安徽省合肥市百花中學(xué)八一學(xué)校等四校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

合肥百花中學(xué)等四校2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期高二年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，所以.故選：A.2.已知等比數(shù)列的公比為q，且是與的等差中項(xiàng)，則（）A. B.1 C.2 D.或1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)可得，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，則，即，且，整理可得，解得或.故選：D.3.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案】A【解析】【詳解】試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點(diǎn)：條件概率．4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】，，.故選：C.5.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種【答案】C【解析】【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.6.若函數(shù)與在處有相同的切線，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】分析】對(duì)，求導(dǎo)，根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，則，，可得，，，，因?yàn)椋谔幱邢嗤那芯€，即切點(diǎn)為，切線斜率，所以，解得，所以.故選：D.7.某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】B【解析】【詳解】分析：判斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可．或，,可知故答案選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．8.函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)任意，，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】依題意可設(shè)，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?所以要使，即，只需要，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵就是利用導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)來(lái)解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234Pq0.40.1020.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得參數(shù)，結(jié)合分布列求得，再結(jié)合期望和方差的性質(zhì)，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋獾?，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)CD：因?yàn)椋瑒t有：，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.若回歸方程為，則變量x與y負(fù)相關(guān)B.運(yùn)用最小二乘法求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心C.若散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線上，則相關(guān)系數(shù)D.若決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好【答案】ABD【解析】【分析】利用正負(fù)相關(guān)的意義判斷A；利用回歸直線的性質(zhì)判斷B；利用相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)意義判斷CD.【詳解】對(duì)于A，回歸方程為的斜率為負(fù)，則變量x與y負(fù)相關(guān)，A正確；對(duì)于B，回歸直線方程一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，B正確；對(duì)于C，散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)都在直線上，則相關(guān)系數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，決定系數(shù)的值越接近于1，表示回歸模型的擬合效果越好，D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列滿足，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.數(shù)列的前n項(xiàng)和D.數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求解A，由公比和首項(xiàng)寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)即可求解B，根據(jù)分組求和，裂項(xiàng)相消法求和即可求解CD.【詳解】對(duì)于AB，由可得又，故為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公比為2，則，故，AB正確，對(duì)于C，數(shù)列的前n項(xiàng)和，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)在處取極值，則___________【答案】3【解析】【詳解】試題分析：=．因?yàn)閒（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______________（用數(shù)字作答）．【答案】28【解析】【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為28故答案為：2814.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．【答案】①.，②.##【解析】【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）（2）；的最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，可得，解得：，所以．【小?wèn)2詳解】由（1）可得：，可知：時(shí)，取得最小值，所以的最小值為．16.已知展開(kāi)式中的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求n的值；（2）將展開(kāi)式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率.【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）利用第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為等差數(shù)列可求；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可得展開(kāi)式中共有3項(xiàng)有理項(xiàng)，利用插空法和古典概型的概率計(jì)算公式可求概率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈诙?xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、、，由題意可知：，即，顯然，整理可得，解得或（舍去），所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知展開(kāi)式的通項(xiàng)為，可知展開(kāi)式共8項(xiàng)，當(dāng)為有理項(xiàng)，共3項(xiàng)，所以由插空法可得有理項(xiàng)不相鄰的概率．17.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【答案】(1)0.108.(2)1.8，0.72.【解析】【詳解】試題分析：（1）設(shè)表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天的日銷售量低于50個(gè)”.因此可求出，，利用事件的獨(dú)立性即可求出；（2）由題意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望為E(X)和方差D（X）的值.（1）設(shè)表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天的日銷售量低于50個(gè)”.因此...（2）X的可能取值為0,1,2,3.相應(yīng)的概率為,,,,分布列為X

0

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

因?yàn)閄~B(3,0.6),所以期望為E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（10.6）=0.72考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.二項(xiàng)分布.18.某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”與“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如圖所示.等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)6x24y（1）若測(cè)試的同學(xué)中，分?jǐn)?shù)在，，，內(nèi)女生的人數(shù)分別為2人，8人，16人，4人，完成下面列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)?等級(jí)性別不合格合格總計(jì)男生

女生

總計(jì)

（2）按比例分配的分層抽樣方法從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中，共選取10人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@10人中任選4人，記所選4人的量化總分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).附:0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，不能（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出樣本容量，再由數(shù)據(jù)表求出，列出列聯(lián)表，計(jì)算并比對(duì)作答；（2）求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知得分在的頻率為，所以抽取的學(xué)生答卷總數(shù)為，則，，可得列聯(lián)表為：等級(jí)性別不合格合格總計(jì)男生141630女生102030總計(jì)243660零假設(shè)：性別與安全意識(shí)無(wú)關(guān)，于是，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)可知：零假設(shè)成立，所以不能認(rèn)為性別與安全意識(shí)有關(guān)．【小問(wèn)2詳解】“不合格”和“合格”的人數(shù)比例為，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，可知X的可能取值為0，5，10，15，20，則有：，，所以X的分布列為：X05101520P期望．19.設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；（Ⅲ）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）見(jiàn)解析.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，求切線方程；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；（Ⅲ）從兩方面必要性和不充分性證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).試題解析：（Ⅰ）由，得．因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以．令，得，解得或．與在區(qū)間上的情況如下：

所以，當(dāng)且時(shí)，存在，，，使得．由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)．（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，記作．當(dāng)時(shí)，，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以不可能有三個(gè)不同零點(diǎn)．綜上所述，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必有．故是有三個(gè)不同零點(diǎn)