組合教案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第一冊

第4章計數(shù)原理4.3組合教案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解組合、組合數(shù)的概念及組合和排列之間的區(qū)別與聯(lián)系.2.能利用計數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式，并熟練掌握組合數(shù)公式及組合數(shù)的性質(zhì)，能運(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)化簡、計算、證明.3.能運(yùn)用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式和計數(shù)原理解決一些簡單的應(yīng)用問題.教學(xué)重難點1.教學(xué)重點：組合、組合數(shù)的概念及應(yīng)用.2.教學(xué)難點：組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.教學(xué)過程情境引入教師提問：考察下面兩個問題，并思考這兩個問題與上節(jié)的問題1、2有什么聯(lián)系與區(qū)別？教師提出問題1：平面上有5個不同的點A，B，C，D，E，以其中兩個點為端點的線段共有多少條？學(xué)生思考回答：如圖，以A為端點，到其余四點的線段有4條：AB，AC，AD，AE.A不是端點，以B為端點之一，到其余三點的線段有3條：BC，BD，BE；A，B都不是端點，以C為端點之一，到其余兩點的線段有2條：CD，CE；A，B，C都不是端點，以剩下兩點D，E為端點的線段只有1條：DE.共有（條）不同的線段.教師提出問題2：從a，b，c，d這4個字母中，取出3個組成一組，共有多少種不同的取法？學(xué)生思考回答：從a，b，c，d這4個字母中，取出3個組成一組，所有取法為abc，abd，acd，bcd.共有4種不同的取法.教師總結(jié)：上述問題1、2與上節(jié)的排列問題比較而言，相同點都是從n個不同元素中取出個元素；不同點是本節(jié)的兩個問題與所選的元素的順序無關(guān)，而排列問題與順序有關(guān).新知積累1.組合一般地，從n個不同元素中取出個不同的元素，不論次序地構(gòu)成一組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.根據(jù)組合的定義，兩個組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個組合的元素完全相同.2.組合數(shù)從n個不同元素中取出個不同的元素，所有不同組合的個數(shù)叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.思考：從n個不同元素中取m個元素的組合數(shù)怎么計算呢？3.組合數(shù)公式一般地，求從n個不同元素中取m個元素的排列數(shù)，可以分兩步完成：第一步（選元素），先從這n個不同元素中取出m個元素，不考慮次序構(gòu)成一個組合，共有個組合；第二步（排位置），將每一個組合中的m個元素進(jìn)行全排列，全排列數(shù)是.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到.由此得到組合數(shù)的計算公式：，其中，并且，這個公式叫作組合數(shù)公式.因為，所以，上面的組合數(shù)公式還可以寫成.特別地，.一般地，從n個不同元素中取m個元素的組合數(shù)與從n個不同元素中取個元素的組合數(shù)相等，即.因為，，所以成立.例題鞏固例1計算和.解，.例2為助力建設(shè)宜居宜業(yè)和美鄉(xiāng)村，星辰中學(xué)從“十佳志愿者”的10人中任選5人代表學(xué)校參加“為美麗鄉(xiāng)村增光添彩”的志愿服務(wù)活動.問：（1）共有多少種不同的選法？（2）如果還要從選出的5人中再選定一人為組長，那么共有多少種不同的選法？解（1）由于從10人中任選5人，與順序無關(guān)，所以共有種選法.（2）（方法一）從這10人中任選5人，并確定其中一人為組長，可以分為如下兩步完成：第一步，先從10人中任選5人，共有種方法；第二步，從選出的5人中再確定1人為組長，共有種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的選法.（方法二）從這10人中任選5人，并確定其中一人為組長，可以分為如下兩步完成：第一步，先從10人中選定1人為組長，共有種方法；第二步，從余下的9人中再選4人，共有種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的選法.例3從4臺標(biāo)清彩電和5臺高清彩電中選購3臺，要求至少有標(biāo)清彩電與高清彩電各1臺，共有多少種不同的選法？解選法可分為兩類：第一類，從4臺標(biāo)清彩電中選1臺，從5臺高清彩電中選2臺，共有種不同的選法；第二類，從4臺標(biāo)清彩電中選2臺，從5臺高清彩電中選1臺，共有種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種不同的選法.例46本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分為三份，每份2本.解（1）將6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本，可以分為三步完成：第一步，先從6本書中選2本給甲，有種選法；第二步，從其余的4本書中選2本給乙，有種選法；第三步，最后剩余的2本書給丙，有種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的分法.分給甲、乙、丙三人，每人2本，這件事情可以分兩步完成：第一步，將6本書分為三份，每份2本，設(shè)有x種方法；第二步，將這三份分給甲、乙、丙三人，有種方法.根據(jù)（1）的結(jié)論和分步乘法計數(shù)原理得到，所以.因此分為三份，每份2本，一共有15種方法.課堂練習(xí)1.若，則正整數(shù)()A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：，，解得（舍去）或.故選C.2.假期里，有4名同學(xué)去社區(qū)做文明實踐活動.根據(jù)需要，要安排這4名同學(xué)去甲、乙2個文明實踐站，每個實踐站至少去1名同學(xué)，則不同的安排方法共有()A.20種 B.14種 C.12種 D.10種答案：B解析：先將4名同學(xué)分為兩組，則兩組人數(shù)可能為1，3或2，2.當(dāng)兩組人數(shù)為1，3時，有（種）方法，當(dāng)兩組人數(shù)為2，2時，有（種）方法，所以將這4名同學(xué)分為兩組，共有（種）方法，再將這兩組同學(xué)分配到2個文明實踐站，有（種）方法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得共有（種）不同的安排方法.故選B.3.某車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外2名既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工.現(xiàn)要在這11名工人里選派4名鉗工和4名車工修理一臺機(jī)床，則不同的選派方法有__________種.答案：185解析：設(shè)既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工的2名工人為A，B.A，B都不在內(nèi)的選派方法有（種）；A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有（種）；A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有（種）；A，B都在內(nèi)，且一人當(dāng)鉗工，另一人當(dāng)車工的選派方法有（種）；A