《本章小結(jié)》講義

《本章小結(jié)》講義高中數(shù)學(xué)人教B版選修11第二章圓錐曲線與方程本章小結(jié)講義一、圓錐曲線的定義1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)\（F_1,F_2\）的距離之和等于常數(shù)（大于\（＼vertF_1F_2\vert\））的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。例如：如果\（F_1,F_2\）是兩個(gè)定點(diǎn)，＼（＼vertF_1F_2\vert＝2c\），點(diǎn)\（M\）滿足\（＼vertMF_1\vert+＼vertMF_2\vert＝2a\）（＼（a＞c\）），那么點(diǎn)\（M\）的軌跡就是橢圓。就像我們拿一根繩子，兩端固定在兩個(gè)點(diǎn)（這兩個(gè)點(diǎn)就是焦點(diǎn)），然后用一支筆把繩子繃緊，移動(dòng)筆就畫出了一個(gè)橢圓。2、雙曲線定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)\（F_1,F_2\）的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于\（＼vertF_1F_2\vert\））的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。比如：設(shè)\（F_1,F_2\）是兩個(gè)定點(diǎn)，＼（＼vertF_1F_2\vert＝2c\），點(diǎn)\（M\）滿足\（＼vert\vertMF_1\vert\vertMF_2\vert\vert＝2a\）（＼（a＜c\）），這樣點(diǎn)\（M\）的軌跡就是雙曲線。想象一下，有兩個(gè)點(diǎn)（焦點(diǎn)），點(diǎn)到這兩個(gè)點(diǎn)的距離差是個(gè)定值，這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡就是雙曲線。3、拋物線定義：平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)\（F\）和一條定直線\（l\）（＼（F\notinl\））的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。點(diǎn)\（F\）叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線\（l\）叫做拋物線的準(zhǔn)線。例如：我們可以想象在一個(gè)平面上，有一個(gè)點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一條直線（準(zhǔn)線），一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)點(diǎn)和這條直線的距離總是相等，這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡就是拋物線。就像投籃的時(shí)候，籃球出手后的軌跡有點(diǎn)像拋物線（當(dāng)然這只是個(gè)簡(jiǎn)單的類比啦）。二、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、橢圓當(dāng)焦點(diǎn)在\（x\）軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），其中\(zhòng)（a\）是長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，＼（b\）是短半軸長(zhǎng)，＼（c^2=a^2b^2\），＼（c\）是半焦距。當(dāng)焦點(diǎn)在\（y\）軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\（＼frac{y^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{x^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼）。2、雙曲線當(dāng)焦點(diǎn)在\（x\）軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），其中\(zhòng)（a\）是實(shí)半軸長(zhǎng)，＼（b\）是虛半軸長(zhǎng)，＼（c^2=a^2＋b^2\），＼（c\）是半焦距。當(dāng)焦點(diǎn)在\（y\）軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\（＼frac{y^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{x^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼）。3、拋物線當(dāng)焦點(diǎn)在\（x\）軸正半軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼），焦點(diǎn)坐標(biāo)為\（（＼frac{p}｛2}，0)＼），準(zhǔn)線方程為\（x＝＼frac{p}｛2}＼）。當(dāng)焦點(diǎn)在\（x\）軸負(fù)半軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\（y^｛2}＝－2px(p＞0)＼），焦點(diǎn)坐標(biāo)為\（（＼frac{p}｛2}，0)＼），準(zhǔn)線方程為\（x=＼frac{p}｛2}＼）。當(dāng)焦點(diǎn)在\（y\）軸正半軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\（x^｛2}＝2py(p＞0)＼），焦點(diǎn)坐標(biāo)為\（（0,＼frac{p}｛2}）＼），準(zhǔn)線方程為\（y＝＼frac{p}｛2}＼）。當(dāng)焦點(diǎn)在\（y\）軸負(fù)半軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為\（x^｛2}＝－2py(p＞0)＼），焦點(diǎn)坐標(biāo)為\（（0,＼frac{p}｛2}）＼），準(zhǔn)線方程為\（y=＼frac{p}｛2}＼）。三、圓錐曲線的性質(zhì)1、橢圓范圍：對(duì)于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），＼（a\leqslantx\leqslanta\），＼（b\leqslanty\leqslantb\）。對(duì)稱性：關(guān)于\（x\）軸、＼（y\）軸和原點(diǎn)對(duì)稱。頂點(diǎn)：＼（（＼pma,0)＼），＼（（0,＼pmb)＼）。離心率\（e=＼frac{c}｛a}（0＜e＜1)＼），離心率越大，橢圓越扁；離心率越小，橢圓越接近于圓。2、雙曲線范圍：對(duì)于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），＼（x\leqslanta\）或\（x\geqslanta\）。對(duì)稱性：關(guān)于\（x\）軸、＼（y\）軸和原點(diǎn)對(duì)稱。頂點(diǎn)：＼（（＼pma,0)＼）。漸近線：當(dāng)焦點(diǎn)在\（x\）軸上時(shí)，漸近線方程為\（y=＼pm\frac｛a}x\）；當(dāng)焦點(diǎn)在\（y\）軸上時(shí)，漸近線方程為\（y=＼pm\frac{a}｛b}x\）。離心率\（e=＼frac{c}｛a}（e＞1)＼），離心率越大，雙曲線的開口越開闊。3、拋物線對(duì)于\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼），對(duì)稱軸為\（x\）軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn)\（（0,0)＼），開口向右；當(dāng)\（p\）越大，拋物線開口越開闊。四、重點(diǎn)和難點(diǎn)1、重點(diǎn)掌握?qǐng)A錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。這些是解決圓錐曲線相關(guān)問題的基礎(chǔ)，就像蓋房子的磚頭一樣重要。能夠根據(jù)已知條件求圓錐曲線的方程。這需要我們熟練運(yùn)用定義和各種已知信息，比如給定焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)或者離心率等條件來(lái)確定方程。2、難點(diǎn)圓錐曲線中一些概念的理解，比如雙曲線的漸近線概念。漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，它描述了雙曲線無(wú)限接近但永遠(yuǎn)不會(huì)相交的直線，理解起來(lái)有點(diǎn)抽象。綜合運(yùn)用圓錐曲線的知識(shí)解決實(shí)際問題或者復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。這可能涉及到圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，求交點(diǎn)坐標(biāo)，以及利用圓錐曲線的性質(zhì)來(lái)求解一些最值或者范圍問題等。五、互動(dòng)環(huán)節(jié)1、我來(lái)問，你們來(lái)答我問：橢圓的離心率范圍是多少？你們答：＼（0＜e＜1\）。我再問：雙曲線的漸近線方程怎么求呢？（可以舉個(gè)焦點(diǎn)在\（x\）軸上的雙曲線例子）你們回答：對(duì)于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），漸近線方程是\（y=＼pm\frac｛a}x\）。2、你們來(lái)問，我來(lái)答現(xiàn)在輪到你們提問啦，關(guān)于圓錐曲線的定義、方程或者性質(zhì)方面有什么問題都可以問哦。六、習(xí)題1、填空題橢圓\（＼frac{x^｛2}｝｛25}＋＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)\（a＝＼）＿_(dá)________，短半軸長(zhǎng)\（b=＼）＿_(dá)________，半焦距\（c=＼）＿_(dá)________。雙曲線\（＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）的實(shí)半軸長(zhǎng)\（a=＼）＿_(dá)________，虛半軸長(zhǎng)\（b=＼）＿_(dá)________，離心率\（e=＼）＿_(dá)________。拋物線\（y^｛2}＝8x\）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\（（＼）＿_(dá)________,＼（0)＼），準(zhǔn)線方程為\（x=＼）＿_(dá)________。2、解答題已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為\（（－2,0)＼）和\（（2,0)＼），且橢圓過點(diǎn)\（（＼frac{5}｛2}，＼frac{3}｛2}）＼），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。求雙曲線\（＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1\）的漸近線方程，并畫出草圖（草圖這里就簡(jiǎn)單描述一下大概形狀就好）。已知拋物線\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為\（4\），求\（p\）的值，并寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案：1、填空題橢圓\（＼frac{x^｛2}｝｛25}＋＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）中，＼（a＝5\），＼（b＝4\），＼（c＝3\）。雙曲線\（＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）中，＼（a＝3\），＼（b＝4\），＼（e=＼frac{5}｛3}＼）。拋物線\（y^｛2}＝8x\）中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為\（（2,0)＼），準(zhǔn)線方程為\（x=－2\）。2、解答題設(shè)橢圓方程為\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），＼（c＝2\），根據(jù)橢圓定義\（2a=＼sqrt{（＼frac{5}｛2}＋2)＾｛2}＋（＼frac{3}｛2}－0)＾｛2}｝＋＼sqrt{（＼frac{5}｛2}－2)＾｛2}＋（＼frac{3}｛2}－0)＾｛2}｝＼），解得\（a=＼sqrt{10}＼），又\（c＝2\），則\（b^｛2}＝a^｛2}c^｛2}＝104＝6\），橢圓方程為\（＼frac{x^｛2}｝｛10}＋＼frac{y^｛2}｝｛6}＝1\）。對(duì)于雙曲線\（＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1\），漸近線方程為