分母,兩邊同乘(x-1)后的式子為

(

)A.1+3=3x(1-x)B.1+3(x-1)=-3xC.x-1+3=-3xD.1+3(x-1)=3xB解析分式方程的兩邊同乘(x-1),得1+3(x-1)=-3x.故選B.3.(2023湖北恩施州中考)分式方程

=

的解是

(

)A.x=3

B.x=-3

C.x=2

D.x=0B解析最簡(jiǎn)公分母是(x-3)(x-1),去分母得x(x-1)=(x+1)(x-3),解

得x=-3,當(dāng)x=-3時(shí),(x-3)(x-1)=24≠0,∴原分式方程的解是x=-3,

故選B.4.(2023山東淄博中考)已知x=1是方程

-

=3的解,那么實(shí)數(shù)m的值為

(

)A.-2

B.2

C.-4

D.4B解析將x=1代入方程,得

-

=3,解得m=2.故選B.5.(2024湖南長(zhǎng)沙雨花期末)若關(guān)于x的方程

-

=1的解為負(fù)數(shù),則m的取值范圍是

(

)A.m<2B.m<3C.m<2且m≠-1D.m<3且m≠2D解析去分母得m-2=x+1,解得x=m-3,∵原方程的解為負(fù)數(shù),

∴m-3<0,∴m<3,∵x+1≠0,∴m-3+1≠0,∴m≠2,∴m<3且m≠

2,故選D.6.(2021四川宜賓中考)若關(guān)于x的分式方程

-3=

有增根,則m的值是

(

)A.1

B.-1

C.2

D.-2C解析方程兩邊同乘(x-2)得x-3(x-2)=m,解得x=3-

m.∵分式方程有增根,∴x-2=0,∴x=2.∴3-

m=2,∴m=2.故選C.7.(新獨(dú)家原創(chuàng))數(shù)軸上有兩點(diǎn)P

,Q

,當(dāng)x=

時(shí),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè),且兩點(diǎn)之間的距離為1.2解析根據(jù)題意可得

-

=1,去分母,得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,去括號(hào),得x2+x-2x+1=x2-1,移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng),得-x=-2,系數(shù)化為1,得x=2,檢驗(yàn):當(dāng)x=2時(shí),x2-1≠0,∴x=2是原分式方程的解.故當(dāng)x=2時(shí),

點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè),且兩點(diǎn)之間的距離為1.8.式子

被稱(chēng)為二階行列式,它的運(yùn)算法則為

=ad-bc.若

=1,則x=

.4解析∵

=1,∴

-

=1,方程兩邊都乘(x-1),得2+1=x-1,解得x=4,檢驗(yàn):當(dāng)x=4時(shí),x-1≠0,∴x=4是分式方程的解.9.(教材變式·P40隨堂練習(xí)T1)解方程:(1)

=

;(2)

-

=1.解析

(1)兩邊同乘(x+3)(x-1),得2(x-1)=x+3,去括號(hào),得2x-2=x+3,移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng),得x=5,檢驗(yàn):當(dāng)x=5時(shí),(x+3)(x-1)≠0,故原分式方程的解是x=5.(2)方程變形為

-

=1,方程兩邊都乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=(x+1)(x-1),解得x=1,檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),(x+1)(x-1)=0,所以x=1是增根,即原分式方程無(wú)解.10.(新考法)(2024山東威海榮成期中)小華想復(fù)習(xí)分式方程,

由于印刷問(wèn)題,有一道解方程問(wèn)題中的一個(gè)數(shù)“?”看不清

楚:

+3=

.小華的媽媽說(shuō):“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是方程的增根是x=2,分式方程無(wú)解.”則分式方程中“?”代表的數(shù)是

多少?解析設(shè)“?”代表的數(shù)為m,則分式方程為

+3=

.去分母,得m+3(x-2)=-1,把x=2代入,得m+3×(2-2)=-1,∴m=-1.∴原分式方程中“?”代表的數(shù)是-1.11.(2024河北秦皇島期中)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定新運(yùn)算:a

※b=(a+b)÷b.(1)計(jì)算:

※

;(2)若

※

+1=

,求m的值.(要求寫(xiě)出解方程的過(guò)程)解析

(1)原式=

÷

=

·

=

·

=

.(2)由(1)可得

+1=

,去分母,得3(m-3)+6(m-1)=m-1,去括號(hào),得3m-9+6m-6=m-1,移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng),得8m=14,系數(shù)化為1,得m=

,經(jīng)檢驗(yàn),m=

是原分式方程的解,故m的值為

.能力提升全練12.(2023山東聊城中考,7,★★☆)若關(guān)于x的分式方程

+1=

的解為非負(fù)數(shù),則m的取值范圍是

(

)A.m≤1且m≠-1B.m≥-1且m≠1C.m<1且m≠-1D.m>-1且m≠1A解析去分母得x+x-1=-m,移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)得2x=1-m,系數(shù)化為1得x=

,∵原分式方程的解為非負(fù)數(shù),∴

≥0,且

≠1,解得m≤1且m≠-1,故選A.13.(易錯(cuò)題)(2023山東泰安泰山期末,9,★★☆)若關(guān)于x的分

式方程

+

=2a無(wú)解,則a的值為

(

)A.1B.1或

C.-1或

D.以上都不是B解析本題容易出現(xiàn)漏解的情況.方程兩邊同乘(3-x),得-x+3a=2a(3-x),整理得(2a-1)x=3a.∵原分式方程無(wú)解,∴有以下兩種情況:①當(dāng)2a-1=0,即a=

時(shí),整式方程無(wú)解,原分式方程無(wú)解;②當(dāng)2a-1≠0,即a≠

時(shí),x=

,令3-x=0,解得x=3,∴當(dāng)

=3,即a=1時(shí),原分式方程產(chǎn)生增根,無(wú)解.綜上所述,當(dāng)a=1或

時(shí),原分式方程無(wú)解.故選B.14.(2024山東臨沂蘭陵期末,12,★★☆)對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)a,b,我們規(guī)定符號(hào)min{a,b}表示a,b中較小的值,如:min{2,4}

=2,按照這個(gè)規(guī)定,方程min

=

的解的情況為

(

)A.x=-1或2B.x=2C.x=-1D.無(wú)解D解析①當(dāng)x>0時(shí),

>-

,∴min

=-

,由題意得-

=

,解得x=-1(不合題意,舍去);②當(dāng)x<0時(shí),

<-

,∴min

=

,由題意得

=

,解得x=2(不合題意,舍去).綜上所述,方程min

=

無(wú)解.故選D.15.(2023北京中考,11,★☆☆)方程

=

的解為

.x=1解析方程兩邊同乘2x(5x+1),得3×2x=5x+1,解得x=1.檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),2x(5x+1)=12≠0.∴原分式方程的解為x=1.16.(2022山東濟(jì)南中考,16,★☆☆)若代數(shù)式

與代數(shù)式

的值相等,則x=

.7解析由題意得

=

,去分母,得3(x-1)=2(x+2),去括號(hào),得3x-3=2x+4,移項(xiàng),得3x-2x=4+3,解得x=7,經(jīng)檢驗(yàn),x=7是原方程的解,所以原方程的解為x=7.17.(2024山東淄博桓臺(tái)期中,20,★★☆)已知關(guān)于x的分式方

程

+

+2=0.(1)若分式方程有增根,求m的值;(2)若分式方程的解是負(fù)數(shù),求m的取值范圍.解析

(1)分式方程有增根,則方程的增根為x=1,原方程去分母并整理得5x-m+2=0,將x=1代入得5-m+2=0,解得m=7.(2)由(1)得5x-m+2=0,解得x=

,∵分式方程的解是負(fù)數(shù),∴

<0,且

≠1,解得m<2,∴當(dāng)m<2時(shí),分式方程的解是負(fù)數(shù).18.(2024江西上饒萬(wàn)年期末,22,★★☆)關(guān)于x的方程x+

=c+

的解是x=c或x=

;x+

=c+

的解是x=c或x=

;x+

=c+

的解是x=c或x=

;……(1)請(qǐng)觀察上述方程與解的特征,猜想關(guān)于x的方程x+

=m+

(m≠0,n≠0)的解是什么(直接寫(xiě)出答案),并利用“方程的解”的概念進(jìn)行驗(yàn)證.(2)請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論解關(guān)于x的方程:x-

=a-

(a≠3).解析

(1)關(guān)于x的方程x+

=m+

(m≠0,n≠0)的解是x1=m,x2=

.檢驗(yàn):當(dāng)x=m時(shí),左邊=m+

,右邊=m+

,左邊=右邊,所以x=m是方程的解;當(dāng)x=

時(shí),左邊=

+

=

+m,右邊=m+

,左邊=右邊,所以x=

是方程的解.故關(guān)于x的方程x+

=m+

(m≠0,n≠0)的解是x1=m,x2=

.(2)x-

=a-

(a≠3),(x-3)+

=(a-3)+

,所以x-3=a-3或x-3=

,解得x1=a,x2=

.方法指引

解分式方程的關(guān)鍵是去分母,把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程,但在解分式方程的過(guò)程中,有時(shí)用去分母的方法會(huì)

使運(yùn)算復(fù)雜,計(jì)算量加大,因此可以采用特殊的方法進(jìn)行解

答.換元法解分式方程就是一種特殊、簡(jiǎn)便的方法.微專(zhuān)題特殊法解分式方程1.(2024上海楊浦期中)已知x為實(shí)數(shù),若x2+

-5

+8=0,則x+

的值為

.540°解析設(shè)x+

=a,則x2+

=a2-2,∵x2+

-5

+8=0,∴a2-2-5a+8=0,解得a=2或a=3,∴x+

的值為2或3.2.(2024陜西西安新城月考改編)【閱讀】解方程:(x-1)2-5(x-1)+4=0.解:設(shè)x-1=y,則原方程可化為y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.當(dāng)y=1時(shí),x-1=1,解得x=2;當(dāng)y=4時(shí),x-1=4,解得x=5.所以原方程的解為x1=2,x2=5.上述解法稱(chēng)為“整體換元法”.【應(yīng)用】(1)若在方程

-

=0中,設(shè)y=