試題山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題含解析

試題山西省懷仁市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計(jì)思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn).小組中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學(xué)生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學(xué)是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁2．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半?！苯裼斨?，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且4．已知數(shù)列滿足，且，，則（）A. B.C. D.5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構(gòu)成等差數(shù)列，其中重量為，則的值為（）A.4 B.12C.15 D.186．過拋物線的焦點(diǎn)作互相垂直的弦，則的最小值為（）A.16 B.18C.32 D.647．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.8．離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. B.或C. D.或9．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.10．設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.11．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高二被抽取的人數(shù)為人，那么高三被抽取的人數(shù)為（）A. B.C. D.12．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______．（結(jié)果用數(shù)值表示）14．定義點(diǎn)到曲線的距離為該點(diǎn)與曲線上所有點(diǎn)之間距離的最小值，則點(diǎn)到曲線距離為___________.15．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是______________16．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）為落實(shí)國(guó)家扶貧攻堅(jiān)政策，某地區(qū)應(yīng)上級(jí)扶貧辦的要求，對(duì)本地區(qū)所有貧困戶每年年底進(jìn)行收入統(tǒng)計(jì)，下表是該地區(qū)貧困戶從2017年至2020年的收入統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（其中y為貧困戶的人均年純收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代碼1234人均年純收入y/百元25283235（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出A貧困戶的人均年純收入關(guān)于年份代碼的散點(diǎn)圖；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計(jì)A貧困戶在年能否脫貧.（注：假定脫貧標(biāo)準(zhǔn)為人均年純收入不低于元）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，.19．（12分）已知p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．（12分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段含端點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.21．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過，兩點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，試問直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若否，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對(duì)幾何體的體積進(jìn)行估計(jì)即可.【詳解】可將幾何體看作一個(gè)以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個(gè)曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學(xué)的估算，故選：D2、A【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得：在區(qū)間上恒成立，而，所以.故選：A3、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，即故答案為D.4、A【解析】由已知兩個(gè)不等式，利用“兩邊夾”思想求得，然后利用累加法可求得【詳解】∵，∴，∴，又，∴，即，∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式，由遞推式的特征，采用累加法求得數(shù)列的項(xiàng)．解題關(guān)鍵是利用“兩邊夾”思想求解5、C【解析】先求出公差，再利用公式可求總重量.【詳解】設(shè)頭部一尺重量為，其后每尺重量依次為，由題設(shè)有，，故公差為.故中間一尺的重量為所以這5項(xiàng)和為.故選：C.6、B【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，分別設(shè)出，所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式求得，，然后利用基本不等式求最值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的直線方程為，則直線的方程為.，，，.由，得，，同理可得..當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故選：B7、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑，再計(jì)算內(nèi)切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，如圖所示：設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問題，屬于中檔題8、B【解析】試題解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上：當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上：考點(diǎn)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是焦點(diǎn)位置不同方程不同9、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計(jì)算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，，，，又底面是正方形，所以，，?duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.10、D【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷.【詳解】因?yàn)槊}是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即，故選：D11、C【解析】利用分層抽樣求出的值，進(jìn)而可求得高三被抽取的人數(shù).【詳解】由分層抽樣可得，可得，設(shè)高三所抽取的人數(shù)為，則，解得.故選：C.12、C【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求解出該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，然后求解出滿足題意的項(xiàng)數(shù)值，帶入通項(xiàng)即可求解出展開式的系數(shù).【詳解】展開式通項(xiàng)為，由題意，令，解得，，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14、2【解析】設(shè)出曲線上任意一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故，此時(shí)，設(shè)曲線任意一點(diǎn)，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)即為最小值.故答案為：215、【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形是平行四邊形，可得．設(shè)，由點(diǎn)M到直線l的距離不小于，即有，解得．再利用離心率計(jì)算公式即可得出范圍【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，．則四邊形是平行四邊形，故，所以，所以，設(shè)，則，故，從而，，，所以，即橢圓的離心率的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題16、2【解析】先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)使得.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)由求解.（2）將時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，令用導(dǎo)數(shù)法由求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)所以令，解得，所以單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以時(shí)，恒成立，令則令因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故符合要求；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故存在使得則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不符合要求；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故存在使得則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不符合要求.綜上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；18、（1）散點(diǎn)圖見解析；（2），能夠脫貧.【解析】（1）直接畫出點(diǎn)即可；（2）利用公式求出與，即可求出，把代入即可估計(jì)出A貧困戶在2021年能否脫貧.【小問1詳解】畫出y關(guān)于x的散點(diǎn)圖，如圖所示：【小問2詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，，又因?yàn)?，，所以，，關(guān)于的線性回歸方程，當(dāng)時(shí)，（百元），估計(jì)年A貧困戶人均年純收入達(dá)到元，能夠脫貧.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)命題p為真命題，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要條件，則，列出不等式組，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：命題p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，∴，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】解：命題，∵p是q的充分不必要條件，∴，∴，且兩式等號(hào)不能同時(shí)取得，解得，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.20、（1）證明見解析（2）點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值為【解析】（1）先利用平面幾何知識(shí)和余弦定理得到及各邊長(zhǎng)度，利用線面平行的性質(zhì)和判定定理得到線面垂直，再利用線線平行得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用平面的法向量夾角求出二面角的余弦值，再通過二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解.【小問1詳解】證明：在梯形中，因?yàn)?，，又因?yàn)?，所?，所以，即，解得，，所以，即.因?yàn)槠矫?，平面，所以，而平面平面，所以平?因?yàn)?，所以平?【小問2詳解】解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，又是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值為，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為.21、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公比即可計(jì)算得解.(2)由(1)的結(jié)論求出，然后利用分組求和方法求解作答.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，而，且是遞增數(shù)列，