綜合檢測(cè)（基礎(chǔ)卷）（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)選擇性必修第一冊(cè)期末綜合檢測(cè)基礎(chǔ)A版解析版學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．， B．， C．， D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)所給向量，求數(shù)量積和數(shù)量關(guān)系，即可得解.【詳解】，所以，，，，所以，，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的平行和垂直的判斷，考查了向量的數(shù)量積和平行向量數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】?jī)A斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．如圖在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，，，，，，再計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱且，則，，，，，，則故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，向量的模的計(jì)算公式，是中檔題.4．已知直線，其中，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線的充要條件是或．故選A．5．我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”．已知是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線中橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，在橢圓中，，即在雙曲線中，即，則所以，由題知，則橢圓離心率，選A.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.6．已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)，在軸上，中心在原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先畫(huà)出圖像，再結(jié)合雙曲線第一定義，三角形三邊關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)為與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，取到最小值【詳解】如圖，由雙曲線第一定義得①，又由三角形三邊關(guān)系可得②（當(dāng)點(diǎn)為與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取到等號(hào)），①+②得：，故，由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8可得，，則，，，則故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線第一定義求解到兩定點(diǎn)之間距離問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題7．點(diǎn)是正方體的側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若與的面積之比等于2，則點(diǎn)的軌跡是（）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】A【分析】先根據(jù)條件與的面積之比等于2，可得，然后建立平面直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷.【詳解】如圖正方體中，可知平面，平面，則，，即,以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，設(shè)，則，，整理得，點(diǎn)的軌跡是圓的一部分，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，解題的關(guān)鍵是找出與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的等量關(guān)系，利用軌跡方程或曲線的定義判斷.8．如圖，，分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】連結(jié)，利用幾何關(guān)系表示，,并結(jié)合橢圓的定義，得到離心率.【詳解】連結(jié)，則，并且，，，，即.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.二、多選題9．已知曲線，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則為雙曲線B．若且，則為焦點(diǎn)在軸的橢圓C．若，則不可能表示圓D．若，則為兩條直線【答案】ABD【分析】由，的取值，根據(jù)橢圓、雙曲線、圓與直線方程的特征，判斷曲線表示的形狀即可．【詳解】若，則為焦點(diǎn)在橫軸或縱軸上的雙曲線，所以正確；若且，可得，，所以為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以正確；若，，是單位圓，所以不正確；若，則化為，表示兩條直線，所以正確；故選：．10．在平面上有相異兩點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足(其中，且)，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.設(shè)，，為正實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，此阿波羅尼斯圓的半徑B．當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與該阿波羅尼斯圓相切C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在阿波羅尼斯圓圓心的左側(cè)D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在阿波羅尼斯圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)【答案】AD【分析】設(shè)，根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，求得其方程，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)椋?，A.當(dāng)時(shí)，此阿波羅尼斯圓的半徑，故正確；B.當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓為，阿波羅尼斯圓為，圓心距為，兩半徑之和為，兩半徑之差的絕對(duì)值為，不相切，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在阿波羅尼斯圓圓心的右側(cè)，故錯(cuò)誤；D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與圓心的距離，在阿波羅尼斯圓外，點(diǎn)與圓心的距離，在圓內(nèi)，故正確；故選：AD11．我們把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線。如圖所示，、是雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，、是虛軸頂點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．雙曲線是黃金雙曲線B．若，則該雙曲線是黃金雙曲線C．若，則該雙曲線是黃金雙曲線D．若，則該雙曲線是黃金雙曲線【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，，不是黃金雙曲線；通過(guò)計(jì)算得到BCD是黃金雙曲線.【詳解】A選項(xiàng)，，不是黃金雙曲線；B選項(xiàng)，，化成，即，又，解得，是黃金雙曲線；C選項(xiàng)，∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得，由選項(xiàng)知是黃金雙曲線；D選項(xiàng)，∵，∴軸，，且是等腰，∴，即，由選項(xiàng)知是黃金雙曲線.綜上，BCD是黃金雙曲線.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出再求離心率）；（2）方程法（通過(guò)已知得到關(guān)于的方程，解方程得解）.12．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】BC【分析】對(duì)于A，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線D1P與AC所成的角為；對(duì)于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，從而平面D1A1P平面A1AP；對(duì)于C，三棱錐D1﹣CDP的體積為定值；對(duì)于D，平面APD1截正方體所得的截面不可能是直角三角形．【詳解】對(duì)于A，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)∴直線D1P與AC所成的角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正確；對(duì)于C，，P到平面CDD1的距離BC＝1，∴三棱錐D1﹣CDP的體積：為定值，故C正確；對(duì)于D，平面APD1截正方體所得的截面不可能是直角三角形，故D錯(cuò)誤；故選：BC．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、填空題13．已知圓：與圓：，則兩圓的公共弦所在的直線方程為_(kāi)_____.【答案】【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線方程．【詳解】將圓：化為，聯(lián)立兩圓方程兩圓方程相減，得兩圓公共弦所在直線的方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓相交，求公共弦所在直線方程．不需要求出交點(diǎn)坐標(biāo)，只要兩圓方程相減即得．14．已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【分析】由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷出點(diǎn)在圓內(nèi)部，由圓的對(duì)稱性求出的最小值，再由弦恰好為直徑求出的最大值.【詳解】由題意可知，該圓的圓心為因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部由圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)為弦的中點(diǎn)時(shí)，弦最短且當(dāng)弦恰好為直徑時(shí)，弦最長(zhǎng)，即則故答案為：15．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則______.【答案】0【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則依次代換成形式，即可得出未知數(shù)的值.【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以由題：所以即.故答案為：0【點(diǎn)睛】此題考查空間向量的基本運(yùn)算，根據(jù)線性運(yùn)算關(guān)系依次表示出所求向量即可.16．雙曲線的的離心率為，當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，則的值________.【答案】【分析】首先求出雙曲線方程，設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，線段的中點(diǎn)為，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，又，得所以雙曲線的方程為．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，線段的中點(diǎn)為，，由，得（判別式△，，，點(diǎn)，，在圓上，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與雙曲線相交問(wèn)題及中點(diǎn)弦問(wèn)題，屬于中檔題．四、解答題17．已知圓，圓，問(wèn)：m為何值時(shí)，（1）圓和圓外切？（2）圓與圓內(nèi)含？（3）圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)？【答案】（1）或；（2）；（3）m的值為或或或2.【分析】把圓，圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，（1）根據(jù)圓心距等于半徑之和即可求解.（2）根據(jù)圓心距小于半徑之差即可.（3）根據(jù)兩圓相切包含內(nèi)切、外切即可求解.【詳解】把圓，圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓，圓.（1）如果圓與圓外切，那么，即，解得或，即當(dāng)或時(shí)，兩圓外切.（2）如果圓與圓內(nèi)含，那么，即，解得，即當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含.（3）如果圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么兩個(gè)圓相切，因此或，解得或或或，即當(dāng)m的值為或或或2時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18．如圖所示，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建系，可得點(diǎn)、M、、D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式，即可得證；（2）分別求得平面和平面的法向量，利用向量法即可求得二面角的余弦值，即可得二面角的正弦值；（3）求得的坐標(biāo)，由（2）可得平面的法向量，利用線面角的夾角公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：依題意，以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，，，，，.依題意，，所以，所以.（2）因?yàn)椋?，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量，又，.設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，，∴，∴二面角的正弦值為.（3）依題意，，由（2）知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，所以，∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，線面角、二面角的求法，易錯(cuò)點(diǎn)為求二面角的正弦值，需用三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而求線面角時(shí)，法向量與直線方向向量所成角的余弦值即為線面角的正弦值，不需要轉(zhuǎn)化，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.19．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，進(jìn)而求解線段中點(diǎn)的軌跡方程即可（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，進(jìn)行求面積的取值范圍即可【詳解】（1）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)的中點(diǎn)為，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，所以代入圓中，故線段中點(diǎn)的軌跡方程為（2）圓化為，圓心，半徑為1，圓心到直線l的距離為，則圓上一動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值是，最大值是，又，所以面積【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可，屬于基礎(chǔ)題20．已知等腰梯形，如圖（1）所示，，，沿將△折起，使得平面平面，如圖（2）所示，連接，得三棱錐.（1）求證：圖（2）中平面；（2）求圖（2）中的二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證面；（2）構(gòu)建以C為原點(diǎn)，CB為x軸、CA為y軸、過(guò)C點(diǎn)垂直于面的直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，即可得，，，，可求得二面角對(duì)應(yīng)的法向量，進(jìn)而根據(jù)法向量夾角與二面角關(guān)系即可求得二面角的正弦值【詳解】（1）等腰梯形，，，知：且，，即Rt△中∴，又面面，面，而面面∴面（2）如下圖示，構(gòu)建以C為原點(diǎn)，CB為x軸、CA為y軸、過(guò)C點(diǎn)垂直于面的直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：，，，則，，，令為面ABD的一個(gè)法向量，則，若y=1，有令為面CBD的一個(gè)法向量，則，若y=1，有∴與的夾角為，則，故根據(jù)二面角與向量夾角的關(guān)系，知：二面角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量與立體幾何，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，應(yīng)用平面的法向量，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求法向量夾角的正弦值，進(jìn)而可得二面角的正弦值21．已知橢圓:的左右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)在橢圓上，，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求出，從而求得橢圓的方程；（2）將直