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文檔簡介
2024屆四川省成都實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試題文試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A. B. C. D.2.若為過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點(diǎn),則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.603.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.34.閱讀下側(cè)程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為31,則①處應(yīng)填的數(shù)字為A.4 B.5 C.6 D.75.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.6.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.267.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.8.如圖所示點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動,且總是平行于軸,則的周長的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時,,則()A.2 B. C.1 D.10.若函數(shù)的圖象過點(diǎn),則它的一條對稱軸方程可能是()A. B. C. D.11.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.12.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.84二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個整數(shù),則當(dāng)n最小時實(shí)數(shù)a的值為_____.14.已知集合,,則__________.15.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,則__________.16.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎,有人走訪了四位歌手,甲說“是乙或丙獲獎.”乙說:“甲、丙都未獲獎.”丙說:“我獲獎了”.丁說:“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎的歌手是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正四棱錐中,,,為上的四等分點(diǎn),即.(1)證明:平面平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)已知是的一個極值點(diǎn),求曲線在處的切線方程(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個數(shù).19.(12分)數(shù)列滿足,且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點(diǎn)與極值.(2)當(dāng),時,證明:.21.(12分)設(shè)都是正數(shù),且,.求證:.22.(10分)已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,是與的等比中項(xiàng).(1)求;(2)設(shè)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時也考查了等差數(shù)列求和,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時,此時面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時,的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時,此時的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.3、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳?yàn)椤⒎謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C?!军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。4、B【解析】考點(diǎn):程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)求S的值,我們用表格列出程序運(yùn)行過程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示:Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i<5時退出,故選B.5、D【解析】
由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6、D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.7、C【解析】
分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù).A選項(xiàng),的定義域?yàn)椋谏蠟樵龊瘮?shù),不符合.B選項(xiàng),的定義域?yàn)?,不符?C選項(xiàng),的定義域?yàn)?,在上為減函數(shù),符合.D選項(xiàng),的定義域?yàn)椋环?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,結(jié)合定義表示出;根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點(diǎn),求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍,即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線,則焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,根據(jù)拋物線定義可得,圓,圓心為,半徑為,點(diǎn)、分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動,解得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.點(diǎn)、分別在兩個曲線上,總是平行于軸,因而兩點(diǎn)不能重合,不能在軸上,則由圓心和半徑可知,則的周長為,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.9、D【解析】
說明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).10、B【解析】
把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個選項(xiàng)都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時,,即是對稱軸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號,即可判斷選擇.詳解:令,因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù),排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r,,所以排除選項(xiàng)C,選D.點(diǎn)睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).12、B【解析】
畫出幾何體的直觀圖,計(jì)算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示:故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、-1【解析】
討論三種情況,a<0時,根據(jù)均值不等式得到a(﹣a)≤﹣14,計(jì)算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a1﹣4)(x﹣4)>0,①a<0時,[x﹣(a)](x﹣4)<0,其中a0,故解集為(a,4),由于a(﹣a)≤﹣14,當(dāng)且僅當(dāng)﹣a,即a=﹣1時取等號,∴a的最大值為﹣4,當(dāng)且僅當(dāng)a4時,A中共含有最少個整數(shù),此時實(shí)數(shù)a的值為﹣1;②a=0時,﹣4(x﹣4)>0,解集為(﹣∞,4),整數(shù)解有無窮多,故a=0不符合條件;③a>0時,[x﹣(a)](x﹣4)>0,其中a4,∴故解集為(﹣∞,4)∪(a,+∞),整數(shù)解有無窮多,故a>0不符合條件;綜上所述,a=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式,均值不等式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.14、【解析】
直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.16、丙【解析】若甲獲獎,則甲、乙、丙、丁說的都是錯的,同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況,可知獲獎的歌手是丙.考點(diǎn):反證法在推理中的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析.(2)【解析】
(1)根據(jù)題意可得,在中,利用余弦定理可得,然后同理可得,利用面面垂直的判定定理即可求解.(2)以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,求出面的法向量為,的法向量為,利用空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】(1)由由因?yàn)槭钦睦忮F,故于是,由余弦定理,在中,設(shè)再用余弦定理,在中,∴是直角,同理,而在平面上,∴平面平面(2)以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖:則設(shè)面的法向量為,的法向量為則,取于是,二面角的余弦值為:【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角,屬于基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用x=2是f(x)的一個極值點(diǎn),得f'(2)=0建立方程求出a的值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可;(Ⅱ)利用參數(shù)法分離法得到,構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行求解即可.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,則,因?yàn)槭堑囊粋€極值點(diǎn),所以,即,所以,因?yàn)椋?,則直線方程為,即;(Ⅱ)因?yàn)?,所以,所以,設(shè),則,所以在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故,所以,所以,設(shè),則,所以在上是減函數(shù),上是增函數(shù),所以,所以當(dāng)時,,函數(shù)在是減函數(shù),當(dāng)時,,函數(shù)在是增函數(shù),因?yàn)闀r,,,,所以當(dāng)時,方程無實(shí)數(shù)根,當(dāng)時,方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根,當(dāng)或時,方程有1個實(shí)根.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)中由極值點(diǎn)求參,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個數(shù)問題,屬于難題.19、(1)證明見解析,;(2)【解析】
(1)利用,推出,然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求解;(2)由(1)知,利用裂項(xiàng)法,即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列滿足且可得,即,所以數(shù)列是公差,首項(xiàng)的等差數(shù)列,故,所以.(2)由(1)知,所以數(shù)列的前n項(xiàng)和:==【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及“裂項(xiàng)法”求解數(shù)列的前n項(xiàng)和,其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式,合理利用“裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.20、(1)極小值點(diǎn)為,極小值為,無極大值;(2)證明見解析【解析】
先對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值;令,問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點(diǎn)為,極小值為,無極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.21、證明見解析【解析】
利用比較法進(jìn)行證明:把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不
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