111(1)等腰三角形的性質(zhì)（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(北師大版)

1.1.1(1)等腰三角形的性質(zhì)一、單選題1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，則∠C的度數(shù)為（）A．80° B．60° C．50° D．40°【答案】C【分析】由題意易知∠B=∠C，進(jìn)而問題可求解．【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠B=∠C=50°；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如果的一個(gè)外角等于，且，則（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，可以得到：（1）當(dāng)這個(gè)150°的外角為頂角的外角時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角為30°；（2）當(dāng)這個(gè)150°的外角為底角的外角時(shí)，可以得到這個(gè)等腰三角形的頂角為180°?30°?30°＝120°．【解析】分兩種情況：（1）當(dāng)這個(gè)150°的外角為頂角的外角時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角∠A為30°；

（2）當(dāng)這個(gè)150°的外角為底角的外角時(shí)，可以得到這個(gè)等腰三角形的頂角∠A為180°?30°?30°＝120°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形．下列作法不正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作圖和等腰三角形的判定，逐項(xiàng)分析判斷【解析】解：A，根據(jù)作圖可知，，△ACD為等腰三角形，不符合題意；B.根據(jù)作圖，是的角平分線，不能判定△ACD為等腰三角形，符合題意；C.根據(jù)作圖可知，點(diǎn)在的垂直平分線上，，△ACD為等腰三角形，不符合題意；D.根據(jù)作圖可知，則，△ACD為等腰三角形，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，尺規(guī)作圖，作線段，作角平分線，作中垂線，作一個(gè)角等于已知角，能掌握基本作圖和等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．如果等腰三角形的腰比底長3，其周長為30，則底邊長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】設(shè)等腰三角形的底邊長為：則腰長為：再根據(jù)三角形的周長列方程，解方程可得答案.【解析】解：設(shè)等腰三角形的底邊長為：則腰長為：故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的定義，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵.5．如果等腰三角形的一個(gè)角等于62度，則它的底角是（）度A．62 B．59 C．62或59 D．62成56【答案】C【分析】根據(jù)題意，分已知角是底角和不是底角兩種情況討論，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，分析可得答案．【解析】解：根據(jù)題意，等腰三角形的一個(gè)角等于62度，當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是，當(dāng)這個(gè)角為頂角時(shí)，設(shè)等腰三角形的底角為，則，解得：，即該等腰三角形的底角為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理；通過三角形內(nèi)角和，列出方程求解是解答本題的關(guān)鍵．6．等腰三角形兩邊a，b滿足，則此三角形的周長是（）A．7 B．5 C．8 D．7或5【答案】A【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，列出方程組，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而根據(jù)題意分類討論，即可求得答案．【解析】解得當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí)，，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí)，等腰三角形的周長為：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)性的性質(zhì)，解二元一次方程組，等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，中，，D、E分別是兩點(diǎn)，且，連接．則的度數(shù)為（）度·A．45 B．52.5 C．67.5 D．75【答案】C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC=∠C=75°，然后求出∠DBC=180°∠BCD∠BDC=30°，∠DBE=45°，由此求解即可．【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°，∵BD=BC=DE，∴∠BED=∠BDE，∠BCD=∠BDC=75°，∴∠DBC=180°∠BCD∠BDC=30°，∴∠DBE=45°，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．8．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角的度數(shù)為（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】此題需要分情況討論：等腰角形的頂角是鈍角，等腰三角形的頂角是銳角，分別畫出圖形進(jìn)行求解即可．【解析】如圖1

；

如圖2

，故頂角．故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問題要全面，必要的時(shí)候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．9．如圖，在中，，過點(diǎn)A作，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解析】∵，

∴，∵，∴，∵∴，∵，∴，即，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠C的度數(shù)和得出∠B=∠C，注意：三角形內(nèi)角和等于180°，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．10．如圖，，等邊的頂點(diǎn)B在直線m上，邊與直線m所夾銳角為，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)C作直線CE∥m，由平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及等量代換可求得答案．【解析】解：如圖，過點(diǎn)C作m，∵，∴，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．二、填空題11．等腰三角形一個(gè)角為50°，則此等腰三角形頂角為___________．【答案】50?【分析】已知沒有給出50°的角是頂角和是底角，所以要分兩種情況進(jìn)行討論．【解析】解：分為兩種情況：當(dāng)50°是頂角時(shí)，頂角為50°當(dāng)50°是底角時(shí)，其頂角是180°50°×2=80°故答案為：50?或80?【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．12．已知等腰三角形的兩邊長為3和6，則它的周長為_____．【答案】15【分析】分兩種情況：當(dāng)3為底時(shí)和3為腰時(shí)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：兩邊之和大于第三邊去掉一種情況即可．【解析】解：當(dāng)3為底時(shí)，三角形的三邊長為3，6，6，則周長為15；當(dāng)3為腰時(shí)，三角形的三邊長為3，3，6，∵3+3＝6，∴3，3，6不能組成三角形，綜上所述，等腰三角形的三邊長為3，3，6，周長為15；故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義以及三角形的三邊關(guān)系定理，是基礎(chǔ)知識(shí)，要熟練掌握．注意分類討論思想的應(yīng)用．13．如圖，，若AD平分，則AD與BC的位置關(guān)系是_______．【答案】【分析】根據(jù)，AD平分，等腰三角形三線合一性質(zhì)可得AD⊥BC即可．【解析】解：∵，AD平分，∴AD⊥BC，∴AD與BC的位置關(guān)系是AD⊥BC．故答案為AD⊥BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形頂角平分線底邊中線，底邊高線三線互相重合性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，則∠CDE度數(shù)是_______度．

【答案】10【分析】根據(jù)三角形外角定理得出∠EDC+∠C=∠AED，進(jìn)而求出∠C+∠EDC=∠ADE，再利用∠B+∠BAD=∠ADC，進(jìn)而利用已知求出即可．【解析】解：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠EDC+∠C=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADE，又∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，∵∠B=∠C．∴2∠EDC=20°，∴∠EDC=10°．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角定理以及角之間等量代換，利用外角定理得出∠C+∠EDC=∠ADE是解決問題的關(guān)鍵．15．已知等腰三角形的兩個(gè)底角相等，并且一腰上的高與另一腰的夾角為，則其頂角的度數(shù)為__________度．【答案】或【分析】分兩種情況討論：如圖，當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖，當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，再利用三角形的外角的性質(zhì)或直角三角形兩銳角互余可得答案.【解析】解：如圖，當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖，當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的定義，三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，掌握清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.16．一等腰三角形的底邊長為，一腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長，那么這個(gè)三角形的周長為________．【答案】或【分析】先畫出圖形，根據(jù)圖形結(jié)合已知寫出條件，再分兩種情況討論：根據(jù)一腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另一部分長，構(gòu)建方程，再解方程可得答案.【解析】解：如圖，為等腰三角形，設(shè)則當(dāng)時(shí)，解得：當(dāng)時(shí)，解得：故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的定義，三角形的中線的性質(zhì)，清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.17．已知：如圖，中，，，，則_______．【答案】【分析】設(shè)則再利用三角形的外角的性質(zhì)依次表示再利用三角形的內(nèi)角和定理列方程，從而可得答案.【解析】解：設(shè)則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握利用三角形定理及三角形的外角的性質(zhì)列方程是解題的關(guān)鍵.18．如圖，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P為射線OC上一點(diǎn)，如果射線OA上的點(diǎn)D滿足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度數(shù)為______【答案】120°或75°或30°##120°或30°或75°##75°或120°或30°##75°或30°或120°或75°或120°或120°或75°【分析】根據(jù)當(dāng)△OPD是等腰三角形,分三種情況討論進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠ODP的度數(shù)【解析】解：∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，①當(dāng)D在D1處時(shí)，OD=PD，∴∠AOP=∠OPD=30°，∴∠ODP=180°30°30°=120°；②當(dāng)D在D2處時(shí)，OP=OD，則∠OPD=∠ODP=×（180°30°）=75°；③當(dāng)D在D3處時(shí)，OP=DP，則∠ODP=∠AOP=30°．綜上，當(dāng)△OPD是等腰三角形時(shí)，∠ODP的度數(shù)為120°或75°或30°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，求等腰三角形ABC的面積．【答案】【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出BD，DC的長，進(jìn)而得出等腰三角形ABC的面積．【解析】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AC=BC，DC⊥AB，∴AD=BD=AB=3cm，∵BC=5cm，∴DC==4（cm），∴等腰三角形ABC的面積為：×4×6=12（cm2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，正確得出等腰三角形的高是解題關(guān)鍵．20．（1）已知：如圖（甲），等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為銳角，腰為a，求作這個(gè)等腰三角形；（2）在（1）中，把銳角變成鈍角，其他條件不變，求作這個(gè)等腰三角形．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析．【分析】（1）分成是頂角和頂角兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)是底角時(shí)，首先作一個(gè)∠A＝，在一邊上截取AB＝a，然后過B作另一邊的垂線BR，然后在AR的延長線上截取RC＝AR，連接BC，即可得到三角形，當(dāng)是頂角時(shí)，作∠D＝，在角的兩邊上截取DE＝DF＝a，則△DEF就是所求三角形；（2）作∠M＝，在角的邊上截取MN＝MH，則△MNH就是所求．【解析】（1）如圖所示：△ABC和△DEF都是所求的三角形；（2）如圖所示：△MNH是所求的三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的作法，正確進(jìn)行討論，理解等腰三角形的性質(zhì)：三線合一定理，是關(guān)鍵．21．已知：如圖，在中，是腰上的高．求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解得CD的長．【解析】證明：在中，∵，∴（等邊對等角）．∴．∵是腰上的高，∴．∴（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角．三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系以及直角三角形中30度所對的直角邊等于斜邊的一半．22．求證：如果等腰三角形的底角為，那么腰上的高是腰長的一半．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明即可．【解析】證明：如圖：，，，，在直角三角形中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形中對應(yīng)的邊等于斜邊的一半即可．23．如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)D．若，則等于多少度？【答案】【分析】題中相等的邊較多，且都是在同一個(gè)三角形中，因?yàn)榍蟆敖恰钡亩葦?shù)，將“等邊”轉(zhuǎn)化為有關(guān)的“等角”，充分運(yùn)用“等邊對等角”這一性質(zhì)，再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為180°求解此題．【解析】解：∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠C＝∠BDC＝2∠A，又∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠A＋2∠C＝180°，把∠C＝2∠A代入等式，得∠A＋2×2∠A＝180°，解得∠A＝36°.【點(diǎn)睛】本題反復(fù)運(yùn)用了“等邊對等角”，將已知的等邊轉(zhuǎn)化為有關(guān)角的關(guān)系，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角和及三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)求解有關(guān)角的度數(shù)問題．24．已知：如圖，．求證：是等腰三角形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ABD≌△DCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、等角對等邊證明結(jié)論．【解析】證明：∵，∴．∴（全等三角形的對應(yīng)角相等）．∴（等角對等邊）．∴是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．25．如圖，在中，平分，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E，請判斷的形狀，并說明理由．【答案】等腰三角形，理由見解析．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠DBC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EDB=∠DBC，從而得到∠ABD=∠EDB，再根據(jù)等角對等邊解答．【解析】解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵DE//BC，

∴∠EDB=∠DBC，

∴∠ABD=∠EDB，

∴BE=DE，

∴△BDE是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在中，，點(diǎn)D，E都在邊上，且，那么與相等嗎？請證明你的結(jié)論．【答案】，證明見解析．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出，，證明，得出，進(jìn)而得出結(jié)論．【解析】解：，理由如下：，，，，即，在和中，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等．27．證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：如圖，在中，，和是的角平分線．求證：．【答案】見解析【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分線，利用等邊對等角，角平分線定義，可得∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可證△BDC≌△CEB，再利用全等三角形的性質(zhì)可證BD＝CE．【解析】證明：∵，∴（等邊對等角）．∵分別平分和，∴，．∴．在和中，∵，∴．∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．28．如圖，已知，求的度數(shù)．【答案】【分析】由∠B=20°，根據(jù)三角形內(nèi)角和公式可求得∠BA1A的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)找∠BA1A與∠A4的關(guān)系即可解答．【解析】解：∵AB=A1B，∠B=20°，∴∠A=∠BA1A=（180°∠B）=（180°20°）=80°，∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，∴∠A1CD=∠A1A2C，∵∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8∠A4，∴∠A4=10°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．充分利用外角的性質(zhì)確定∠BA1A與∠A4的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．29．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE=AD，連接DE．（1）如圖①，已知∠BAC=90°，∠BAD=60°，求∠CD