《1.6.2 正弦定理》導(dǎo)學(xué)案

《1.6.2正弦定理》導(dǎo)學(xué)案1.6.2正弦定理導(dǎo)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解正弦定理的內(nèi)容，知道正弦定理是怎么推導(dǎo)出來(lái)的。2、能夠運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形問(wèn)題，像已知兩角和一邊求另外的邊，或者已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角之類的問(wèn)題。二、重點(diǎn)和難點(diǎn)1、重點(diǎn)正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程。正弦定理在解三角形中的應(yīng)用。2、難點(diǎn)正弦定理在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)，解的個(gè)數(shù)的判斷。三、課前預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)（一）知識(shí)回顧1、在一個(gè)三角形中，三個(gè)內(nèi)角之和是多少度呢？對(duì)啦，是180度。那這個(gè)關(guān)系在解三角形的時(shí)候可是非常重要的哦。2、我們之前學(xué)過(guò)直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系，比如在直角三角形ABC（其中角C是直角）中，＄＼sinA=＼frac{a}｛c}＄，＄＼sinB=＼frac｛c}＄，這里的a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊，那大家能不能想一下，如果不是直角三角形，這些三角函數(shù)關(guān)系會(huì)有什么變化呢？（二）預(yù)習(xí)自測(cè)1、在三角形ABC中，角A＝30度，角B＝60度，邊a＝1，根據(jù)三角形內(nèi)角和，角C是多少度呢？＿_(dá)__________。2、已知三角形ABC中，角A＝45度，角B＝45度，邊a＝2，那邊b大概是多少呢？（可以先猜猜看哦）＿_(dá)__________。（三）我的疑惑把你在預(yù)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題寫下來(lái)，比如對(duì)正弦定理推導(dǎo)過(guò)程不理解的地方，或者是對(duì)正弦定理應(yīng)用的疑問(wèn)之類的。四、課堂教學(xué)設(shè)計(jì)（一）探究一：正弦定理的推導(dǎo)1、我們先從直角三角形開始推導(dǎo)正弦定理。對(duì)于直角三角形ABC（角C＝90度），我們已經(jīng)知道$＼sinA=＼frac{a}｛c}＄，＄＼sinB=＼frac｛c}＄，那$＼sinC＝1$。這樣我們可以得到$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＝＼frac{c}｛＼sinC}＝c$，這是不是很神奇呢？那對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形呢？我們可以通過(guò)作高來(lái)推導(dǎo)。例如在銳角三角形ABC中，作CD垂直于AB于點(diǎn)D。在三角形ACD中，＄CD＝b\sinA$；在三角形BCD中，＄CD＝a\sinB$。所以$a\sinB＝b\sinA$，即$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＄。同理，我們可以得到$＼frac｛＼sinB}＝＼frac{c}｛＼sinC}＄。所以在銳角三角形中，＄＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＝＼frac{c}｛＼sinC}＄。大家自己動(dòng)手推導(dǎo)一下鈍角三角形的情況吧。（可以小組討論哦）（二）探究二：正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、已知兩角和一邊求另外的邊例題：在三角形ABC中，角A＝30度，角B＝45度，邊a＝1，求邊b和邊c。首先，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角C＝1803045＝105度。然后，由正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＄，我們可以求出$b=＼frac{a\sinB}｛＼sinA}＄。那$＼sinB=＼sin45^｛＼circ}＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＄，＄＼sinA=＼sin30^｛＼circ}＝＼frac{1}｛2}＄，所以$b=＼frac{1\times\frac{＼sqrt{2}｝｛2}｝｛＼frac{1}｛2}｝＝＼sqrt{2}＄。接下來(lái)求邊c，根據(jù)正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac{c}｛＼sinC}＄，我們先求$＼sinC=＼sin105^｛＼circ}＝＼sin(60^｛＼circ}＋45^｛＼circ}）＝＼sin60^｛＼circ}＼cos45^｛＼circ}＋＼cos60^｛＼circ}＼sin45^｛＼circ}＝＼frac{＼sqrt{6}＋＼sqrt{2}｝｛4}＄，所以$c=＼frac{a\sinC}｛＼sinA}＝＼frac{1\times\frac{＼sqrt{6}＋＼sqrt{2}｝｛4}｝｛＼frac{1}｛2}｝＝＼frac{＼sqrt{6}＋＼sqrt{2}｝｛2}＄。2、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角例題：在三角形ABC中，邊a＝2，邊b＝2\sqrt{3}，角A＝30度，求角B。根據(jù)正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＄，則$＼sinB=＼frac{b\sinA}｛a}＄。把數(shù)值代入，＄＼sinB=＼frac{2\sqrt{3}＼times\frac{1}｛2}｝｛2}＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＄。這時(shí)候要注意哦，因?yàn)榻荁是三角形的內(nèi)角，所以角B可能是60度或者120度。那怎么判斷解的個(gè)數(shù)呢？（大家討論一下，老師給點(diǎn)小提示：可以從邊的大小關(guān)系來(lái)考慮哦）（三）拓展提升1、在三角形ABC中，角A＝60度，角B＝75度，邊a=＼sqrt{3}＄，求邊c。（這個(gè)題有點(diǎn)小挑戰(zhàn)哦，大家要認(rèn)真思考，運(yùn)用我們剛學(xué)的正弦定理）2、已知三角形ABC中，邊a＝3，邊b＝4，角A＝30度，求角B和邊c。（這里要特別注意解的個(gè)數(shù)的判斷哦）（四）當(dāng)堂檢測(cè)1、在三角形ABC中，角A＝45度，角B＝60度，邊a＝2，求邊b。＿_(dá)__________。2、在三角形ABC中，邊a＝1，邊b=＼sqrt{2}＄，角A＝30度，角B有幾個(gè)解呢？是多少度呢？＿_(dá)__________。五、課后鞏固設(shè)計(jì)（一）基礎(chǔ)題1、在三角形ABC中，角A＝30度，角B＝120度，邊a＝1，求邊b。2、在三角形ABC中，邊a＝2，邊b＝3，角A＝45度，求角B（答案精確到1度）。（二）提高題1、在三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a＝5，b＝7，角A＝30度，求三角形ABC的面積。（提示：先求角B，再求角C，然后用三角形面積公式$S=＼frac{1}｛2}ab\sinC$）2、在三角形ABC中，角A＝60度，邊a=＼sqrt{3}＄，邊b＝1，求角B和角C。（三）答案1、預(yù)習(xí)自測(cè)角C＝90度?！鏱＝2$。2、當(dāng)堂檢測(cè)根據(jù)正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＄，＄＼sinB=＼frac{b\sinA}｛a}＄，＄＼sinA=＼sin45^｛＼circ}＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＄，＄a＝2$，＄b=＼frac{2\times\frac{＼sqrt{2}｝｛2}｝｛＼sin45^｛＼circ}｝＝＼frac{2\times\frac{＼sqrt{2}｝｛2}｝｛＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}｝＝2\sqrt{2}＄。由正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＄，＄＼sinB=＼frac{b\sinA}｛a}＝＼frac{＼sqrt{2}＼times\frac{1}｛2}｝｛1}＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＄，所以角B有兩解，角B＝45度或135度。3、課后鞏固設(shè)計(jì)基礎(chǔ)題根據(jù)正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＄，＄＼sinA=＼sin30^｛＼circ}＝＼frac{1}｛2}＄，＄＼sinB=＼sin120^｛＼circ}＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＄，＄a＝1$，則$b=＼frac{a\sinB}｛＼sinA}＝＼frac{1\times\frac{＼sqrt{3}｝｛2}｝｛＼frac{1}｛2}｝＝＼sqrt{3}＄。根據(jù)正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＄，＄＼sinA=＼sin45^｛＼circ}＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＄，＄a＝2$，＄b＝3$，則$＼sinB=＼frac{b\sinA}｛a}＝＼frac{3\times\frac{＼sqrt{2}｝｛2}｝｛2}＝＼frac{3\sqrt{2}｝｛4}＼approx0.53$，所以角B≈32度或148度（因?yàn)閎＞a，所以148度舍去），角B≈32度。提高題根據(jù)正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝＼frac｛＼sinB}＄，＄＼sinA=＼sin30^｛＼circ}＝＼frac{1}｛2}＄，＄a＝5$，＄b＝7$，則$＼sinB=＼frac{b\sinA}｛a}＝＼frac{7\times\frac{1}｛2}｝｛5}＝＼frac{7}｛10}＄。因?yàn)閎＞a，所以角B有兩解，角B≈44度或136度。當(dāng)角B≈44度時(shí)，角C＝1803044＝106度，＄S=＼frac{1}｛2}ab\sinC=＼frac{1}｛2}＼times5\times7\times\sin106^｛＼circ}＼approx16.5$；當(dāng)角B≈136度時(shí)，角C＝18030136＝14度，＄S=＼frac{1}｛2}ab\sinC=＼frac{1}｛2}＼times5\times7\times\sin14^｛＼circ}＼approx4.2$。根據(jù)正弦定理$＼frac{a}｛＼sinA}＝